宁夏银川市永宁县上游高级中学2023-2024学年高二上学期月考（二）数学试题（解析版）

这是一份宁夏银川市永宁县上游高级中学2023-2024学年高二上学期月考（二）数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 分值：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1. 已知数列是等比数列，是1和3的等差中项，则( )
A. 16B. 8C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差中项求得，再由，即可得到结果.
【详解】因为是和的等差中项，所以，
由题意可知.
故选:D．
2. 在数列{an}中，数列{an}是以3为公比的等比数列，则等于（ ）
A. 2020B. 2021C. 2022D. 2023
【答案】C
【解析】
【分析】求得等比数列的通项公式后，再利用对数的运算性质求解即可.
【详解】数列{an}是以3为公比的等比数列，且，
所以，
则，
故选：C.
3. 点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.
故选：A.
4. 记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）
A. 1B. 2
C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差.
【详解】设等差数列的公差为，
则，，
联立，解得.
故选：C.
5. 设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
6. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则S9等于（ ）
A. B. -C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等比数列中，，，成等比数列的这个性质解决问题.
【详解】已知：，，成等比数列，
且：，，∴，
∴.
故选：C
7. 等差数列中，，当其前项和取得最大值时，
A. 16B. 8C. 9D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】
由等差数列的前n项和公式知若则，，所以为最大值.
【详解】，所以，
，所以，则，
可知是等差数列中大于零的最后一项，因此是前n项和里最大的.
故选：B
【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式及其最值，等差数列的性质，属于基础题.
8. 在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（ ）
A. 35B. 42C. 49D. 56
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.
【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,
则每轮新增感染人数为，
经过n轮传染，总共感染人数为：，
∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得，
由，故得，又∵平均感染周期为7天，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天，
故选：B
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知数列的前项和为，，则下列选项中正确的是（ ）
A. B. C. 数列是等比数列D. 数列是等比数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据转化到，进而可知数列是以为首项，公比为的等比数列，求出通项公式及前项和，即可判断选项正误.
【详解】数列的前项和为，且①，
当时，，A正确；
当时，②，
①②得：，
故，
整理得（常数），
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列；C正确；
所以．．
所以，B错误；
由于，所以．
所以，
所以数列是等比数列，D正确；
故选：ACD．
10. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由等差中项的性质和等比数列的求和公式得出，进而可得出为的正约数，由此可得出正整数的可能取值.
【详解】由题意可得，则，
由于为整数，则为的正约数，则的可能取值有、、，
因此，正整数的可能取值有、、.
故选：ACD.
【点睛】本题考查两个等差数列前项和比值的计算，涉及数的整除性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
11. 已知曲线.（ ）
A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为
C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D. 若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.
【详解】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
12. 已知数列前项和为，点在函数的图象上，等比数列满足，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，将点坐标代入函数中，可得 据此可得数列的通项公式，对于等比数列，设其公比为q，由题意可得 ,，即可得数列的通项公式，由等比数列前n项和公式计算可得的表达式，据此依次分析选项，即可得答案
【详解】根据题意，对于数列，点在函数的图象上，
则有 ，即①﹔
由①可得∶，②,
①-②可得：,③
时，,
验证可得∶时，符合③式,
则，
对于等比数列，设其公比为q，
等比数列满足，时，有④，
时，有⑤，
联立④⑤，解可得，则 ，
则有;
据此分析选项：
对于A、,则有，故A错误；
对于B、，，故，故B正确；
对于C、时，不成立，故C错误；
对于D、，，则有，D正确；
故选：BD
三、填空题（每道题5分，共20分）
13. 若等比数列前项和，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的前项和，求出通项并结合等比数列条件求出值.
【详解】由，得，
当时，，
因为是等比数列，则，因此，解得，经检验符合题意，
所以.
故答案：
14. 已知数列的通项公式，则数列的前项和_________.
【答案】
【解析】
【分析】分组求和后根据等差、等比数列的求和公式得解.
【详解】因，
所以
.
故答案为：
15. 已知、是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的条件，利用双曲线定义结合余弦定理计算作答.
