2022-2023学年宁夏银川三沙源上游学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年宁夏银川三沙源上游学校高一（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 函数f(x)=3sin(x4+π6)−1的最小正周期和最大值分别是( )
A. π2和3B. π2和2C. 8π和3D. 8π和2
2. 如图，在△ABC中，BD=4DC，则AD=( )
A. 15AB+45ACB. 45AB+15ACC. 16AB+56ACD. 56AB+16AC
3. 下列点中，曲线y=sin2x+cs2x的一个对称中心是( )
A. (π8,0)B. (π4,0)C. (3π8,0)D. (π2,0)
4. 如图是函数y=sin(ωx+φ)，ω>0，0<φ<π的部分图象，则sin(ωx+φ)=( )
A. sin(2x+2π3)
B. sin(2x+π3)
C. cs(2x+π4)
D. cs(−2x+5π6)
5. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=1，则下列结论中错误的是( )
A. AD//BCB. OA⋅OD=− 22
C. OB+OH=− 2OED. |AF|= 2− 2
6. 已知α，β都是锐角，满足csα= 55,sinβ=3 1010，求α+β的值( )
A. π4B. π4或3π4C. 3π4D. π4+2kπ,k∈Z
7. sin40°(tan10°− 3)的值为( )
A. 1B. 2C. −2D. −1
8. 奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O为三角形ABC内一点，且满足OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA，则S△AOBS△ABC=( )
A. 25B. 12C. 16D. 13
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列等式成立的是( )
A. cs215°−sin215°= 32B. 12sin40°+ 32cs40°=sin70°
C. sinπ8csπ8= 24D. tan15°=2− 3
10. 已知向量a=(1,3)，b=(1,−2)，c=(−2,4)，则下列结论正确的是( )
A. b//cB. |a+c|=50
C. (a+b)⊥bD. =π4
11. 要得到函数y=cs(2x+π6)的图象，可以将函数y=sinx的图象得到．( )
A. 先将各点横坐标变为原来的12倍，再向左平移π3个单位
B. 先将各点横坐标变为原来的2倍，再向左平移π3个单位
C. 先将各点横坐标变为原来的12倍，再向右平移2π3个单位
D. 先向左平移2π3个单位，再将各点横坐标变为原来的12倍
12. 下列说法正确的是( )
A. 若α为第一象限角，则α2为第一或第三象限角
B. 函数f(x)=sin(x+φ+π4)是偶函数，则φ的一个可能值为3π4
C. x=π3是函数f(x)=2cs(2x+π3)的一条对称轴
D. 若扇形的圆心角为60°，半径为1cm，则该扇形的弧长为60cm
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量a=(1,1)，b=(−2,1)，则向量b在向量a上的投影向量为 ．
14. 已知tan(π−α)=2，则sin(π2+α)+sin(π−α)cs(3π2+α)+2cs(π+α)= ______ ．
15. 已知正△ABC的边长为2 2，D是BC边上的动点(含端点)，则(DA+DB)⋅(DA+DC)的取值范围是______ ．
16. 如图，一幅壁画的最高点A处离地面12m，最低点B处离地面7m，现在从离地高4m的C处观赏它.若C处离墙的距离为6m，则tanθ= ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知a=(m,3),b=(1,m−2)．
(1)若a//b，求m的值；
(2)若a⊥b，求(a+2b)⋅(2a−b)的值．
18. (本小题12.0分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E，F分别为边AB，BC上的点，且AE=EB，2BF=FC.设AB=a,AC=b．
(1)用a,b表示CE,AF；
(2)用向量的方法证明：CE⊥AF．
19. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=csxsinx− 3cs2x+ 32,x∈R．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间[−π4,π4]上的最小值以及对应x的值．
20. (本小题12.0分)
