【精品奥数】五年级上册数学思维训练讲义-第五讲 巧解应用题（三） 人教版（含答案）

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兄 弟 分 绢
今有孟、仲、季兄弟三人，各持绢不知匹数。大兄谓二弟曰：“我得汝等各半，得满七点九匹。”中弟日：“我得兄弟绢各半，得满六点八匹。”小弟日：“我得二兄绢各半，得满五点七匹。”问兄弟本持绢各几何?——摘自《张邱建算经》。
据考证《张邱建算经》成书时代是在5世纪中期，是北魏时期数学家张邱建著。《张邱建算经》卷中之尾卷下之首残缺，流传到现在的有92个问题，内容继承了《九章算术》的数学遗产，另外还有等差级数问题、最大公约数和最小公倍数应用问题。卷下最后一题是有名的百鸡问题，是中国数学史上最早出现的不定方程问题。
赏析：有兄弟三人，各有绢若干匹。大哥对两个弟弟说：“我得到你俩每人所有绢的一半，与我有的绢合在一起就有7.9匹。”二哥对大哥和三弟说：“我得到兄绢的一半，弟绢的一半，与我有的绢合在一起是6.8匹。”三弟对两个哥哥说：“我得到两个哥哥每人所有绢的一半，与我有的绢合在一起是5.7匹。”问兄弟三人原来各有绢多少匹?
分析：7.9匹包括大哥的绢全部+二哥绢一半+三弟的绢一半；
6.8匹包括大哥的绢一半+二哥绢全部+三弟的绢一半；
5.7匹包括大哥的绢一半+二哥绢一半+三弟的绢全部；
那么，7.9+6.8+5.7就包括大哥的绢2倍+二哥绢2倍+三弟的绢2倍；
所以，三兄弟绢的总数为（7.9+6.8+5.7）÷2＝10.2（匹）
而7.9 × 2就包括大哥的绢2倍+二哥绢全部+三弟的绢全部
7.9 × 2－10.2＝5.6（匹）……大哥的绢数。
同理：
6.8 × 2－10.2＝3.4（匹）……二哥的绢数。
5.7 × 2－10.2＝1.2（匹）……三弟的绢数。
解答：（7.9+6.8+5.7）÷2＝10.2（匹）
7.9 × 2－10.2＝5.6（匹）
6.8 × 2－10.2＝3.4（匹）
5.7 × 2－10.2＝1.2（匹）
类似的题目在小学数学中非常常见，希望同学们能仔细体会这类题的解决方法，为以后的学习打好基础。
第二部分：奥数小练

【例题1】甲、乙两工人生产同样的零件，原计划每天共生产700个。由于改进技术，甲每天多生产100个，乙的日产量提高了1倍，这样二人一天共生产1020个。甲、乙原计划每天各生产多少个零件？
【思路导航】二人实际每天比原计划多生产1020－700=320（个）。这320个零件中，有100个是甲多生产的，那么320－100=220（个）就是乙日产量的1倍，即乙原来的日产量，甲原来每天生产700－220=480（个）。
练习一：
1.工厂里有2个锅炉，原来每月烧煤5.6吨。进行技术改造后，1号锅炉每月节约1吨煤，2号锅炉每月烧煤量减少了一半，现在每月共烧煤3.5吨。原来两个锅炉每月各烧煤多少吨？
2.甲、乙两人生产同样的零件，原计划每天共生产80个。由于更换了机器，甲每天多做40个，乙每天生产的是原来的4倍，这样二人一天共生产零件300个。甲、乙原计划每天各生产多少个零件？
3.甲、乙两队合挖一条水渠，原计划两队每天共挖100米，实际甲队因有人请假，每天比计划少挖15米，而乙队由于增加了人，每天挖的是原计划的2倍，这样两队每天一共挖了150米。求两队原计划每天各挖多少米？
【例题2】 把一根竹竿插入水底，竹竿湿了40厘米，然后将竹竿倒转过来
插入水底，这时，竹竿湿的部分比它的一半长13厘米。求竹竿的长。
【思路导航】因为竹竿先插了一次，湿了40厘米，倒转过来再插一次又湿了40厘米，所以湿了的部分是40×2=80（厘米）。这时，湿的部分比它的一半长13厘米，说明竹竿的长度是（80－13）×2=134（厘米）。
练习二：
1.有一根铁丝，截去一半多10厘米，剩下的部分正好做一个长8厘米，宽6厘米的长方形框架。这根铁丝原来长多少厘米？
2.有一根竹竿，两头各截去20厘米，剩下部分的长度比截去的4倍少10厘米。这根竹竿原来长多少厘米？
3.两根电线一样长，第一根剪去80米，第二根剪去320米，剩下部分第一根是第二根长度的4倍。两根电线原来各长多少米？
