重庆市荣昌中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（Word版附解析）

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满分:150分 考试时间：120分钟
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域．）
1. （2015新课标全国Ⅰ文科）已知点，向量，则向量
A. B.
C. D.
2. 按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么形状是（ ）
A. 等边三角形B. 直角三角形
C. 腰和底边不相等等腰三角形D. 三边互不相等的三角形
3. 已知，，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，若 ，则该三角形形状一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形D. 等边三角形
5. 在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，，分别是，的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A.
B. 当E为中点时，
C. 三棱锥的体积为定值
D. 存在点，使得平面平面
8. 在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. （多选）下列命题中的真命题是（ ）
A. 若直线不在平面内，则
B. 若直线上有无数个点不在平面内，则
C. 若，则直线与平面内任何一条直线都没有公共点
D. 平行于同一平面的两直线可以相交
10. 已知复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有（ ）
A. 复数z的共轭复数的模为1B. 复数z在复平面内对应的点在第四象限
C. 复数z是方程的解D. 复数满足，则的最大值为2
11. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为，是母线的靠近点的三等分点．从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，灯光带的最小长度为．下面说法正确的是（ ）
A. 圆锥的侧面积为B. 过点的平面截此圆锥所得截面面积最大值为
C. 圆锥的外接球的表面积为D. 棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 若一个球的体积为，则它的表面积为_________．
13. 平面向量，，，且与的夹角等于与的夹角，则_______．
14. 正三棱柱中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱，的中点，则直线EF与直线BC所成角的余弦值为_______；若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为_______.
四、解答题：（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 回答下列问题
（1）已知复数是方程的根（是虚数单位，），求．
（2）已知复数，设复数，（是共轭复数），且复数所对应的点在第三象限，求实数的取值范围．
16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AC边上的点，.
（1）求的大小；
（2）若，，求BC的长.
17. 如图：在正方体中，为的中点.
（1）求三棱锥体积；
（2）求证：平面；
（3）若为的中点，求证：平面平面.
18. 如图：某公园改建一个三角形池塘，，（百米），（百米），现准备养一批观赏鱼供游客观赏．
（1）若在 内部取一点P，建造APC连廊供游客观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；
（2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建行连廊，使得 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏．如图②，当为正三角形时，求的面积的最小值．
19. 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：.若，则称为空间向量与的叉乘，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的不同两点.
（1）①若，求；
②证明：.
（2）记的面积为，证明：；
（3）问：的几何意义表示以为底面､为高的三棱锥体积的多少倍？