南昌之星摩天轮位于江西省南昌市赣江边上的市民公园，是世界上第三高、国内第一高的摩天轮，是南昌市地标建筑之一.如图所示，该摩天轮直径为110米，最高点距离地面120米，相当于40层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了48个透明座舱，每个座舱最多可坐8人，整个摩天轮可同时供380余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要30分钟．
(1)某游客自最低点处登上摩天轮，请问5分钟后他距离地面的高度是多少？
(2)若游客在距离地面至少92.5米的高度能够获得俯瞰天津市美景的最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间会有这种最佳视觉效果．
21. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．
(1)求|AB|；
(2)已知点D是AB上一点，满足AD=λAB，点E是边CB上一点，满足BE=λBC．
①当λ=12时，求AE⋅CD；
②是否存在非零实数λ，使得AE⊥CD？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
22. (本小题12.0分)
已知平面向量a,b满足：a=(csx,sinx),b=( 3,−1)．
(1)求|2a−b|的最大值和最小值；
(2)设函数f(x)=a⋅(a+b)，若f(x)图象的一条对称轴方程为x=x0，求f(x0)的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：f(x)的最小正周期T=2π14=8π，最大值为f(x)max=3−1=2．
故选：D．
根据正弦型函数的最小正周期公式以及正弦型函数的最值可得解．
本题主要考查三角函数的周期性，考查转化能力，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵在△ABC中，BD=4DC，
∴AD=AB+BD=AB+45BC=AB+45(AC−AB)=15AB+45AC．
故选：A．
运用平面向量的三角形法则，直接求解．
本题考查了平面向量的基本运算，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：y=sin2x+cs2x= 2sin(2x+π4)，
令2x+π4=kπ(k∈Z)，解得：x=−π8+kπ2(k∈Z)，此时y=0；
∴y=sin2x+cs2x的对称中心为(−π8+kπ2,0)；
则当k=1时，对称中心为(3π8,0)．
故选：C．
利用辅助角公式可化简得到y= 2sin(2x+π4)，令2x+π4=kπ(k∈Z)，可求得函数的对称中心，对比选项可得结果．
本题主要考查了辅助角公式的应用，还考查了正弦函数的对称性的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由图知，T2=2π3−π6=π2，
故T=2πω=π，解得ω=2；
由“五点作图法”得2×π6+φ=π，解得φ=2π3，
故sin(ωx+φ)=sin(2x+2π3)=cs(2x+π6).
故选：A．
利用正弦函数的图象可求得ω与φ，从而可得答案．
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：AD//BC，A正确；
OA⋅OD=1×1cs135°=− 22，所以B正确；
OB+OH= 2OA=− 2OE，所以C正确；
|AF|=|AO+OF|= AO2+2AO⋅OF+OF2= 1+2×1×1× 22+12= 2+ 2，所以D错误；
故选：D．
结合正八边形的性质，结合平面向量的知识进行解答．
本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
6.【答案】C
【解析】解：∵0<απ2，0<β<π2，csα= 55，sinβ=3 1010，
∴sinα= 1−cs2α=2 55，csβ= 1−sin2β= 1010，
则cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=2 55× 1010− 55×3 1010=− 22，
∵0<α，β<π2，
∴0<α+β<π，
∴α+β=3π4，
故选：C．
根据两角和差的余弦公式，进行转化求解即可．
本题主要考查三角函数值的计算，结合两角和差的余弦公式是解决本题的关键，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题是基础题，考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
利用切化弦以及两角和与差的正弦函数化简表达式，即可求出结果．
【解答】
解：sin40°(tan10°− 3)
=sin40°(sin10°cs10∘− 3)
