数学九年级上册21.1 一元二次方程导学案

这是一份数学九年级上册21.1 一元二次方程导学案，共7页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。

1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；
2. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．
【要点梳理】
知识点一 公式法解一元二次方程
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
公式法解一元二次方程的具体步骤：
方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值
确定公式中a,b,c的值，注意符号；
求出b2-4ac的值；
若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。
知识点二 一元二次方程根的判别式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.
△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
一元二次方程 △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
根的判别式
△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
【典型例题】
类型一、解一元二次方程--公式法
1．用公式法解下列方程：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
按照公式法的一般步骤：先把式子化为一般式，找到a，b，c，先算，再带入求根公式求解即可．
解：（1）∵，
∴，
∴，
即；
（2）方程化为一般形式，得，这里，
∴，
，
∴原方程的解为．
【点拨】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式，是解决本题的关键．
举一反三：
【变式1】用公式法解下列方程：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用求根公式解一元二次方程即可；
（2）先将方程整理为一般式，再根据求根公式解一元二次方程.
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴原方程的根为：；
（2）原方程化为一般形式为：，
∵，
∴，
∴，
∴原方程的根为：．
【点拨】本题主要考查公式法解一元二次方程，解决本题的关键是要熟练掌握公式法解一元二次方程的步骤.
【变式2】用公式法解下列方程：
（1）． （2）．
【答案】（1），．（2），．
【分析】
（1）先把方程化为一般式，再利用公式法进行求解；
（2）根据公式法即可求解.
解：（1）将方程化为一般形式，得．
这里，，．
∵，
∴，
即，．
（2）这里，，．
∵，
∴，
∴，．
【点拨】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法解方程.
类型二、根的判别式
2．已知关于x的方程
（1）求证：方程总有两个实数根
（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围
【答案】（1）证明见分析；（2）
【分析】
（1）证出根的判别式即可完成；
（2）将k视为数，求出方程的两个根，即可求出k的取值范围.
解：（1）证明：
∴方程总有两个实数根
（2）
∴
∴
∵方程有一个小于1的正根
∴
∴
【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.
举一反三：
【变式1】已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【答案】（1）证明见分析；（2）m=1．
【分析】
解：（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；
（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．
方法1 （1）利用判别式
（1）证明：．
∵不论m为何值，，即．
∴不论m为何值，方程总有实数根．
（2）解关于x的一元二次方程，得
，∴，．
∵方程的两个根都是正整数，∴是正整数，∴或．
又∵方程的两个根不相等，∴，∴．
方法2（1）直接解一元二次方程求出根
（1）证明：解关于x的一元二次方程，
得，，
∴不论m为何值，方程总有实数根．
（2）解关于x的一元二次方程，得
，∴，．
∵方程的两个根都是正整数，∴是正整数，∴或．
又∵方程的两个根不相等，∴，∴．
【变式2】 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值
【答案】（1）详见分析 （2）或
【分析】
（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．
解：（1）∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，
即x1=k，x2=k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，
所以k的值为5或4．
【点拨】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质．
类型三、根据一元二次方程求参数
3、关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
【答案】（1）；（2）的值为．
【分析】
（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足．
解：（1）根据题意得，
解得；
（2）的最大整数为2，
方程变形为，解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，解得；
当时，，解得，
而，
∴的值为．
【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
举一反三：
【变式1】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得成立？如果存在，求出m的值：如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）m＜1；（2）m=-1
【分析】
（1）由方程有两个不相等的实数根，那么△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2=-2（m-1），x1•x2=m2-1，由条件可得出关于m的方程，解之即可得出m的值．
解：（1）∵方程x2+2（m-1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根x1，x2．
∴△=4（m-1）2-4（m2-1）=-8m+8＞0，
∴m<1；
（2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=-2（m-1），x1•x2=m2-1．
∵x12+x22=16+x1x2
∴(x1+x2)2＝16+3x1x2，
∴4（m-1）2=16+3（m2-1），
解得：m1=-1，m2=9，
∵m＜1，
∴m2=9舍去，
即m=-1．
【点拨】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出根与系数的关系；（2）根据根与系数的关系得出m的值，注意不能忽视判别式应满足的条件．
【变式2】已知关于的方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若，且方程的两个实数根都是整数，求的值．
【答案】 ； ，或．
【分析】
(1)关于x的方程x2-2x-2n=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2-4ac>0，即可得到关于n的不等式，从而求得n的范围；
(2)利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值即可．
解：∵关于的方程的二次项系数、一次项系数、常数项，
∴，
解得；
由原方程，得
，
解得，
∵方程的两个实数根都是整数，且，不是负数，
∴，且是完全平方形式，
∴，或，
解得，或．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．