【精品奥数】五年级上册数学思维训练讲义-第七讲 盈亏问题 人教版（含答案）

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韩信点兵问题

谈到韩信点兵这个问题我们先来读一个小故事，据说有一次刘邦偷偷来到韩信的兵营察看，并盗了他的兵符。 后来在营帐中问韩信：“你觉得我能带多少兵？“十万”韩信很干脆地回答。刘邦又问：“你能带多少兵？”韩信说：“臣带兵多多益善！”刘邦听了有点不爽。韩信又说“臣是将兵之将，大王您乃将将之将！”刘邦听了很高兴，于是又把兵符给了韩信。后来演变成“韩信将兵，多多益善”这个成语，意思是说某样东西越多越好，这个故事出处 《史记·淮阴侯列传》。下面我们来看一个韩信点兵的数学问题。
韩信点兵
每三人一列，余一人；
每五人一列，余一人；
每七人一列，余一人。
问至少士兵几何？
赏析：每三人一列，余一人；每五人一列，余一人；每七人一列，余一人。只要先求出3、5、7的最小公倍数，然后再加1就可以了。
解答； 3 × 5 × 7 + １＝106（人）
同学们，学习了上面两个问题你有什么想说的吗？我们的古人是不是很聪明，能将身边的平凡事与数学知识联系起来，你能做到吗？
第二部分：奥数小练

【例题1】某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，增加一名男生，则男生为总数的一半；如果少一名男生，增加一名女生，则男生为女生人数的一半。乒乓球队共有多少名学生？
【思路导航】（1）由“少一个女生，增加一个男生，则男生为总人数的一半”可知：女生比男生多2人；（2）“少一个男生，增加一个女生”后，女生就比男生多2＋2=4人，这时男生为女生人数的一半，即现在女生有4×2=8人。原来女生有8－1=7人，男生有7－2=5人，共有7＋5=12人。
练习一：
1.学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如果白粉笔减少10盒，彩色粉笔增加8盒，两种粉笔就同样多；如果再买10盒白粉笔，白粉笔的盒数就是彩色粉笔的5倍。学校买来两种粉笔各多少盒？
2.操场上有两堆货物，如果甲堆增加80吨，乙堆增加25吨，则两堆货物一样重；苦甲、乙两堆各运走5吨，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。两堆货物一共有多少吨？
3.五（1）班的优秀学生中，苦增加2名男生，减少1名女生，则男、女生人数同样多；苦减少1名男生，增加1名女生，则男生是女生的一半。这些优秀学生中男、女生各多少人？
【例题2】 幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。如果平均分给小朋友，则少4个；如果每个小朋友只发给4个，则老师自己也能留下4个。有多少个小朋友？共有多少个苹果？
【思路导航】如果平均分给小朋友，则少4个，说明小朋友人数大于4；如果每个小朋友只发给4个，则教师也能留下4个，说明每人少拿若干个，就少拿4＋4=8个苹果。因为小朋友人数大于4，所以，一定是每人少拿1个，有8÷1=8个小朋友，有8×4＋4=36个苹果。
练习二：
1.给小朋友分梨，如果每人分4个，则多9个；如果每人分5个，则少6个。有多少个小朋友？有多少个梨？
2.老把一些铅笔奖给三好学生。每人5支则多4支，每人7支则少4支。老师有多少支铅笔？奖给多少个三好学生？
3.有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6人；如果减少一条船，正好每条船上坐9人。这个班一共有多少个同学？
【例题3】 幼儿园老师将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的学生每人5个余10个；如果分给小班的学生每人8个缺2个。已知大班比小班多3人，这筐苹果有多少个？
【思路导航】如果大班减少3人，则大班和小班的人数同样多。这样，大班每人5个就多余3×5＋10=25个。由于两班人数相等，小班每人多分3个就要多分（25＋2）个苹果，用（25＋2）÷（8－5）就能得到小班同学的人数是9人，再用9×8－2就求出了这筐苹果有多少个。
练习三：1.一些学生搬一批砖，每人搬4块，其中5人要搬两次；如果每人搬5块，就有两人没有砖可搬。这些学生有多少人？这批砖有多少块？
2.老师给幼儿园小朋友分糖，每人3块还多10块；如果减少2个小朋友再分，每人4块还多7块。原来有多少个小朋友？有多少块糖？
3.筑路队计划每天筑路720米，正好按期筑完。实际每天多筑80米，这样，比原计划提前3天完成了筑路任务。要筑的路有多长？
【例题4】 幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分得4块。如果只分给小班的小朋友，平均每人分得多少块？
【思路导航】这箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块，如果只分给中班的小朋友，平均每人可多分4块。说明中班的人数是小班人数的6÷4=1.5倍。因此，这箱饼干分给小班的小朋友，每位小朋友可多分到6×1.5=9块，一共可分到6＋9=15块饼干。
练习四：
1.老师把一批书借给甲组同学，平均每人借4本。如果只借给甲组的女同学，每人可借6本。如果只借给甲组的男生，平均每人借到几本？
2.甲、乙两组同学做红花，每人做8朵，正好送给五年级每个同学一朵。如果把这些红花让甲组同学单独做，每人要多做4朵。如果把这些红花让乙组同学单独做，每人要做几朵？
3.老师把一袋糖分给小朋友。如果只分给小班，每人可得12块；如果只分给中班和小班，每人只能分到4块。如果这袋糖只分给中班，每人可分到几块？
【例题5】 全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9个同学；如果增加一条船，每条船正好坐6个同学。这个班有多少个同学？
【思路导航】根据题意可知：每船坐9人，就能减少一条船，也就是少9个同学；每船坐6人，就要增加一条船，也就是多出6个同学。因此，每船坐9人比每船坐6人可多坐9＋6=15人，15里面包含5个（9－6），说明有5条船。知道了有5条船，就可以求全班人数：9×（5－1）=36人。
练习五：1.老师把一篮苹果分给小班的同学，如果减少一个同学，每个同学正好分得5个；如果增加一个同学，正好每人分得4个。这篮苹果一共有多少个？
2.五年级同学去划船，如果增加一只船，正好每只船上坐7人；如果减少一只船，正好每只船上价8人。五年级共有多少人？
3.一个旅游团去旅馆住宿，6人一间，多2个房间；若4人一间又少2个房间。旅游团共有多少人？