=sin40°⋅sin10°− 3cs10°cs10°
=2sin40°cs10∘(sin10°cs60°−sin60°cs10°)
=−2sin40°sin50°cs10∘
=−sin80°cs10∘
=−1．
故选：D．

8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查向量的基本运算以及“奔驰定理”的应用，考查数形结合以及计算能力，属于中档题．
直接根据向量的基本运算得到3OA+OB+2OC=0，再结合“奔驰定理”即可求解结论．
【解答】
解：∵O为三角形ABC内一点，且满足OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA，
∴OA+2OB+3OC=3(OB−OA)+2(OC−OB)+(OA−OC)⇒3OA+OB+2OC=0，
∵SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0．
∴S△AOBS△ABC=S△AOBS△AOB+S△BOC+S△AOC=SCSA+SB+SC=13，
故选：D．

9.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查倍角公式的应用，考查两角和与差的正弦公式和正切公式，是基础的计算题．
利用倍角公式变形求解A与C，利用两角和与差的三角函数计算判断B与D．
【解答】
解：cs215°−sin215°=cs30°= 32，故A正确；
12sin40°+ 32cs40°=sin40°cs60°+cs40°sin60°=sin100°=sin80°，故B错误；
sinπ8csπ8=12⋅2sinπ8csπ8=12sinπ4= 24，故C正确；
tan15°=tan(45°−30°)=tan45°−tan30°1+tan45°tan30°=1− 331+ 33=2− 3，故D正确．
故选：ACD．

10.【答案】AC
【解析】解：向量a=(1,3)，b=(1,−2)，c=(−2,4)，
对于A，∵−2b=c，∴b//c，故A正确；
对于B，a+c=(−1,7)，∴|a+c|= (−1)2+72= 50，故B错误；
对于C，a+b=(1,−2)，∴(a+b)⋅b=1×2+(−2)×1=0，∴(a+b)⊥b，故C正确；
对于D，cs=a⋅b|a|⋅|b|=1−6 1+9× 1+4=− 22，
∵∈[0,π]，∴=3π4，故D错误．
故选：AC．
对于A，利用向量共线的条件可以判断；对于B，直接求解|a+c|，即可判断；对于C，求出(a+b)⋅b=0，即可判断；对于D，计算=3π4，即可判断．
本题考查向量的运算，考查向量共线的性质、向量的模、向量数量积公式、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：函数y=cs(x−π2)的图象，向左平移2π3个单位，
得到y=cs(x+2π3−π2)=cs(x+π6)，
将各点横坐标变为原来的12倍得到y=cs(2x+π6)，故D正确；
y=sinx=cs(x−π2)，
函数y=cs(x−π2)的图象，将各点横坐标变为原来的12倍，
得到y=cs(2x−π2)，
再向左平移π3个单位得到y=cs[2(x+π3)−π2]=cs(2x+π6)，故A正确，BC错误．
故选：AD．
根据三角函数图象变换的知识求得正确答案．
本题主要考查三角函数图象变换的知识，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：对于A：若α为第一象限角，则2kπ<α<2kπ+π2,k∈Z，
则：kπ<α2故A选项正确；
对于B：当φ=3π4时，f(x)=sin(x+π)=−sinx，函数为奇函数，
故B选项错误；
对于C：因为f(π3)=2csπ=−2，所以x=π3是函数f(x)=2cs(2x+π3)的一条对称轴，
故C选项正确；
对于D：扇形圆心角为π3，半径为1cm，则该扇形的弧长为π3cm，
故D选项错误．
故选：AC．
对于A：直接代入象限角的范围即可求解；
对于B：代入φ=3π4即可判断奇偶性；
对于C：代入x=π3根据余弦函数对称轴的性质即可判断；
对于D：根据弧长公式即可求解．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于中档题．
13.【答案】(−12,−12)
【解析】
【分析】
本题考查了投影向量、向量模的坐标表示、向量数量积的坐标运算，属于较易题．
利用向量数量积的坐标运算求出a⋅b，由向量模的坐标表示求出|a|，根据a⋅b|a|⋅a|a|计算即可求出向量b在向量a上的投影向量．
【解答】
解：∵a=(1,1)，b=(−2,1)，
∴a⋅b=−2+1=−1，|a|= 12+12= 2，
∴向量b在向量a上的投影向量为：a⋅b|a|⋅a|a|=−12(1,1)=(−12,−12)．
故答案为：(−12,−12)．

14.【答案】14
