2024江苏省射阳中学高二上学期11月期中数学试题含解析

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一、单项选择题：每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知倾斜角为直线过，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 以为顶点的三角形是（ ）
A. 锐角三角形B. 钝角三角形
C. 以为直角顶点的直角三角形D. 以为直角顶点的直角三角形
4. 已知等差数列共有21项，若奇数项的和为110，则偶数项的和为（ ）
A. 100B. 105C. 90D. 95
5. 直线与圆的位置关系为（ ）
A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定
6. 已知数列对任意满足，则（ ）
A. 4040B. 4043C. 4046D. 4049
7. 刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月还一次款，分10次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为．则小明每个月所要还款的钱数为（ ）元．
A. B. C. D.
8. 斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为，则的范围是（ ）
A. B.
C. 或D.
二、多选题:每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求,全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.
9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线过点B. 直线的斜率为
C. 直线在上的截距为D. 直线在上的截距为
10. 若为等比数列，则下列数列中是等比数列的是（ ）
A. B. （其中且）
C. D.
11. 已知抛物线焦点为，顶点为，点在抛物线上，若，则下列选项正确的是（ ）
A. B. 以MF为直径的圆与轴相切
C D.
12. 已知与，则下列说法正确是（ ）
A. 与有2条公切线
B. 当时，直线是与的公切线
C. 若分别是与上的动点，则的最大值是3
D. 过点作的两条切线，切点分别是，则四边形的面积是
三、填空题:每小题5分，共20分.
13. 两条平行直线与间的距离是__________．
14. 若满足：，则满足上述条件数列一个通项公式为________．
15. 定义：点P为曲线外的一点，A，B为曲线上的两个动点，当取最大值时，为点P对曲线的张角．已知点P为直线l：上的动点，A，B为圆O：上的两个动点，设点P对圆O的张角为，则的最大值为______．
16. 已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为________．
四、解答题:共计70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.
17. 已知直线过点．
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程
（2）若直线在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程．
18. 已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前n项和．
19. 圆：内有一点，过的直线交圆于，两点.
（1）当为弦中点时，求直线的方程；
（2）若圆与圆：相交于，两点，求的长度.
20. 已知拋物线的顶点在原点，对称轴为 ​轴，且经过点​.
（1）求抛物线方程;
（2）若直线 ​与抛物线交于​两点，且满足​，求证: 直线​恒过定点，并求出定点坐标.
21. 各项均为正数的数列的前项和记为，已知，且对一切都成立．
（1）求数列的通项公式；
（2）在和之间插入个数，使这个数组成等差数列，将插入的个数之和记为，其中．求数列的前项和．
22. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：

步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点与点重合）；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为2，按上述方法折纸．以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线．