【精品奥数】五年级上册数学思维训练讲义-第十八讲 置换问题 人教版（含答案）

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马戏团里的猴子
马戏团的团长是一位和蔼慈祥的先生，大家都很喜欢他和他跟猴子们的表演，马戏表演就要结束了，一个小朋友站起来问:“团长先生，您的猴子真可爱，我很想知道，您的团里有多少只大猴子和多少只小猴子呢？”团长先生笑着说:“哦！好吧，那我们最后还加一个节目。我来说你们来算，看你们能不能算出我的团里有多少只大猴子，多少只小猴子。算出来了，奖励你们和我的猴子们一起玩游戏如何？”观众们都高兴的点头，团长接着说:“我每天都会给我的猴子们吃苹果。大猴子每只三个苹果，小猴子每只两个苹果。我的团里一共有25只猴子。我每天要分给他们60个苹果。那么我团里大猴子有多少只，小猴子有多少只，你们算一算！"，全场都安静了，大家都在想。
第二部分：奥数小练
【例题1】 20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等。求苹果和梨的单价。
【思路导航】2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等，那么，20千克苹果的价钱就与25千克梨的价钱相等。132÷（25＋30）=2.4元，即每千克梨2.4元。知道了梨的单价，再求苹果的单价就方便了。
苹果的单价是：（132－2.4×30）÷20=3元。
练习一：
1.6只鸡和8只小羊共重78千克，已知5只鸡的重量等于2只小羊的重量，求每只鸡和每只小羊的重量。
2.商店里有甲种钢笔和乙种圆珠笔，已知2支钢笔的价钱与15支圆珠笔的价钱相等。老师买了4支钢笔和6支圆珠笔，共付72元，每支钢笔和每支圆珠笔各多少元？
3.用两种汽车运货，如果2辆大汽车的载重正好等于3辆小汽车的载重，且5辆大汽车和6辆小汽车一次共运54吨货。求每辆大汽车比每辆小汽车多装几吨货？
【例题2】 用2台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米？
【思路导航】因为大水泵2小时的抽水量等小水泵5小时的抽水量，所以，大水泵8小时的抽水量应该等于小水泵8÷2×5=20小时的抽水量。因此，312立方米的水就相当于小水泵（6＋20）小时的抽水量了。小水泵每小时抽水是312÷（6＋20）=12立方米，大水泵每小时抽水12×5÷2=30立方米。
练习二：
1.学校买回6张桌子和6张椅子共用去192元。已知3张桌子的价钱和5把椅子的价钱相等，每张桌子和每把椅子各多少元？
2.快慢两车先后从相距864千米的甲、乙两地出发，快车行12小时，慢车行4小时后，两车在途中相遇。已知快车6小时行的路程与慢车7小时行的路程相等，求快、慢两车的速度。
3.师徒二人加工一批零件，师傅加工10小时，徒弟加工4小时，二人共加工了198个零件。如果师傅4小时的工作量与徒弟5小时的工作量相等，那么，他们二人平均每小时各加工多少个零件？
【例题3】 一件工作，甲做5小时以后由乙来做，3小时可以完成；乙做9小时以
后由甲来做，也是3小时可以完成。那么甲做1小时以后由乙来做几小时可以完成？
【思路导航】 把题中两组已知条件进行对比，甲少做（5－3）小时，乙就要多做（9－3）小时，也就是甲2小时的工作量和乙6小时的工作量相等，甲1小时的工作量和乙3小时的工作量相等。这件工作全部由甲做需要用5＋3÷3=6小时，现在甲先做1小时，剩下5小时的工作量由乙来做，乙必须用5×3=15小时才能完成。
练习三：
1.王老师去买笔奖给三好学生。他所带的钱正好买4支圆珠笔和5支钢笔，或者买3支钢笔和10支圆珠笔。如果王老师买1支钢笔，剩下的钱可以买多少支圆珠笔？
2.一辆卡车最多能载40袋大米和40袋面粉，或者载10袋大米和100袋面粉。现在卡车上已载有20袋大米，最多还能载多少袋面粉？
3.买2条床单和3条毛巾共用210元，买同样的3条床单和2条毛巾共用280元。买一条床单用多少钱？买一条毛巾用多少钱？
【例题4】 5辆玩具汽车与3架飞机玩具的价钱相等，每架飞机玩具比每辆玩具汽车贵8元。这两种玩具的单价各是多少元？
【思路导航】 因为每架玩具飞机比每辆玩具汽车贵8元，所以，3架玩具飞机就比3辆玩具汽车贵8×3=24元。由于5辆玩具汽车与3架玩具飞机的价钱相等，因此，这24相当于（5－3）辆玩具汽车的价钱，每辆玩具汽车是24÷2=12元，每架玩具飞机的价钱就是12＋8=20元。
练习四：
