江苏省射阳中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份江苏省射阳中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知点，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两点坐标可求得直线的斜率，再由斜率与倾斜角之间的关系可得结果.
【详解】由可得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，可得，所以.
故选：D
2. 已知数列，则45是该数列中第（ ）项
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件可得通项公式，代入数据即可求解.
【详解】由已知条件可得：，
令解得：.
故选：C
3. 已知集合，，则的非空真子集的个数为（ ）
A. 16B. 15C. 14D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出集合A，B，即可得，继而求出的非空真子集的个数.
【详解】由题意得，
，
故，
故的非空真子集的个数为，
故选：C
4. 已知复平面内，复数对应的点满足，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的除法法则化简复数，结合复数的几何意义建立方程求出的值，求解复数的虚部即可.
【详解】由，
复数对应的点满足，则，解得，
所以，得复数的虚部为.
故选：A.
5. 已知，，均为单位向量，且.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先设与，与的夹角，再由已知得出，分，应用同角三角函数关系结合数量积的定义计算求解.
【详解】设与的夹角为，与的夹角为，
由 ，知,所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
所以.
故选：B
6. 甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（ ）
A. 0.36B. 0.352C. 0.288D. 0.648
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，然后由独立事件和互斥事件的概率公式求解即可
【详解】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，则获胜的概率为
二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，则获胜的概率为，
而这两种情况是互斥的，所以甲最终获胜的概率为，
故选：D
7. 已知函数，数列满足，命题若是上的减函数，命题对于任意的正整数，，都有，则命题是命题的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先根据题意将两个命题分别求出参数的范围，然后判断充分性和必要性即可.
【详解】命题若是上的减函数，得 ，解得，
命题对于任意的正整数，，都有，
不妨令，可得，有 ，
由题，知，解得，
所以命题是命题的充分不必要条件.
故选：A
8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出以为圆心的圆的方程，求出，，求出直线的方程后结合距离公式可求的坐标，代入椭圆方程后可求离心率.
【详解】
设椭圆的半焦距为，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为，
故其方程为：，
令，则，结合在轴正半轴上，故，
令，则或，故.
故，故直线.
设，
因为在轴的正半轴上，在轴的负半轴上，故，
而，
故，整理得到：，
故，故，
所以，故，
整理得到：，故，
故选：D.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中离心率的值或范围的计算，关键在于构建关于基本量的方程或方程组（不等式或不等式组），后者可通过点在椭圆上或判别式为零等合理构建.
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 若数列的通项公式为，则（ ）
A. 该数列仅有6个正数项B. 该数列有无限多个负数项
C. 该数列的最大项就是函数的最大值D. 是该数列中的一项.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，利用数列an的通项公式可逐项分析判断各个选项.
【详解】对于选项A，B，令，解得，
所以数列an前6项为正数项，从第7项开始后面的项均为负数项，故A，B正确；
对于C，由，当时，数列an取到最大值，
而对函数，当时，取到最大值，故C错误；
对于D，令，解得或（舍去），即是该数列的第10项，故D正确.
故选：ABD.
10. 走路是“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．如图为甲、乙两名同学在同一星期内日步数的折线统计图，则下列结论中不正确的是（ ）
A. 这一星期内甲的日步数的中位数为11600
B. 这一星期内甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差
C. 这一星期内乙日步数的方差大于甲的日步数的方差
D. 这一星期内乙的日步数的上四分位数是7030
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A直接求出中位数，对于B分别计算出甲、乙日步数的极差即可判断，对于C由折线图中数据的波动性即可判断，对于D将乙的日步数从小到大排列计算百分位数可得.
【详解】对于A，甲的日步数从小到大排列为：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800，中位数是11600，故A正确；
对于B，甲的日步数极差为，乙的日步数极差为，所以甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差，故B正确；
对于C，由折线图可以看出，甲的日步数的波动性大于乙的日步数的波动性，所以，故C错误；
对于D，乙的步数从小到大排列为：5340，7030，10060，11600，12300，12970，14200，
，故这一星期内乙的日步数的上四分位数为12970，故D错误.
故选：CD.
11. 函数在区间的图象如下图，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数最小正周期为B. 函数的最小正周期为
C. 函数的图象关于对称D. 函数在单调递减
【答案】ACD
【解析】
【分析】由图象求出的值，利用余弦型函数的周期公式可判断AB选项；利用余弦型函数的对称性可判断C选项；利用余弦型函数的单调性可判断D选项.
【详解】由图知在图象上，且为图象上升时与轴的交点，
所以，解得，
设函数的最小正周期为，
因为，所以，所以，令，得，
所以，所以选项A正确，选项B错误；
因为，所以，
所以函数的图象关于对称，所以选项C正确；
因为当时，，
所以函数在上单调递减，所以选项D正确.
故选：ACD．
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知直线，若，则实数______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意，由，列出方程组，即可求解.
【详解】由直线，
因为，可得，即，解得.
故答案为：.
