重庆市育才中学校2023-2024学年高二下学期期中数学试题（解析版）

这是一份重庆市育才中学校2023-2024学年高二下学期期中数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了5mm黑色签字笔答题；， 已知函数在处的切线方程为，则， 在的展开式中，含有项的系数为， 若函数在处有极大值，则， 已知正数满足等内容，欢迎下载使用。

2024.4
（满分150分，考试时间120分钟）
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.
注意事项：
1．答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号；
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题；
3．请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；
4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回.
第I卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数在处的切线方程为，则（ ）
A. 0B. C. D. -8
【答案】B
【解析】
【分析】由导数的几何意义求解即可.
【详解】因为函数在处的切线方程为，
此时直线方程的斜率为，
所以.
故选：B.
2. 已知函数的导函数f'x的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由导函数f'x的图象结合的单调性和极值即可得出答案.
【详解】由图象可得上单调递减，
在0,2单调递增，所以，故B、C错误，D正确；
和为极值点，所以，
但无法确定值的大小，故A错误.
故选：D.
3. 在的展开式中，含有项的系数为（ ）
A. －5B. 0C. 5D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合二项展开式的性质，即可求解.
【详解】由题意，在的展开式中，
其中项为，
所以项的系数为.
故选：A.
4. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记“两次的点数均为偶数”，“两次的点数之和为6”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件概率公式，结合列举法，即可求解.
【详解】事件包含的样本点有，共5个样本点，
其中“两次的点数均为偶数”的有，共2个样本点，
所以.
故选：D
5. 在某次流感疫情爆发期间，A，B，C三个地区均爆发了流感，经调查统计A，B，C地区分别有的人患过流感，且A，B，C三个地区的人数的比为．现从这三个地区中随机选取一人，则此人患过流感的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】记事件D：选取的这个人患了流感，记事件E：此人来自A地区，记事件F：此人来自B地区，记事件G：此人来自C地区，则，且彼此互斥，然后根据条件依次得到、、、、、的值，然后根据全概率公式公式求解即可.
【详解】记事件D：选取的这个人患了流感，记事件E：此人来自A地区，
记事件F：此人来自B地区，记事件G：此人来自C地区，
则，且彼此互斥，
由题意可得，，，
，，，
由全概率公式可得
.
故选：A.
6. 若函数在处有极大值，则（ ）
A. 1或3B. 3C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据在处的导数为0求得c，然后验证函数是否在处取得极大值即可.
【详解】因为
若函数在处有极大值，
所以，解得或，
当时，，
当或时，，当时，，
则函数在处取得极小值（舍去）；
当时，，
当或时，，当时，，
则函数在处取得极大值，综上，.
故选：C.
7. 如果函数的导数，可记为．若，则表示函数的图象与直线以及轴围成的封闭图形的面积，可称之为在区间上的“围面积”．则函数在区间上的“围面积”是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由在区间上的“围面积”的定义求解即可.
【详解】因为，所以（为常数），
故函数在区间上的“围面积”是
，
故选：B.
8. 已知正数满足（e为自然对数的底数），则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题设且，构造、，利用导数、零点存在性定理判断在上的函数值符号，即可得答案.
【详解】由题设，则，且，则，
令且，故，
令，则在上递增，
故，
所以在上递增，故，
所以在上递增，故，
即在上恒成立，故，D错，C对；
对于的大小关系，令且，
而，，
显然在上函数符号有正有负，故的大小在上不确定，
即的大小在上不确定，所以A、B错.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对按比例得分，有选错的得0分
9. 某产品的加工过程有甲、乙、丙、丁、戊5道不同的工序，现将5道工序按不同的顺序安排流程，则下列说法正确的是（ ）
A. 如果甲工序不能放在第一，共有96种加工顺序
B. 如果甲、乙两道工序必须相邻，共有12种加工顺序
C. 如果甲、丙两道工序必须不相邻，共有72种加工顺序
D. 如果乙、丙两道工序必须乙在前，丙在后，共有40种加工顺序
【答案】AC
【解析】
【分析】对A：根据分步计数原理，先安排特殊的工序，再安排其它工序即可；对B：采用捆绑法，再根据分步计数原理即可求得结果；对C：采用插空法，再根据分步计数原理即可求得结果.对D，采用倍缩法.