【解析】解：∵tan(π−α)=−tanα=2，∴tanα=−2，
∴sin(π2+α)+sin(π−α)cs(3π2+α)+2cs(π+α)=csα+sinαsinα−2csα=1+tanαtanα−2=1−2−2−2=14．
故答案为：14．
由诱导公式可化简已知等式得到tanα；根据诱导公式和正余弦齐次式的求法可将所求式子化为关于tanα的式子，代入tanα的值即可得到结果．
本题考查三角函数的诱导公式，化归转化思想，属基础题．
15.【答案】[4,12]
【解析】解：如图，
以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
则B(− 2,0)，C( 2,0)，A(0, 6)，
设D(x,0)(− 2≤x≤ 2)，
则DA=(−x, 6)，DB=(− 2−x,0)，DC=( 2−x,0)，
DA+DB=(− 2−2x, 6)，DA+DC=( 2−2x, 6)，
∴(DA+DB)⋅(DA+DC)=4x2−2+6=4x2+4．
∵− 2≤x≤ 2，∴4x2+4∈[4,12]．
即(DA+DB)⋅(DA+DC)的取值范围是[4,12]．
故答案为：[4,12]．
以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，求出B，C，A的坐标，设D(x,0)(− 2≤x≤ 2)，再求出DA、DB、DC的坐标，把数量积化为关于x的二次函数求最值．
本题考查平面向量的数量积运算，建系使问题简单化，是中档题．
16.【答案】12
【解析】 解：过C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，则CD=6，
BD=3，AB=5，AD=8，
可得tan∠ACD=86=43,tan∠BCD=36=12，
所以tanθ=tan(∠ACD−∠BCD)=43−121+43×12=12．
故答案为：12．
利用两角差的正切公式即可求解．
本题考查了两角差的正切公式，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为a//b，所以m(m−2)−3=0，解得：m=3或m=−1；
(2)因为a⊥b，所以a⋅b=m+3(m−2)=0，解得：m=32，
所以a=(32,3),b=(1,−12)，a+2b=(72,2),2a−b=(2,132)，
所以(a+2b)⋅(2a−b)=72×2+2×132=20．
【解析】(1)根据向量共线的坐标表示即可得出答案；
(2)由向量垂直的坐标表示求出m的值，再根据向量坐标表示的线性运算及数量积即可求解．
本题考查了平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件，向量坐标的加法、减法和数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题意可得点E为AB的中点，且BF=13BC，
所以CE=CA+AE=−AC+12AB=12a−b，
AF=AB+BF=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC=23a+13b；
(2)由已知可得AB⋅AC=0，所以a⋅b=0，且|a|=|b|，
则CE⋅AF=(12a−b)⋅(23a+13b)=13a2−23a⋅b+16a⋅b−13b2=0，
所以CE⊥AF．
【解析】(1)由题意可得点E为AB的中点，且BF=13BC，然后利用平面向量基本定理化简即可求解；(2)利用第一问的结论以及平面向量数量积的运算，平面向量垂直的充要条件化简即可证明．
本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到平面向量垂直的性质，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由函数f(x)=12sin2x− 32(2cs2x−1)
=12sin2x− 32cs2x=sin(2x−π3)，
∵T=2π2=π，∴函数f(x)的最小正周期为π；
(2)由(1)可知f(x)=sin(2x−π3)，
∵x∈[−π4,π4]，∴2x−π3∈[−5π6,π6]，
由y=sint的图象可知当2x−π3=−π2,x=−π12时有f(x)min=−1，
综上当x=−π12时，有f(x)min=−1．
【解析】(1)利用三角恒等变形化为f(x)=sin(2x−π3)的形式，根据三角函数的周期性求得；
(2)先求得2x−π3的取值范围，再利用正弦函数的性质求解．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．
20.【答案】解：(1)设摩天轮转动t分钟(0⩽t⩽30)时游客的高度为h，
设函数解析式为h=Asin(ωx+φ)+B，
摩天轮旋转一周需要30分钟，即周期T=30，
则T=2πω=30，
所以ω=π15，
由题意可得，hmin=120−110=10，hmax=120，