【例题3】 将一根电线截成15段。一部分每段长8米，另一部分每段长5米。长8米的总长度比长5米的总长度多3米。这根铁丝全长多少米？
【思路导航】设这15段中有X段是8米长的，则有（15－X）段是5米长的。然后根据“8米的总长度比5米的总长度多3米”列出方程，并进行解答。
练习三：
1.某人过一个小山坡共用了20分钟，他上坡每分钟走80米，下坡每分钟走102米。上坡路比下坡路少220米。这段小坡路全长多少米？
2.食堂里买来15袋大米和面粉，每袋大米25千克，每袋面粉10千克。已知买回的大米比面粉多165千克，求买回大米、面粉各多少千克？
3.老师买回两种笔共16支奖给三好学生，其中铅笔每支0.4元，圆珠笔每支1.2元，买圆珠笔比买铅笔共多用了1.6元。求买这些笔共用去多少钱？
【例题4】 甲、乙两名工人加工一批零件，甲先花去2.5小时改装机器，因此前4小时甲比乙少做400个零件。又同时加工4小时后，甲总共加工的零件反而比乙多4200个。甲、乙每小时各加工零件多少个？
【思路导航】（1）在后4小时内，甲一共比乙多加工了4200+400=4600（个）零件，甲每小时比乙多加工4600÷4=1150个零件。
（2）在前4小时内，甲实际只加工了4－2.5=1.5小时，甲1.5小时比乙1.5小时应多做1150×1.5=1725个零件，因此，1725＋400=2125个零件就是乙2.5小时的工作量，即乙每小时加工2125÷2.5=850个，甲每小时加工850＋1150=2000个。
练习四：
1.甲、乙二人同时从A地去B地，前3小时，甲因修车1小时，因此乙邻先于甲4千米。又经过3小时，甲反而领先了乙17千米。求二人的速度。
2.师徒二人生产同一种零件，徒弟比师傅早2小时开工，当师傅生产了2小时后，发现自己比徒弟少做20个零件。二人又生产了2小时，师傅反而比徒弟多生产了10个。师傅每小时生产多少个零件？
3.甲每小时生产12个零件，乙每小时生产8个零件。一次，二人同时生产同样多的零件，结果甲比乙提前5小时完成了任务。问：甲一共生产了多少个零件？
【例题5】 加工一批零件，单给甲加工需10小时，单给乙加工需8小时。已知甲每小时比乙少做3个零件，这批零件一共有多少个？
【思路导航】因为甲每小时比乙少做3个零件，8小时就比乙少做3×8=24（个）零件，所以，24个零件就是甲（10－8）小时的工作量。甲每小时加工24÷（10－8）=12（个），这批零件一共有12×10=120（个）。
练习五：
1.快、慢两车同时从甲地开往乙地，行完全程快车只用了4小时，而慢车用了6.5小时。已知快车每小时比慢车多行25千米。甲、乙两地相距多少千米？
2.妈妈去买水果，她所带的钱正好能买18千克苹果或25千克的梨。已知每千克梨比每千克苹果便宜0.7元，妈妈一共带了多少钱？
3.师徒二人加工零件，已知师傅6小时加工的零件和徒弟8小时加工的零件相等。如果师傅每小时比徒弟多加工3个零件，那么，徒弟每小时加工多少个零件？

第三部分：数学史话
玛雅人的数学
在当西班牙殖民者攻陷了玛雅最后一个负隅顽抗部落的城邦时，恼羞成怒的他们放了一把火，几乎将玛雅所有的典籍付之一炬，导致目前世上仅剩下三到四本玛雅手抄本典籍。我们想要了解玛雅人的数学成就，只能从这几本典籍当中略寻一二了。
玛雅人在数学方面造诣非常深。他们在没有分数这个概念的前提下，能够精确地计算出地球围绕太阳运行一年的时间，也能将金星的转动周期精确到每6000年才
差1天的程度，实在令人不可思议。
在古代玛雅，数学知识全部掌握在祭司手中。他们不仅是玛雅社会中负责与神明沟通、排名第二的阶层，还是古代的大数学家。通过各种周密的计算他们会告诉玛雅社会的居民们，哪一天可以放火将玉米地烧掉以便重新耕种哪些天他们的神明羽蛇神会降临，为大地带来雨水；甚至，什么时候会发战争、什么时候有地震、火山爆发，他们都会做出预测。因为这些成就，祭司阶层在玛雅社会中地位超然，就连君主真人都会听他们的话。可以这样说玛雅祭司的权威就是建立在其对数学知识的垄断上的。
玛雅人有一个独特数学体系，在此体系中最先进就是“0”符号了。玛雅数字中“0”不仅于世界各古代文明的数字写法中别具一格，且由时间看，其发明和使用比亚非古文明中最先使用“0”符号的印度数字还早一些，比欧洲人早约800年。