【详解】对于A，假设甲工序不能放在第一，，则甲有4种安排方式，根据分步计数原理，
所有安排顺序有：种，故A正确；
对于B，甲乙工序相邻，将甲和乙捆绑为一道工序，和剩余3道工序放在一起排序，
则共有种加工顺序，故B错误；
对于C，假设甲丙工序不能相邻，则先安排剩余3道工序，在形成4个空中，
安排甲丙，故共有：种加工顺序，故C正确；
对于D，现将5道不同的工序全排列，再除以乙、丙两道工序的顺序，
故共有，故D错误.
故选：AC.
10. 若，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 含项的系数是112
【答案】ACD
【解析】
【分析】由赋值法可判断AC；将，即可求出可判断B；项的系数只能来自的展开式，求解可判断D.
【详解】对于A，令可得：，所以，故A正确；
对于B，，
则，故B错误；
对于C，令可得，故C正确；
对于D，项的系数只能来自的展开式，
含项的系数是，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 若正数为函数的从小到大的第个极值点，则为等差数列
B. 若正数为函数的从小到大的第个极值点，则为等比数列
C. ，函数在上没有零点
D. ，函数在上有且仅有一个零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】由，求得，结合等差数列的定义，可判定A正确；由 ，结合等比数列的定义，可判定B正确；令，即，转化为，令，利用导数求得函数的单调性与极值，进而可判定C错误，D正确.
【详解】对于A中，由，
令，可得，解得，即
所以数列的通项公式为，则（常数），
所以数列为等差数列，所以A正确；
对于B中，由，则，
可得（常数），
所以数列为等比数列，所以B正确；
对于C、D中，由，令，即，
当时，不是函数的零点；
当时，则，
令，，可得，
令，可得，解得：和，
令，可得，解得：和，
所以Fx在和上单调递增，在和单调递减，
所以当时，有极大值，且，，
当趋近时，Fx趋近负无穷，当趋近时，Fx趋近正无穷，
所以函数的值域为，
当时，函数与没有公共点，
当时，函数与有一个公共点，
当时，函数与有两个公共点，
所以，函数在上没有零点是错误的，所以C错误；
当时，函数与只有一个公共点，
即此时函数在上有且仅有一个零点，所以D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围
（2）分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
第II卷
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知离散型随机变量的分布列如下，则_______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据分布列性质求出，再由方差公式求解即可.
【详解】由分布列性质可知，，解得，
所以，
.
故答案为：2
13. 在的展开式中，若第7项与第8项的二项式系数之比为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，再将组合数代入即可得出答案.
【详解】的展开式中，第7项与第8项的二项式系数为和，
所以，即，解得：.
故答案为：.
14. 若是函数的两个极值点，则的取值范围为________；若，则的最小值为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题意，转化为与有两个不同的交点，令，利用求得函数的单调性与极值，结合图象，求得的取值范围；由，转化为，令，再令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为函数有两个极值点，即是的两个根，
当时，方程不成立，所以与有两个不同的交点，
令，可得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，其中，
函数的图象如图所示，
要使得与有两个不同的交点，则满足，
即实数的取值范围为.
由图象可知，，且，因为，即，
由，可得，所以，
令，所以，
令，可得，
令，可得，
所以在区间上单调递减，所以，
所以在区间上单调递减，，
所以，又由，可得，
所以在上单调递减，则，所以实数的最小值为.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设等差数列an的公差为，由题意得，求出公差的值，即可得到数列an的通项公式；
（2）由（1）求出bn，再由分组求和法求和即可．
【小问1详解】
因为成等比数列，所以，
设等差数列an的公差为，所以，解得：，
所以数列an的通项公式为.
【小问2详解】
因为，
所以
.
16. 已知函数．
（1）若，求在上的最值；
（2）讨论函数的单调性．
【答案】（1）最大值为，最小值为.
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）首先求函数的导数，判断函数的单调性，比较端点值和极值大小，即可求解最值；
（2）首先求函数的导数，并化简得，再讨论导数的零点，求函数的单调性.
【小问1详解】
当时，，
当，，，的变化情况如下表所示，
所以在区间的最大值为，最小值为.
【小问2详解】
，
令，得或，
当，即时，，得或，，得，
所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
当，即，此时恒成立，所以函数的单调递增区间是，无减区间；
当，即时，，得或，，得，
所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
综上可知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，函数的单调递增区间是，无减区间；
当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.
