2023银川三沙源上游学校高二上学期11月期中数学试题含解析

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考试时间：120分钟，满分：150分
1. 已知命题p为假命题，命题q为真命题，在命题：①②③④中，真命题的序号是_________．
【答案】③④
【解析】
【分析】根据题设确定、真假，进而判断复合命题的真假即可.
【详解】由题设为真命题，为假命题，
所以为假，为假，为真，为真，
所以真命题有③④.
故答案为：③④
2. 已知（i为虚数单位），则的虚部为_________．
【答案】
【解析】
【分析】写出已知复数的共轭复数，进而确定其虚部即可.
【详解】由题设，其虚部为.
故答案为：
3. 执行下面的程序框图，若输入的，则输出的S值为_________．

【答案】
【解析】
【分析】根据流程图，由循环逻辑写出执行步骤并确定输出结果即可.
【详解】由，则，可得，又，则；
由，可得，又，则；
由，可得，而，输出；
故答案为：
4. 每年的10月10日为“辛亥革命”纪念日，某高中欲从高一、高二、高三分别600人、500人、700人中采用分层抽样法组建一个36人的团队参加活动，则应抽取高三_________人．
【答案】14
【解析】
【分析】利用分层抽样等比例性质求应抽取高三的人数.
【详解】设应抽取高三人，则，可得.
故答案为：14
5. 已知命题，则为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据全称命题的否定分析求解.
【详解】由题意可得：：.
故答案为：.
6. 已知件产品中有件正品，其余为次品.现从件产品中任取件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（ ）
A. 恰好有件次品和恰好有件次品B. 至少有件次品和全是次品
C. 至少有件正品和至少有件次品D. 至少有件次品和全是正品
【答案】D
【解析】
【分析】对每个选项中事件的关系分析，选出正确选项.
【详解】对于A项，恰好有1件次品和恰好有两件次品互为互斥事件，但不是对立事件；
对于B项，至少有1件次品和全是次品可以同时发生，不是对立事件；
对于C项，至少有1件正品和至少有1件次品可以同时发生，不是对立事件；
对于D项，至少有1件次品即存在次品，与全是正品互为对立事件.
故选：D.
7. 投掷一颗骰子，设事件A：点数大于3的质数；事件B：点数为偶数．则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据古典概型结合事件的运算求解.
【详解】投掷一颗骰子，点数有1，2，3，4，5，6，即样本空间，
事件A：点数大于3质数，点数为5，即；
事件B：点数为偶数，点数为2，4，6，即；
可得，
所以.
故答案为：.
8. 投掷两颗均匀的骰子一次，则点数之和为5的概率等于________.
【答案】
【解析】
【分析】求出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，再利用古典概型的概率公式计算可得所求的概率.
【详解】投掷两颗均匀的骰子一次，我们用表示两个骰子出现的点数对，则共有如下基本事件：
，，
，，
，，
所以基本事件的总数为36.
设为事件“点数之和为5”，则中的基本事件如下：
，共4个基本事件，故.
故答案为：
【点睛】本题考查古典概型的概率计算，注意基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数可以用枚举法、树形图法等来计数，本题属于基础题.
9. 某工厂抽取100件产品测其重量（单位：）．其中每件产品的重量范围是．数据的分组依次为，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在内的产品件数为_________．

【答案】40
【解析】
【分析】根据直方图确定各组的频率，进而求出的频率，最后估算出对应的产品件数.
【详解】由题设对应频率依次为，
所以的频率为，故重量在内的产品件数为.
故答案：40
10. 学校举行班级篮球赛，某名运动员每场比赛得分记录的茎叶图如图：则该运动员每场得分超过10分的概率是_________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据古典概型的概率计算公式，可得答案.
【详解】由题意，该运动员参加比赛的总场数为，得分超过分的场数为，则该运动员每场得分超过10分的概率，
故答案为：或.
11. 新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分，从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据．由下表可知其线性回归方程为，
则表中a的值为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据样本中心点过线性直线方程进行求解即可.
【详解】因为线性直线方程过样本中心点，
所以，
故答案为：
12. 设，则“”是“”的__________________（填充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要）条件
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】根据解一元二次不等式的解法、解绝对值不等式的公式解法，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.
【详解】，，
显然由能推出，但是由不一定能推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分
13. 给定下列命题：①若，则方程有实数根；②“若，则或”；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若，则x，y中至少有一个为0”的否命题．其中真命题的序号是_________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据题意结合四种命题的定义以及之间的关系逐项分析判断.
【详解】对于①：若，则，所以方程有实数根，故①为真命题；
对于②：“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，
因为逆否命题为为真命题，所以②为真命题；
对于③：“矩形对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”，所以③是假命题；
对于④：“若，则x，y中至少有一个为0”的否命题为“若，则x，y均不为0”，所以④为真命题；
故答案为：①②④.
14. 在边长为2的正方形内任取一点P，O为正方形的中心，则的概率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】应用几何概型的面积比求的概率即可.
【详解】如下图，对应P在阴影部分，其对应概率为.