第三部分：数学史话
诺贝尔奖里面为什么没有数学奖？
话说，诺贝尔奖励基金自诞生至今已有116年，诺贝尔奖最初只有5 个奖项，分别是化学奖、物理学奖、生理学或医学奖、文学奖以及和平奖。
这是诺贝尔在其遗嘱里早就规划好的。遗嘱提到，他遗产的利息将被平分为5份，给在这些领域有重大发现或贡献的人。
这五项奖励由不同的部门颁奖，1968年为纪念诺贝尔又增设的诺贝尔经济学奖，并于1969年首次颁奖，所以形成了现在的“5+1”六大奖项。
诺贝尔曾说过，奖项评选时不看候选人国籍，只要他值得，就应该授予奖金。
但是，诺贝尔奖项里为什么没有数学奖呢，要知道，几乎所有现代科学都是建立在数学科学之上，数学科学作为科学基石，对于推动现代科技的进步功不可没。
诺贝尔奖励基金没有设置数学奖有两个说法。
第一种说法
由于诺贝尔对于数学的忽视或者时代局限性，他没有料到数学会对社会发展起到的巨大推动作用。这个说法是史学家们比较认可的。
第二种说法
这个说法比较有意思，诺贝尔有个小13岁的女友（科学家的爱情观也是
有前瞻性的），可惜，后来，这个小女友跟一位数学家跑了，可想而知，诺贝尔对此事多么难以接受，于是呢…。就个人而言，我比较喜欢这个说法，毕竟一丝浪漫气息融合了严密规整的科学大记事，会给人一种曼妙无比的想象空间。
的确是这样的么？如果诺贝尔是一个普通人的话，这样的做法是可以理解，但是作为一个心怀全人类的科学家，这种做法发生在诺贝尔身上，我觉得不太可能，诺贝尔的心胸不会如此狭窄。
猜？
此外，还有一个可能可以解释诺贝尔的没有设立数学奖的行为，在诺贝尔设立遗嘱之前，瑞典斯德哥尔摩大学一位数学家米塔格-莱弗勒（传说中的诺贝尔情敌）已经说服瑞典国王奥斯卡二世设立了国王数学奖。如果诺贝尔奖再加入一个数学奖，是不是会和国王数学奖相冲突呢？
由于诺贝尔奖中没有数学，世界上先后树起了两个国际性的数学大奖：
一个是国际数学家联合会主持评定的。在四年召开一次的国际数学家大会上颁发的菲尔兹奖；
另一个是由沃尔夫基金会设立的一年一度的沃尔夫数学奖。
这两个数学大奖的权威性、国际性，以及所享有的荣誉都不亚于诺贝尔奖，因此被世人誉为“数学中的诺贝尔奖”。
参考答案：
练习一：
1. 彩色粉笔7盒 白粉笔25盒 2. 120吨 3.男生6人 女生9人
练习二：
1.15人 69个 2. 24支 4个 3.36个
练习三：
1.30人 140块 2.11人 43块 3.21600米
练习四：
1.12本 2.24朵 3.6块
练习五：
1.40个 2.112人 3.48人