有了零这个概念的引进，人们不再只停留于计算多少，还开始计算有无。数字维也不再是单向的无限制累加，而是一个可以将不同进位抽象出来，统一于零的形式存在。可以不夸张的说，零为人类把玩数字，操作数量，打开了一个崭新的天地。
由于用了“0”这个符号，玛雅的20进位制的数字写法就很合乎科学要求了。玛雅人用两种方法书写数字，一种是用20个头像来表示0到19；另一种是用横条加圆点的办法，一个圆点代表#，一个横条代表25贝壳形象符号表示"等。这些数字可以横写，也可以竖写。
把”放在#之前，是玛雅数学的独创，它不仅使进位写法更为方便，更为科学，而且对于长纪年历的五级计算也非常有利。因此，玛雅的数字写法也是分级进位的，通常写的是！“进位制的&个级，即以#为起点的第一级，以!”为单元的第二级，以&“”为单元的第三级和以‘“”“为单元的第四级。
第一级的写法和现在用的#" 进位制无大区别，但第二级以上各级就大不相同了。
第二级一个“·”即 # 个!"，数目是!"，两点“··”就变成!(!"， 数目就是 &"，它的#$ 就是#$(!")*’"。同样地， 在第三级中# 是 &""，! 就是# """，如此类推。
这种按级计算的数字，写时必须将各级都分清楚，然后合起来算出总数。级数通常是由下往上写，该级无数就写成"。这种进位制的计算方式也适宜于其他的进位制，甚至各级中若用别的进位也不碍于运算。
玛雅人在数学方面的造诣之高深，使他们能在许多科学和技术活动中解决各种难题。但非常可惜，有关玛雅数学的图书或文献一本也没有流传下来。
这些失落了的数学与科学文献，是失落了的玛雅文明最为幽深的一角。好在我们可以通过考古学上的发现一窥玛雅人非凡的数学成就。
借助数学上的深刻认识，玛雅人在没有分数概念的情况下，精确地计算出太阳历一年的时间。其精确度比我们现在所通用的格雷戈里历法还要精确。
他们通过对金星轨道的观察和计算，计算出金星公转周期为五百八十三点九二日。按照他们的办法推算，一千年仅有一天的误差。古代社会中，天文、历法、农事，三者总是密不可分的。
而它们的基础又都在计算。玛雅人在数学上的早慧，使他们在天文知识、历法系统、农事安排上都表现出一种复杂高妙而又井然有序的从容自信。多种历法并用，每个日子都有四种命名数字，却丝毫不乱。
没有任何特殊仪器，仅靠观星资料，每年准确定出分、至日，以及各种重要会合日的出现。充分掌握天气变化规律，准确计算出雨季、旱季的始终，为农业生产提供最重要的保障。
玛雅数学的成就当然还表现在他们超群的建筑成就上。众多巨型建筑和建筑群落的定位、设计，牵涉到太多的数学问题。在古代玛雅社会，掌握数学的是祭司。他们是玛雅世界的权威人士。他们说哪位神动怒了需要人祭，国人就只好照办。
据说，玛雅祭司在西班牙入侵者到来之前就曾预见到这一事件，并且从神谕中得 知，这些远道而来的人将成为玛雅人的新王。总之，玛雅人心目中的祭司是神游古今、通晓天地之理的人物。凡事都要求教于他们。
那么，作为祭司本身，他们的首要任务就是要尽可能使自己当得起这种重任。玛雅的天文学知识完全建立在祭司们日复一日、年复一年的不间断观察之上，他们
的数字记录系统很好地反映了这种纪年传统。玛雅人将一年划分成十八个月，每月二十天，每年有五个祭日，总和为三百六十五天。有意思的是，他们的数字进位也是分别采用二十进位和十八进位。这就很可能是起始于逐日记录天象观察的实用性需要。也正是这种实用性需要，推进了玛雅数学的发展，更进一步促进了历法、农事的发达。
数系中“0”这个符号的发明和应用，无疑具有重要意义。前人栽树，后人乘凉，现代人均接受了玛雅人的独特创造，并称玛雅的数系为“人类最伟大的成就之一”。
参考答案：
练习一：
1.1号炉3.4吨,2号炉2.2吨
2.甲20个，乙60个
3. 甲35米,乙65米
练习二：
1. 76厘米 2. 190厘米 3. 400米
练习三：
1. 1820米 2. 大米9袋，面粉6袋 3. 10.4元
练习四：
1.甲24千米/小时 乙52/3千米/小时
2.65个
3.120个
练习五：
1. 260千米 2. 45元 3.9个