重庆市育才中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市育才中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 已知圆，0490B等内容，欢迎下载使用。

本试卷为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效；
3.考试结束后，将答题卡交回.
第I卷
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算求出即可得解.
【详解】复数，在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B
2. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定方程及椭圆焦点位置，列出不等式求解即得.
【详解】由方程表示焦点在轴上的椭圆，得，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A
3. 下列直线中，倾斜角最大的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出各选项中的直线倾斜角，再比较大小即得.
【详解】直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为，倾斜角为，
直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为，倾斜角为，
显然直线的倾斜角最大.
故选：C
4. 如图所示，空间四边形中，点分别为的中点，则等于（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解.
【详解】因为点分别为的中点，
所以
，
故选：B．
5. 已知圆：与圆：的公共弦所在直线与直线：垂直，则的值为（ ）
A. 2B. C. 8D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出圆与圆的公共弦所在直线方程，再由垂直关系求出并验证即得.
【详解】把圆与圆的方程相减得：，即为圆与圆的公共弦所在直线方程，
由直线与直线垂直，得，解得，
当时，圆：，即的圆心，半径，
而圆：圆心，半径，
于是，则圆与圆相交，符合题意，
所以的值为2.
故选：A
6. 彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则轨道椭圆的长轴长为______天文单位.（ ）
A. 7.0490B. 4.0770C. 3.5245D. 2.0385
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的信息，结合椭圆的特征列式计算即得.
【详解】依题意，轨道的近日点和远日点为椭圆长轴的端点，而太阳为该轨道椭圆的一个焦点，
所以轨道椭圆的长轴长为（天文单位）.
故选：A
7. 已知直三棱柱中，底面边长分别为、、3，高，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理求的外接圆半径，结合直棱柱的结构特征求其外接圆半径，进而可得表面积.
【详解】不妨设，由余弦定理可得，
且，则，
所以的外接圆半径，
可得该三棱柱的外接球的半径，
所以该三棱柱的外接球的表面积为.
故选：B.
8. 已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，可得夹角的取值范围，整理相关等式，进而可得离心率的函数表达式，利用不等式定义，可得答案.
【详解】设，，，由，则，
显然，则整理可得，由，
则，
解得，由双曲线定义可知：，
则，整理可得，
化简可得，由，且，
则，可得或，
解得或，所以，解得.
故选：C.
二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在空间直角坐标系中，设、分别是异面直线、的两个方向向量，、分别是平面、的两个法向量，若，，，，下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 异面直线、的夹角余弦值为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明判断ABC；利用线线角的向量求法计算判断D.
【详解】由，，得不共线，因此直线与平面不垂直，A错误；
由，，得，即，直线，B正确；
由，，得，即，则，C错误；
由，，得，
因此异面直线、的夹角余弦值为，D正确.
故选：BD
10. 已知双曲线的离心率为，该双曲线的渐近线与圆交于、两点，则的可能取值为（ ）
A. 4B. C. D. 8
【答案】BC
【解析】
【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，再借助点到直线距离公式求出弦心距，进而求出弦长作答.
【详解】由双曲线的离心率为，得，解得，
于是该双曲线的渐近线方程为，而圆的圆心为，半径，
点到直线的距离，即圆与直线相交，弦长为，
点到直线的距离，即圆与直线相交，弦长为，
所以的可能取值为.
故选：BC
11. 如图，在圆锥中，已知高.底面圆的半径为2，为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列三个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线，则下面四个命题中正确的有（ ）
A. 圆锥的体积为B. 圆的面积为
C. 椭圆的长轴长为D. 双曲线两渐近线的夹角
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用圆锥的体积公式计算判断A；利用圆锥的几何性质确定圆的半径计算判断B；利用圆锥的轴截面求出判断C；建立平面直角坐标系，设双曲线方程，确定双曲线过的点的坐标计算判断D.
【详解】对于A，圆锥底面圆面积，圆锥体积，A错误；
对于B，圆锥中截面圆的半径为底面圆半径的一半，该圆面积为，B正确；
对于C，过作于，于是，，
因此椭圆的长轴长，C正确；
对于D，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点与点P到底面距离相等，
于是双曲线顶点，双曲线与圆锥底面圆周的交点，设双曲线方程为，
则，解得，因此该双曲线的两条渐近线互相垂直，
即双曲线两渐近线的夹角，D正确.
故选：BCD
12. 设椭圆：的左右焦点分别为，，为椭圆上一动点，则下列说法不正确的有（ ）
A. 的面积最大值为
B. 直线与椭圆恒有两个公共点
C. 的最小值为9
D. 若，则的内切圆半径
【答案】C
【解析】
【分析】A项：当点位于短轴顶点时，面积最大，从而求解；
B项：直线过定点且在椭圆内，从而求解；
C项：由椭圆定义知：，然后利用基本不等式求解；
D项：先求出的面积值，然后利用面积与内切圆半径的关系，从而求解.
【详解】A项：当位于短轴顶点时，的面积有最大值为：，故A项正确；
B项：直线：过定点，且，所以点在椭圆内，即直线与椭圆恒有两个公共点，故B项正确；
C项：由椭圆定义知：，
所以：，
当且仅当：时取等号，故C项错误；
D项：由题意知：，则由椭圆定义和余弦定理得：，
解得：，所以：的面积有为：，
设的内切圆半径为，则：，解得：，故D项正确.
故选：C.
第II卷
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 张老师在课堂上与学生一起探究某双曲线的简单几何性质时，有四位同学分别给出了一个结论：
甲：该双曲线的实轴长为6
乙：该双曲线的虚轴长为8
丙：该双曲线的焦距长为5
丁：该双曲线的一条渐近线可以为
如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是______.
