重庆市字水中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市字水中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. 0°B. 90°C. 180°D. 不存在
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线与坐标轴垂直可得倾斜角.
【详解】因为直线与轴垂直，
所以直线的倾斜角为90°.
故选：B
2. 已知为原点，点，以为直径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒
【详解】由题知圆心为，半径，
∴圆的方程为﹒
故选：A﹒
3. 设点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用直线斜率定义数形结合即可求得直线的斜率取值范围.
【详解】

直线过点，且与线段相交，
则直线的斜率取值范围是.
故选：C
4. 在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线PN和BM的方向向量代入公式即可得出答案.
【详解】以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，，，，
则，，
设异面直线PN和BM所成角为，则.
故选：B.
5. 已知点在线段上，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将问题化为求原点到线段上点距离的平方的范围，进而求目标式的距离.
【详解】由的图象如下，

又是上图线段上的一点，且为原点到该线段上点距离的平方，
上述线段端点分别为，到原点距离的平方分别为，
由图知：原点到线段的距离，则，
综上，，故.
故选：B
6. 已知点，点，点在圆上，则使得的点的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用求出点的轨迹方程为，再根据圆心距与两圆的半径的和的大小关系可得两圆相交，从而可得结果.
【详解】因为点，点，且，所以点的轨迹是以为直径的圆，
圆心，半径为，其方程为，
所以两圆的圆心距为，两圆的半径和为，
因为，所以两圆相交，所以满足条件的点的个数为，
故选：C
7. 苏州有很多圆拱悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（ ）米.（注意：≈）
A. 6.48B. 5.48C. 4.48D. 3.48
【答案】A
【解析】
【分析】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a），利用待定系数法求出圆的方程，将x=-30代入即可求得.
【详解】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
设圆心坐标为（0，a），则P(0,10),A(-50,0).
可设圆拱所在圆的方程为,由题意可得：
解得： .
所以所求圆的方程为.
将x=-30代入圆方程,得: ,
因为y>0,所以.
故选：A.
8. 自点发出的光线经过轴反射，其反射光线所在直线正好与圆相切，则反射光线所在直线的所有斜率之和为（ ）
A B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆心与半径，点A关于轴的对称点的坐标，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得结论.
【详解】圆可化为，
圆心为，半径为．
点关于轴对称的点为，
所以设反射光线所在直线的方程为，即．
由反射光线正好与圆相切，得，
即，解得，
于是．
故选：C.
二、多选题（每小题全选对得5分，有错误选项得0分，部分选对得2分，满分20分）
9. 已知直线的方程为，则（ ）
A. 直线在轴上的截距为2
B. 直线在轴上的截距为3
C. 直线的倾斜角为锐角
D. 过原点且与垂直的直线方程为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据直线方程，分别令即可判断AB，由直线斜率可判断C，求出原点且与垂直的直线方程即可判断D.
【详解】在中，令，得，所以A不正确；
令，得，所以B正确；
因为直线l的斜率为，所以直线l的倾斜角为锐角，故C正确；
因为与l垂直的直线方程可设为，又直线过原点，所以，故D正确.
故选：BCD
10. 已知直线，则（ ）
A. 若，则的一个方向向量为B. 若，则或
C. 若，则D. 若不经过第二象限，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将化简得，结合一次函数的性质即可判断D.
【详解】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为，故A正确；
对B，若，当时，显然不合题意，则，则直线的斜率，
直线的斜率，则有，即，解得或，
当时，此时直线，显然两条直线重合，故B错误；
对C，若，当时，显然不合题意，则，则，
即，解得，故C正确；
对D，若不经过第二象限，，化简得，则，解得，故D正确；
故选：ACD.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B. 点关于直线的对称点为
C. 过两点的直线方程为
D. 已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线为，则点到直线的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由直线方程，求得在坐标轴上的截距，利用面积公式，可判定A正确；根据点关于直线的对称的求法，求得对称点的坐标，可判定B正确；根据直线的两点式方程的条件，可判定C错误；根据题意，求得直线的方程，结合点到直线的距离公式，可判定D正确.
【详解】对于A中，令，可得，令，可得，
则直线与两坐标轴围成的三角形的面积，所以A正确；
对于B中，设关于直线对称点坐标为，
则，解得，所以B正确；
对于C中，直线的两点式使用的前提是，所以C错误；
对于D中，以向量为方向向量的直线的斜率，
则过点的直线的方程为，即，
则点到直线的距离，所以D正确．
故选：ABD．
12. 已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最大值是
B. 的最大值是
C. 的最小值是
D. 过点作曲线的切线，则切线方程为
【答案】BD
【解析】
【分析】由表示圆上的点到定点的距离的平方，可判定A错误；由表示圆上的点与点的斜率，设，结合点到直线的距离公式，列出不等式，可判定B正确；由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，进而可判定C错误；根据点在圆上，结合圆的切线的性质，可判定D正确.
【详解】由圆可化为，可得圆心，半径为，
对于A中，由表示圆上的点到定点的距离的平方，
所以它最大值为，所以A错误；
对于B中，表示圆上的点与点的斜率，设，即，
由圆心到直线的距离，解得，
所以的最大值为，所以B正确；
对于C中，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，
圆心到直线的距离，所以其最小值为，所以C错误；
对于D中，因为点满足圆的方程，即点在圆上，
则点与圆心连线的斜率为，
根据圆的性质，可得过点作圆的切线的斜率为，
所以切线方程为，即，所以D正确.
故选：BD.
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 甲､乙､丙三人参加一次面试，他们通过面试的概率分别为，所有面试是否通过互不影响．那么三人中恰有两人通过面试的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据事件独立性和互斥性直接计算求解即可.
【详解】三人中恰有两人通过面试，可能情况为甲和乙通过、丙未通过；甲和丙通过、乙未通过；乙和丙通过、甲未通过.
根据事件互斥性可知所求概率为.
故答案为：
14. 平行直线与之间的距离为_________．
【答案】##0.3
【解析】
【分析】根据平行线间的距离公式即可求得答案.
【详解】由题意得即
则平行直线与之间的距离为，
故答案为：
15. 如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为__________