13. 已知正四棱台的上底面的边长为，下底面的边长为，记该正四棱台的侧面积为，其外接球表面积为，则当取得最小值时，的值是______.
【答案】
【解析】
【分析】由球的表面积公式求解四棱台的外接球表面积，并求出侧面积，然后求解即可.
【详解】当取得最小值时，则球心在正四棱台的下底面内，为上底面的中心，如图所示，

由此可得外接球的半径为，进而可得，
进而可求侧面的斜高.
则侧面的面积，
又， 所以.
故答案为：.
14. 已知数列满足，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】化简条件式得到，利用等差数列的通项公式化简得，把原不等式转化为恒成立，结合基本不等式和对号型函数性质，即可求解.
【详解】由，，可得，
整理得，，
所以数列表示首项为2，公差为1的等差数列.
，则，
又由恒成立，即，对恒成立，
令，
当且仅当，即时等号成立，又，
当时，，当时，，
由对勾函数的单调性，得，所以.
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 求下列各曲线的标准方程
（1）抛物线的焦点是双曲线的左顶点，求抛物线标准方程．
（2）已知椭圆与圆，双曲线与椭圆有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆相切，求双曲线的标准方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据双曲线的性质求出抛物线的焦点坐标，可得抛物线的标准方程.
（2）利用椭圆和双曲线的几何性质，得到双曲线的焦点，然后，列出的相关方程进行求解即可.
【小问1详解】
对双曲线：，其左顶点为.
对抛物线，焦点为，所以抛物线的标准方程为：.
【小问2详解】
椭圆：的焦点坐标为：，.
如图：
直线与圆：相切，
设直线的倾斜角为，则.
所以对双曲线焦点在轴上，且.
所以双曲线的标准方程为：.
16. 在等差数列中，的前项的和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求取最大值时的值；
（3）设，求．
【答案】（1）
（2）6 （3）
【解析】
【分析】（1）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式；
（2）利用等差数列的前n项和公式，即可求得答案；
（3）判断数列的项的正负情况，讨论n的取值，结合等差数列的前n项和公式，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意知在等差数列中，，设公差为d，
则，则，
故，故通项公式．
小问2详解】
结合（1）可得，
当时，取最大值．
【小问3详解】
，
由，得，
即时有，时有，
若，，
若时，
，
综合上述．
17. 如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）求证：；
（3）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）设和交于点，连接，根据线面平行的判定定理求解；
（2）由线面垂直可得线线垂直，再由菱形对角线垂直可得线面垂直，即可得证；
（3）连接，，可证明为二面角的平面角，利用余弦定理求解余弦值即可.
【小问1详解】
设和交于点，连接，如图，
由于，分别是，的中点，故，
∵平面，平面，所以直线平面.
【小问2详解】
在四棱柱中，底面是菱形，则，
又平面，且平面，则，
∵平面，平面，
∴平面.
平面，∴.
【小问3详解】
连接，，
因为，是中点，所以，
因为平面，平面，所以，
∴为二面角的平面角，
，，，
由余弦定理可知，
∴二面角的余弦值为.
18. 已知数列满足，且．
（1）求，，；
（2）是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）已知数列满足，其前项和，求
【答案】（1），，
（2）存在，
（3）1948
【解析】
【分析】（1）根据递推公式求数列的项.
（2）假设存在实数，使数列为等差数列，根据为与无关的常数，可求的值.
（3）根据（2）的结果，明确数列的通项公式，进而确定数列的通项公式，再利用分组求和的方法求.
【小问1详解】
由
同理可得，．
小问2详解】
假设存在的实数符合题意，
则必是与无关的常数，
则．
故存在实数，使得数列为等差数列．
【小问3详解】
由（2）知数列是公差的等差数列
，
所以.
19. 法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆中，离心率，左、右焦点分别是、，上顶点为Q，且，O为坐标原点.
（1）求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；
（2）设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足H，若两切线斜率都存在且斜率之积为，求面积的最大值.
【答案】（1）椭圆C的方程为，蒙日圆的方程为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆离心率结合题设求得，即得椭圆方程，进而写出蒙日圆的方程；
（2）设，设过点P的切线方程为，联立椭圆方程结合判别式确定点的轨迹方程，进而利用基本不等式求得，即可求得答案.
【小问1详解】
设椭圆方程为，焦距为2c.
由题意可知，
所以，椭圆C的方程为，
且蒙日圆的方程为；
【小问2详解】
设，设过点P的切线方程为，
由，消去y得①，
由于相切，所以方程①的，可得：，
整理成关于k的方程可得：，
由于P在椭圆外，故，
故，
设过点P的两切线斜率为，
据题意得，，，
又因为，所以可得，
即点的轨迹方程为：，
由不等式可知：，
即，当且仅当时取等号，此时，
所以，即的面积的最大值为.
【点睛】关键点点睛：求解面积最大值时，设出过点P的切线方程并联立椭圆方程，利用判别式为0结合根与系数的关系求得点P的轨迹方程后，关键要利用基本不等式求出，即可求解.