【答案】丙
【解析】
【分析】根据双曲线方程中的大小关系，判断并验证即可.
【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距，有，即有，
显然甲乙丙3人的结论中至少有两个正确，由于焦距比实轴、虚轴都长，因此丙的结论是错误的，
此时，则该双曲线的一条渐近线可以为，丁的结论也正确，符合题意，
所以结论错误的同学是丙.
故答案为：丙
14. 已知入射光线经过点被轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】求得点关于轴的对称点的坐标，再用两点式求得反射光线所在的直线的方程．
【详解】由题意利用反射定律可得，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，故反射光线所在直线的方程为，化简可得.
故答案为：．
15. 已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用点差法可求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】若直线轴，则的中点在轴上，不合乎题意，
设点、，因为若弦的中点为，则，
因为，可得，即，
所以，，
因此，直线的方程为，即.
联立可得，，
所以，直线与双曲线有两个交点，合乎题意，
因此，直线的方程为，
故答案为：.
16. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，利用椭圆定义及对称性表示出，结合勾股定理可得，再利用余弦定理求解即得.
【详解】令椭圆：的半焦距为c，设，则，
由点在轴上，，得，而，，
因此，即，解得，
在中，，
在中，由余弦定理得，
即，整理得，，
所以的离心率为.
故答案为：
四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求解即得.
（2）由（1）中信息求出，再利用三角形面积公式计算即得.
【小问1详解】
在中，由及正弦定理得，
即，由余弦定理得，而，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，而，，即有，而，解得，
所以的面积为.
18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，，为中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理即得.
（2）取中点，证明平面平面，利用几何法求出线面角的正弦即得.
【小问1详解】
在四棱锥中，由，为的中点，得，
而，平面，
所以平面.
【小问2详解】
取中点，连接，由是正方形，为的中点，得，
而，则，由（1）知平面，平面，则，

而平面，于是平面，又平面，
则平面平面，因此在平面上的射影为平面与平面的交线，
则为直线和平面所成的角，
由，，为的中点，得，
由平面，平面，得，，
所以直线和平面所成的角的正弦值为.
19. 已知双曲线：与椭圆有相同的焦点，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于、两点，且，为坐标原点，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由椭圆方程求出双曲线的焦点，再根据给定点求出即可.
（2）联立直线与双曲线方程，利用向量垂直的坐标表示求解即得.
【小问1详解】
令双曲线：的半焦距为c，
由双曲线与椭圆有相同的焦点，得，即，
由双曲线过点，得，解得，
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
由（1）得，消去y得：，
，解得，设，
则，，
由，得，即，
于是，解得，
所以的值为.
20. 已知圆经过两点、，且圆的圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若点为直线：上的动点，过点作圆的切线、，切点为、，求四边形面积的最小值，并出此时点的坐标.
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）根据圆上的两个已知点求得其对称轴，联立方程求得圆心，利用两点距离公式，可得答案；
（2）根据题意，作图，结合切线的性质以及动点与直线的性质，可得答案.
【小问1详解】
由与，则直线的斜率，其中点坐标为，
所以的对称轴为直线，易知圆心在直线上，
联立，解得，则，半径，
所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
根据题意，作图如下：
由图可知：四边形的面积为，且，，
在中，，因为，所以当最小时，最小，
当时，最小，此时最小，此时，，
，所以四边形面积的最小值为，
由直线，则其斜率，
直线的斜率，则直线的方程为，整理可得，
联立，解得，则.
21. 已知，如图（1）在五边形中，，，，，，现将沿折起得到图（2），且使得平面平面，在线段上.
图（1） 图（2）
（1）若，求证：平面；
（2）若，当为何值时，平面和平面夹角的余弦值为.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）连接，连接，利用线面平行的判定推理即得.
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求面面角的求解方法，求出值即可.
【小问1详解】
连接，连接，由，，得，
由，得，则，而平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
由平面平面，平面平面，，得平面，
在平面内过作，显然射线两两垂直，
以点为原点，射线分别为轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，
由，，，
得，
由，得，，，
令平面的一个法向量为，则，取，得，
令平面的一个法向量为，则，取，得，
由平面和平面夹角的余弦值为，得，
于是，解得，
所以当时，平面和平面夹角的余弦值为.
22. 在平面直角坐标系中，、为圆：与轴的交点，点为该平面内异于、两点的动点，且______，从下列条件中任选一个补充在上面问题中作答.
条件①：直线与直线的斜率之积为；
条件②：设为圆上的动点，为点在轴上的射影，且为的中点；
注：如果选择多个条件作答，按第一个计分.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若直线与（1）问中轨迹方程交于、两点，与圆相交于、两点，且，求面积最大值.
【答案】（1）①：；②：
（2）
【解析】
【分析】（1）选①：表示出两条直线的斜率，整理方程，可得答案；选②：表示出点的坐标，利用中点坐标公式，建立等量关系，结合圆的方程，可得答案.
（2）根据圆心角求得弦心距，利用直线与椭圆的弦长公式，结合分类讨论以及函数思想，可得答案.
小问1详解】
选①：
设，由圆，则，，
所以直线的斜率分为为，，其中，
由题意可得，整理可得.
选②：
设，，则，，
由为的中点，则，解得，
可得，整理可得.
【小问2详解】
在圆中，由，，则，
在中，，则，
当直线的斜率不存在时，可得，代入方程，
可得：，解得，可得；
当直线的斜率存在时，可设，联立可得，
消去整理可得：，，
根据韦达定理可得：，，
整理可得，则，解得，
，
令，则，
令，解得或，可得下表：
所以，则的最大值为，
综上所述，的最大值为.