1.2支钢笔的价钱和3支圆珠笔的价钱相等，一支圆珠笔比一支钢笔便宜6元钱。两种笔的单价各是多少元？
2.师徒二人加工同样多的零件，师傅用了3小时，徒弟用了5小时。已知师傅每小时比徒弟多做6个零件。二人各做了多少个零件？
3.汽车从甲地开往乙地，行完全程用了3小时，返回时用了4小时。已知这辆汽车去时比返回时每小时快12千米，甲、乙两地相距多少千米？
【例题5】一段布料可做18件同样的上衣和9条同样的裤子，或者做14件同样的上衣和15条同样的裤子。那么，全做上衣能做多少件？
【思路导航】把两组条件进行比较，做（18－14）件上衣的布料可以做（15－9）条裤子，也就是2件上衣的布料和3条裤子的布料同样多。9条裤子的布料可以做9÷3×2=6件上衣，所以，一共能做18＋6=24件上衣。
练习五：
1.一个笼子能容纳18只同样在的兔子和9只同样大的鸡，或者容纳14只同样大的兔了和15只同样大的鸡。如果这个笼子用了装兔子，一共能容纳多少只这样的兔子？
2.小明去买同一种笔和同一种橡皮，所带的儿能买8支笔和4块橡皮，或买6支笔和12块橡皮。结果他用这些钱全部买了笔，请问他能买几支？
3.一辆卡车正好装满了12箱苹果和25箱桔子，搬下3箱苹果后，空下的地方正好能放5箱桔子。这辆卡车如果全部装桔子要比全部装苹果多装几箱？
第三部分：数学史话
鸡兔同笼你听说过“鸡兔同笼”的问题吗?这个问题,是我国古代著名趣题之一.大约在1500年前,《孙子算经》就记载了这个有趣的问题.书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头；从下面数,有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔?你会解答这个问题吗?你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗?解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独角鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”.这样,（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；（2）如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1.因此,脚的总只数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即47－35＝12（只）.显然,鸡的只数就是35－12＝23（只）了.这一思路新颖而奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已.这种思维方法叫化归法.化归法就是在解决问题时,先不对问题采取直接的分析,而是将题中的条件或问题进行变形,使之转化,直到最终把它归成某个已经解决的问题。
参考答案：
练习一：
鸡： 78÷（5× 4+6）=3（千克）
羊： 3× 5÷2=7.5（千克）
圆珠笔：72÷（15÷2×4+6）=2（元）
钢笔：2×15÷2=15（元）
3.大：54÷（6÷3×2+5）=6（吨） 6-6×3÷2=2（吨）
练习二：
1.桌子：192÷2÷（3+5）=12（元）
椅子：(192-12×6)÷6=20（元）
2.慢车：864÷（12÷6×7+4）=48（千米/时）
快车：48×7÷6=56（千米/时）
3.徒弟：198÷（10÷4×5+4）=12（个）
师傅：12×5÷4=15（个）
练习三：
1.16支。
2.因为（40袋大米和40袋面粉）-（10袋大米和10袋面粉）=90袋面粉
所以：30袋大米和30袋面粉=90袋面粉
即：30袋大米=60面粉
1袋大米=2袋面粉
一辆卡车最多能载10×2+100=120（袋）面粉
现在卡车上已载有20袋大米，最多还能载120-20×2=80（袋）面粉。
毛巾：210+280=490（元） 490÷5=98（元） 210-98×2=14（元）
床单：280-98×2=84（元）
练习四：
圆珠笔：6÷（3÷2-1）=12（元）
钢笔：12×3÷2=18（元）
2.徒弟：6×3÷（5-3）=9（个） 师傅：9+6=15（个）
3.12×3÷（4-3）×4=144（千米）
练习五：
1.18+（9÷3）×2=24（只）
2.（12-4）÷（8-6）=4（支 ） 8+4÷4=9（支）
3.4×5+25=45（箱） 25÷5×3+12=27（箱） 45-27=18（箱）