【答案】
【解析】
【分析】由向量的线性表示，根据向量模长根式即可代入求解.
【详解】解：由条件，知，,
所以
，
所以,
故答案为：
16. 若直线与圆分别交于M、N两点. 则弦MN长的最小值为___________.
【答案】4
【解析】
【分析】分析直线过定点，再由勾股定理即可求解.
【详解】由圆可得圆心，半径3，
直线，即，
直线过定点P，
又因为，
所以点在圆的内部，
当圆心到直线MN距离最大时，弦长MN最小，此时，
此时，
故答案为：4.
四、解答题（满分70分，17题满分10分，18~22题每题满分12分）
17. 已知三角形的三个顶点，求：
（1）AC边所在直线的方程
（2）BC边上中线所在直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直线方程的截距式方程列式，化简即得AC边所在直线的方程；
（2）由线段的中点坐标公式，算出BC中点D的坐标，从而得到直线AD的斜率k，再由直线方程的点斜式列式，化简即得BC边上中线所在直线的方程．
【小问1详解】
，
∴直线AC的截距式方程为，化简得
即AC边所在直线的方程为：；
【小问2详解】
∴BC中点为D（，），
直线AD的斜率为k
因此，直线AD的方程为y（x+5），
化简得，即为BC边上中线所在直线的方程．
18. 已知圆过点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）设点在圆上运动，点，记为线段的中点，求的轨迹方程；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求的垂直平分线方程为，与的交点即圆心，圆心到点的距离即为半径，即可得圆的标准方程.
（2）由为线段的中点得到坐标与坐标的关系，代入圆方程可得轨迹方程.
【小问1详解】
，的中点坐标为，直线的斜率为，
故线段的垂直平分线方程为，即，
联立得，即圆的圆心为，半径为，
故圆的方程为
【小问2详解】
设，，因为线段的中点，
所以，则，
因点在圆上运动，所以，
则，
即的轨迹方程为.
19. 读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情．某校为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名．经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图．

（1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的第75百分位数；
（2）从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取7人，再从这7人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据百分位数的定义，结合频率分布直方图可得答案；
（2）由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有6人，女生有人，按照比例抽样，利用古典概型可解.
【小问1详解】
设女生一周阅读时间的分位数为a，，解得；
【小问2详解】
由频数分布表，频率分布直方图知，
一周课外阅读时间为的学生中男生有6人，女生有（人），
若从中按比例分别抽取7人，则男生有2人，记为，，
女生有5人，记为，，，，，
则样本空间，
共有21个样本点．
记事件A＝“恰好一男一女”，
则包含10个样本点，
故所求概率．
20. 如图，已知在矩形中，为边的中点，将沿直线折起到（平面）的位置，为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）已知，当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）延长与相交于点,连接，根据中位线证明，得到证明.
（2）证明，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，计算平面的一个法向量为，根据夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）延长与相交于点,连接,
∵为边的中点，四边形为矩形，
∴,,∴为的中位线，∴为线段的中点，
∵为线段的中点，∴∵平面，平面,
∴平面.
（2）∵,为边的中点，∴,即,
取线段的中点,连接,,则由平面几何知识可得,,
又∵四边形为矩形，,为边的中点，
∴,,
∵平面平面，平面平面,,
∴平面，
∵平面，∴,
∴以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则,,,,,,,,
设平面的一个法向量为，则，即，
不妨取，则，，即，
设直线与平面所成角为，则
，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查了线面平行和线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
21. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，，为棱的中点.

条件①：；
条件②：平面平面.
从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列问题：
（1）求证：；
（2）若点在线段上，且点到平面的距离为，求线段的长.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）选①：先用勾股定理证明，再由线线垂直证明线面垂直，继而证明。
选②：先由面面垂直证明线面垂直，继而证明。
（2）建立空间直角坐标系，用向量方法即可求解.
【小问1详解】
选①：.
证明：在平行四边形中，，
因为，，
所以在△中，.
所以，
所以.
又，，平面，平面，
所以平面.
因为平面，
所以.
又因为，
所以.
选②：平面平面.
证明：因为平面平面，平面平面，，平面.
所以平面，
因为平面，
所以.
【小问2详解】
由（2）知，BA，BD，BP两两垂直，以为原点，，， 为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，
所以，，.

设平面的一个法向量为，
则 即
令，则，. 所以．
因为点在线段上，设，
所以，
故点到平面的距离为，得.
所以
所以，
所以.
22. 已知点，，动点P满足，设P轨迹为C．
（1）求C的轨迹方程；
（2）若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设P点坐标为，由题意列出等式，化为方程，即可得答案；
（2）设出直线方程，联立轨迹方程，可得根与系数关系式，利用点的坐标表示出，结合根与系数的关系式化简，即可求得答案.
【小问1详解】
设P点坐标为，
由可得，
化简得，即C的轨迹方程为；
【小问2详解】
由题意知直线MN的斜率不存在时，不妨取，
此时；
直线MN的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，整理得，
由于直线过内一点，必有，

设，则，
则
，
由于，故，
综合以上可知.
【点睛】关键点睛：本题考查轨迹方程的求解以及直线和圆的位置关系中向量数量积的取值范围，解答本题的关键是利用点的坐标表示出，进而结合根与系数的关系式化简，即可求解答案.
男生一周阅读时间频数分布表
小时
频数
9
22
6
3