17. 近期重庆市育才中学校举行了“探‘乐’计划”校园歌手大赛和“想玩就‘趣’FUN肆到底”育才达人甲、乙、丙三人均依次参加两个比赛，三人进入校园歌手大赛决赛的概率均是，进入达人秀决赛的概率均是，且每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响．
（1）求甲两个比赛都进入决赛的概率；
（2）记三人中两个比赛均进入决赛的人数为．求随机变量的概率分布和数学期望
【答案】（1）
（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）根据题意分别求出甲进入校园歌手大赛决赛和进入达人秀决赛的概率，再由独立事件的乘法公式求解即可.
（2）根据题意先求出的所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列并计算出期望即可求解.
【小问1详解】
设“甲进入校园歌手大赛决赛”为事件，“甲进入达人秀决赛”为事件，
则，
因为每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响，
所以事件和事件相互独立，
所以甲两个比赛都进入决赛的概率为.
故甲两个比赛都进入决赛的概率为.
【小问2详解】
的可能取值为，所以
，
，
，
，
故随机变量的分布列为：
所以.
18. 已知双曲线和椭圆有公共焦点，且离心率．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作两条相互垂直的直线分别交双曲线于不同于点的两点，求点到直线距离的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据双曲线和椭圆有公共焦点求出，再由离心率的公式求出，从而求得双曲线的方程.
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合以及点到直线的距离公式、基本不等式求得点P到直线距离的最大值.
【小问1详解】
因为椭圆的焦点在轴上，
所以双曲线的，又因为，
所以，
所以双曲线方程为.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，设Mx0,y0y0>0，则，
，
依题意，
，即，
由解得或（舍去），
所以，此时到直线的距离为.
当直线的斜率存在时，设，设直线的方程为.
由消去并化简得：，
Δ=16k2m2-42k2-12m2+2=-16k2+8m2+8>0,m2-2k2+1>0①，
，
依题意，
所以
，
整理得，
即，由于直线，，
所以，
函数的开口向上，
判别式为，故①成立.
所以直线的方程为，即，
所以到的距离，
，
当时，；当时，
当且仅当时等号成立.
所以.
综上所述，点到直线的距离的最大值为.
【点睛】关键点睛：本题（2）的关键点在于根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合以及点到直线的距离公式、基本不等式求得点P到直线距离的最大值.
19. 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链下垂部分所形成的曲线是悬链线，通过建立适当坐标系，悬链线可为函数的图象，我们称这个函数为“双曲余弦函数”，记为，把称为“双曲正弦函数”，记，易知．
（1）证明：（i）当时，；
（ii）当时，；
（2）证明：．
【答案】（1）(i)证明见解析；(ii)证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）(i)将不等式移到一边构造新的函数，对导数进行求导，利用函数的单调性即可证明；
(ii) 将不等式移到一边构造新的函数，对导数进行求导，利用函数的单调性即可证明；
（2）利用(1)中的证明将目标式子左面合理放缩，结合裂项相消法求和即可.
【小问1详解】
（i）由，
令Fx=shx-x=ex-e-x2-x,x>0，
则，
所以Fx在0,+∞上单调递增，
所以Fx=shx-x>F0=sh0-0=0，
所以当时，成立；
（ii）令Hx=csx-1+12x2,x>0，
则，
令，
则，
因此φx在0,+∞上单调递增；
所以，
故，
即H'x=-sinx+x>0，
所以在0,+∞上单调递增，
即Hx=csx-1+12x2>H0=0，
所以当时，成立；
【小问2详解】
由时，成立，
令，且，
则，
即 ，
由题意，
令且，可得，
因为，
所以，
由①当时，，
所以令且，可得，
所以，
由前面解答过程得，对任意成立，
令且，
可得 ，
所以，
又且，所以，
所以sh2ntan1n>2cs1n>21-12n-1-12n+1
所以可得
sh2tan1+sh1tan12+sh23tan13+⋯+sh2ntan1n>21-1-13+13-15+⋯+1-12n-1-12n+1 ，
即可得sh2tan1+sh1tan12+sh23tan13+⋯+sh2ntan1n>2n-4n2n+1n∈N*.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列与导数新定义结合，解题关键是对目标式子左侧合理放缩，然后使用裂项相消法求和，得到所证明的不等关系即可．
2
3
6
单调递增
单调递减
单调递增