所以A+B=120−A+B=10，解得A=55B=65，
当t=0时，h=10，即sinφ=−1，可取φ=−π2，
所以h=55sin(π15t−π2)+65，
当t=5时，h=55sin(π15×5−π2)+65=37.5，
所以游客分钟后距离地面的高度是37.5米，
(2)由题意可知，要获得俯瞰的最佳视觉效果，
应满足55sin(π15t−π2)+65⩾92.5，
化简得sin(π15t−π2)⩾12，
因为0⩽t⩽30，
所以π15t−π2∈[−π2,3π2]，
所以π6⩽π15t−π2⩽5π6，解得10⩽t⩽20，
所以摩天轮旋转一周能有10分钟最佳视觉效果．
【解析】(1)设摩天轮转动t分钟(0⩽t⩽30)时游客的高度为h，由题意可求周期，进而可求函数解析式h=55sin(π15t−π2)+65，代入t=5，即可求解．
(2)由题意可知，要获得俯瞰的最佳视觉效果，应满足55sin(π15t−π2)+65⩾92.5，化简得sin(π15t−π2)⩾12，可求范围π6⩽π15t−π2⩽5π6，解得t的范围，即可得解．
本题主要考查三角函数的应用，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)△ABC中，CA=1，CB=2，∠ACB=60°，
由余弦定理得：
AB2=CA2+CB2−2CA⋅CB⋅cs∠ACB
=12+22−2×1×2×cs60°
=3．
∴AB= 3，即|AB|= 3；
(2)①λ=12时，AD=12AB，BE=12BC，
∴D、E分别是AB，CB的中点，
∴AE=AC+CE=−CA+12CB，
CD=12(CA+CB)，
∴AE⋅CD=(−CA+12CB)⋅(12CA+12CB)
=−12CA2−14CB⋅CA+14CB2
=−12×12−14×2×1×cs60°+14×22
=14；
②假设存在非零实数λ，使得AE⊥CD，
由AD=λAB得AD=λ(CB−CA)，
∴CD=CA+AD=CA+λ(CB−CA)
=λCB+(1−λ)CA；
又BE=λBC，
∴AE=AB+BE=(CB−CA)+λ(−CB)
=(1−λ)CB−CA；
∴AE⋅CD=λ(1−λ)CB2−λCB⋅CA+1−λ2CB⋅CA−(1−λ)CA2，
=4λ(1−λ)−λ+(1−λ)2−(1−λ)
=−3λ2+2λ=0，
解得λ=23或λ=0(不合题意，舍去)，
即存在非零实数λ=23，使得AE⊥CD．
【解析】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目．
(1)利用余弦定理求出AB的长即得|AB|；
(2)①λ=12时，D、E分别是AB，CB的中点，利用CB、CA分别表示出CD和AE，进而即可求出AE⋅CD；
②假设存在非零实数λ，使得AE⊥CD，利用CB、CA分别表示出CD和AE，求出AE⋅CD=0时的λ值即可．
22.【答案】解：(1 )2a−b=(2csx− 3,2sinx+1)，
∴|2a−b|= (2csx− 3)2+(2sinx+1)2= 8+4(sinx− 3csx)= 8+8sin(x−π3)，
∴当sin(x−π3)=−1时，|2a−b|min=0，
当sin(x−π3)=1时，|2a−b|max=4；
方法二：三角不等式
∵||2a|−|b||≤|2a−b|≤|2a|+|b|，
又∵|2a|=2,|b|=2，∴0≤|2a−b|≤4，
∴|2a−b|min=0,|2a−b|max=4；
(2)由已知|a|=1,|b|=2,a⋅b= 3csx−sinx=−sinx+ 3csx=2sin(x+2π3)，
则f(x)=a2+a⋅b=|a|2+a⋅b=2sin(x+2π3)+1，
令x+2π3=π2+kπ,k∈Z，可得x=kπ−π6,k∈Z，此即函数f(x)的对称轴方程，
即x0=kπ−π6,k∈Z，可得f(x0)=2sin[(kπ−π6)+2π3]+1=2sin(kπ+π2)+1，
因为sin(π2+kπ)=1或−1，所以f(x0)=3或−1．
【解析】(1)得出2a−b=(2csx− 3,2sinx+1)，然后得出|2a−b|= (2csx− 3)2+(2sinx+1)2，根据同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式化简得出|2a−b|= 8+8sin(x−π3)，从而可求出|2a−b|的最大值和最小值；
法二：根据||2a|−|b||≤|2a−b|≤|2a|+|b|即可求出|2a−b|的最大值和最小值；
(2)根据向量的数量积运算及两角和的正弦公式得出f(x)=2sin(x+2π3)+1，进而求出x0=kπ−π6,k∈Z，然后即可求出f(x0)的值．
本题考查了向量坐标的减法和数乘、数量积的运算，向量数量积的运算，正弦函数的对称轴，不等式||a|−|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，两角和差的正弦公式，考查了计算能力，属于基础题．