故答案为：
15. 在区间上随机取一个数k，使直线与圆相交的概率为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线距离公式、几何概型公式进行求解即可.
【详解】当直线与圆相交时，
则有圆心到该直线的距离小于圆的半径，即，或，
所以在区间上随机取一个数k，使直线与圆相交的概率为，
故答案为：
16. 已知复数满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的几何意义求解．
【详解】解：，
∴ 在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆，
的几何意义为圆上的点到的距离，
如图，

的最小值为
．
故答案为：．
17. 已知复数．
（1）若z是纯虚数，求实数m的值；
（2）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据纯虚数的定义进行求解即可；
（2）根据复平面内对应的点的坐标特征进行求解即可.
【小问1详解】
因为z是纯虚数，
所以有；
【小问2详解】
因为z在复平面内对应的点位于第四象限，
所以.
18. 为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施．某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免，规定每人在装有4个白球、2个红球的抽奖箱中一次抽取两个球．已知抽出1个白球减20元，抽出1个红球减40元．
（1）求某顾客所获得的减免金额为40元的概率；
（2）若某顾客去影院充值并参与抽奖，求其减免金额低于80元的概率．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）求出抽取两个球的所有情况，再得出所获得的减免金额为40元的情况，即可得出概率；
（2）先求出顾客所获得的减免金额为80元的概率，即可求出低于80元的概率．
【详解】（1）设4个白球为a，b，c，d，2个红球为e，f，事件A为顾客所获得的减免金额为40元，
则一共可抽取共15种情况，
，共6种情况，
所以顾客所获得的减免金额为40元的概率为．
（2）设事件B为顾客所获得的减免金额为80元，则，共1种情况，
所以顾客所获得的减免金额为80元的概率为，
故减免金额低于80元的概率．
19. 第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
（1）求a，b的值；
（2）计算本次面试成绩的众数和平均成绩；
（3）根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为19%，请估算被录取至少需要多少分.
【答案】（1）；
（2）众数为70，平均成绩为69.5分；
（3）78分.
【解析】
【分析】（1）先算出第五组频率，可得.后由前两组频率和为0.3可得.
（2）由众数，平均数计算公式可得答案.
（3）中位数对应录取率为，本题即是求频率所对应分数.
【小问1详解】
由题图可知组距为10.
第三组，第四组频率之和为，又后三组频率和为0.7，
则第五组频率为0.05，第一组频率也为0.05，故第二组频率为0.25.
得.
【小问2详解】
由题图可知第三个矩形最高，故众数为.
平均数为.
【小问3详解】
前三组频率之和为.
前四组频率之和为.
故频率0.81对应分数在75到85之间.
设分数，则有，解得.
故若要求选拔录取率为19%，至少需要78分.
20. 某种产品的广告支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下的对应关系：
（1）假定y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程；
（2）若广告支出为10万元，销售额应为多少？
参考公式：线性回归方程，其中，
【答案】（1）
（2）82.5万元.
【解析】
【分析】第（1）问，利用参考公式分别求出和即可；
第（2）问，将x=10代入（1）中线性回归方程预测销售额.
【小问1详解】
解：由已知，，
，
，
，
∴，
∴，
∴关于的线性回归方程为：.
【小问2详解】
由（1）中回归方程，当时，（万元）
因此，若广告支出为10万元，销售额约为82.5万元.
21. 小红和小明相约去参加超市的半夜不打烊活动，两人约定凌晨0点到1点之间在超市门口相见，并且先到的必须等后到的人30分钟才可以进超市先逛．如果两个人出发是各自独立的，在0点到1点的各个时候到达的可能性是相等的．
（1）超市内举行抽奖活动，掷一枚骰子，掷2次，如果出现的点数之和是5的倍数，则获奖．小红参与活动，她获奖的概率是多少呢？
（2）求两个人能在约定的时间内在超市门口相见的概率.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，求出所有掷骰子次的可能，再找出满足题意的可能，用古典概型的概率计算公式即可求得结果；
（2）根据题意，列出两个人能在约定时间内见面的不等关系，数形结合，利用几何概型的概率计算公式即可求得结果.
【小问1详解】
设第一枚随机地投掷得到向上一面的点数为，第二枚投掷得到向上一面的点数为，则与的和共有36种情况．
所以两次取出的数字之和是5的倍数的情况有
，，，，，，，共7种，
故小红参与活动，她获奖的概率．
【小问2详解】
设两人到达约会地点的时刻分别为，，依题意，必须满足才能相遇．
我们把他们到达的时刻分别作为横坐标和纵坐标，
于是两人到达的时刻均匀地分布在一个边长为1的正方形Ⅰ内，如图所示；
而相遇现象则发生在阴影区域内，即甲、乙两人的到达时刻满足，
所以两人相遇的概率为区域与区域Ⅰ的面积之比：．
也就是说，两个人能在约定的时间内在超市门口相见的概率为．
22. 已知函数，.
（1）关于x的方程有且只有正根，求实数a的取值范围；
（2）若对恒成立，求实数a的最小值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由方程有且只有正根，对分和两种情况讨论即可；
（2）由对恒成立，得对恒成立，设，利用换元法和基本不等式即可求得的最大值为，从而得的最小值.
【小问1详解】
当时，此方程的解为，合乎题意；
当时，设此方程的根为，，
则有，解得或，
综上，实数a的取值范围是或.
【小问2详解】
由，得对恒成立，
设，其中，
设，，则.
由，
当即时等号成立，
所以，即的最大值为，月份代码x
1
2
3
4
5
碳酸锂价格y
0.5
a
1
1.2
1.5
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6