【详解】令双曲线C的半焦距为c，即，又，，则，
中，，由余弦定理得，
即，整理得，
所以C的离心率．
故答案为：
16. 已知O为坐标原点，抛物线:的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且.若，则C的准线方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】求出P点坐标，推出方程，然后求解点坐标，利用，求，然后求准线方程.
【详解】抛物线C的焦点为，将代入，解得；
不妨设，则.因为，所以，
所以直线：．令，得；
由，得，，所以.故C的准线方程为.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.
17. 等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
【答案】（1）或 .
（2）.
【解析】
【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．
详解：（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．
点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．
18. 已知抛物线上的点M（5，m）到焦点F的距离为6.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程.
（2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k，即可得直线l方程．
【小问1详解】
由题设，抛物线准线方程为，
∴抛物线定义知：可得，故
【小问2详解】
由题设，直线l的斜率存在且不为0，设
联立方程，得，
整理得，则.
又P是线段AB的中点，∴，即
故l
19. 已知数列满足且.
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）由，构造出，再求出，可得结论；
（2）由（1）和等比数列的通项公式可得解.
【详解】（1）证明：，
又，
是首项为，公比为的等比数列；
（2）由（1）知
.
【点睛】本题考查根据递推公式证明数列是等比数列和等比数列的通项公式，关键在于构造出所需的表达式，属于中档题.
20. 已知数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用可得是首项为3，公比为3的等比数列，即可求出通项公式；
（2）可得，则，，由裂项相消法即可求出前n项和.
【详解】（1），即，
当时，，解得，
当时，，
整理得，
是首项为3，公比为3的等比数列，
；
（2），
，则，
数列的前n项和为.
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
21. 在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列的前n项和为，满足__________，__________；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列．
（1）求和的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）选择①②，可以判断为，公比为的等比数列，即可求出通项公式；选择②③，由可判断为，公比为的等比数列，即可求出通项公式；不能选择①③；根据的条件建立关系即可求出公差，得出通项公式；
（2）利用错位相减法可求解.
【详解】（1）选择①②：
当时，由得，
两式相减，得，即，
由①得，即，
∴，得．
∴，∴为，公比为的等比数列，
∴．
选择②③：
当时，由③，得，
两式相减，得，∴，
又，得，
∴，∴为，公比为的等比数列，
∴．
选择①③，由于和等价，故不能选择；
设等差数列的公差为d，，
且，，成等比数列．
，即，
解得，（舍去），∴．
（2），，
，
∴，
．
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
22. 已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意得到关于的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.
（2）方法一：设出点，的坐标，在斜率存在时设方程为, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到的关系，进而得直线恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置.
【详解】（1）由题意可得：，解得：，
故椭圆方程为：.
(2)［方法一］：通性通法
设点，
若直线斜率存在时，设直线的方程为：，
代入椭圆方程消去并整理得：，
可得，，
因为，所以，即，
根据,代入整理可得：
，
所以，
整理化简得，
因为不在直线上，所以，
故，于是的方程为，
所以直线过定点直线过定点.
当直线的斜率不存在时，可得，
由得：，
得，结合可得：，
解得：或（舍）.
此时直线过点.
令为的中点，即，
若与不重合，则由题设知是的斜边，故，
若与重合，则，故存在点，使得为定值.
［方法二］【最优解】：平移坐标系
将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，即，化简得，即．
设，因为则，即．
代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点．
又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．
故存在，使得．
［方法三］：建立曲线系
A点处的切线方程为，即．设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．由题意得．
则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线可表示为（其中为系数）．
用直线及点A处的切线可表示为（其中为系数）．
即．
对比项、x项及y项系数得
将①代入②③，消去并化简得，即．
故直线的方程为，直线过定点．又，D在以为直径的圆上．中点即为圆心Q．
经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得．
［方法四］：
设．
若直线的斜率不存在，则．
因为，则，即．
由，解得或（舍）．
所以直线的方程为．
若直线的斜率存在，设直线的方程为，则．
令，则．
又，令，则．
因为，所以，
即或．
当时，直线的方程为．所以直线恒过，不合题意；