2023-2024学年新疆巴音郭楞蒙古自治州且末县第一中学高一上学期期中数学试题含答案

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考试时间：120分钟 总分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、学号填写答题卡上.
2.将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 集合A＝｛1，2｝的真子集的个数是（ ）．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：集合的真子集有，共3个，故选C.
考点：集合的子集
2. 下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A. 错误；B. 错误；C. 不相等，所以该选项错误；D. 正确，.
【详解】A. 错误，因为元素和集合不能相等，所以该选项错误；
B. 错误，因为元素和集合之间只能用“”或“”连接，所以该选项错误；
C. 不相等，所以该选项错误；
D. 正确，所以该选项正确.
故选：D
3. 已知全集，则集合（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合并集和补集的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
因此，
故选：C
4. 是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先解方程，进而判断出.是的必要不充分条件.
【详解】①当时，则，
充分性不成立，
②当时，则，
必要性成立，
∴是的必要不充分条件.
故选：B.
5. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据命题否定的定义求解．
【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题.
命题“，”的否定是: ，.
故选：C．
6. 对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ）
A. “a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B. “a＞b”是“a2＞b2”的充分条件
C. “a＜3”是“a＜5”的必要条件
D. “a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
【答案】D
【解析】
【分析】运用反例法，结合充分性、必要性的定义逐一判断即可.
【详解】取a＝2，b＝3，c＝0，满足ac＝bc，但是不满足a＝b，选项A错误，
取a＝2，b＝﹣3，满足a＞b，但是不满足a2＞b2，选项B错误，
由“a＜5”推不出“a＜3”，选项C错误，
“a+5是无理数”，则“a是无理数”，选项D正确，
故选：D．
7. 下列不等式中成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可分别判断.
【详解】对A，若，当时，，故A错误；
对B，若，当时，，故B错误；
对C，若，则，故C错误；
对D，若，则，故D正确.
故选：D.
8. 在下列函数中，函数表示同一函数的（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，判断函数是否相等，需对比定义域和对应关系，先求定义域，再整理解析式，可得答案.
【详解】由题意，函数，其定义域为，其解析式为，
对于A，函数，其定义域，故A错误；
对于B，函数，其定义域为，对应法则不同，故B错误；
对于C，与题目中的函数一致，故C正确；
对于D，函数，其定义域为，故D错误，
故选：C.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.全选对得5分，部分选对得2分，有错选的得0分）
9. 下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据根指数的性质逐个选项化简即可.
【详解】对A，当时，，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：BD
10. （多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数图象可得出、的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断ACD选项，利用不等式的基本性质可判断B选项.
【详解】由图象可知，函数（且）在上单调递增，则，
且当时，，可得.
对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对.
故选：ABD.
11. 若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值9
B. 的最小值是
C. ab有最大值
D. 的最小值是
【答案】AB
【解析】
【分析】根据已知等量关系，应用基本不等式及“1”的代换、二次函数性质求各式的最值，注意取值条件.
【详解】，当且仅当时等号成立，A对；
，当且仅当即时等号成立，B对；
，则，当且仅当即时等号成立，C错；
由，则，而，
所以，当且仅当时等号成立，D错.
故选：AB
12. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】AD
【解析】
【分析】根据定义列不等式，得到的解析式，然后画出函数图象，根据函数图象求出区间的长度即可.
【详解】令①，
当时，不等式可整理为，解得，故符合要求，
当时，不等式可整理为，解得，故，
所以不等式①的解为；
由上可得，不等式的解为或，
所以，
令，解得，令，解得或，
令，解得或，令，解得或，
所以区间的最小长度为1，最大长度为.
故选：AD.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知幂函数的图象经过点，则__________.
【答案】9
【解析】
【分析】图象经过的点代入函数解析式，求出，得到，再求即可.
【详解】幂函数的图象经过点,则有，解得，
所以，有.
故答案为：9
14. 函数f(x)=的定义域为___________.
【答案】且
【解析】
【分析】
由分母不能为和根式内部的代数式大于等于联立不等式组，解得即可.
【详解】由题意得：，解得，所以定义域且.
故答案为：且
【点睛】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
15. 若指数函数的图象经过点，则________.
【答案】
【解析】
【分析】设出函数的解析式，代入点P求出待定系数即可．
【详解】设指数函数，且，根据它的图象经过点，
可得，∴，，.
故答案为：．
16. 求解不等式的解集__________.
【答案】
【解析】
【分析】直接求解不含参数的一元二次不等式即可.
【详解】因为，所以，故，所以不等式的解集为，
故答案为：.
三、解答题（本题共6答题，共70分）
17. 设是小于11的正整数，
求
【答案】
【解析】
【分析】按照集合的交并补定义运算即可.
【详解】由题知
所以
,故
故
18. 已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）用定义法证明：在上单调；
（4）求在上的最大值与最小值．
【答案】（1）；
（2）非奇非偶函数； （3）证明见解析；
（4），﹒
【解析】
【分析】（1）由分母不为零可得定义域；
（2）先判断定义域是否关于原点对称即可；
（3）设，判断正负即可；
（4）根据（3）单调性即可求最值﹒
【小问1详解】
，
所以函数定义域为；
【小问2详解】
∵f(x)的定义域为不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数；
【小问3详解】
，
设，
则
，
，即，
在上单调递增；
【小问4详解】
由(3)知f(x)在上单调递增，
∴﹒
19. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明.
（1）存在实数x，使得x2+2x+3＞0；
（2）菱形都是正方形；
（3）方程x2﹣8x+12＝0有一个根是奇数.
【答案】（1）存在量词命题；否定是：对任意一个实数x，都有x2+2x+3≤0；假命题；
（2）全称量词命题；否定是：菱形不都是正方形；真命题；
（3）存在量词命题；否定是：方程x2﹣8x+12＝0的每一个根都不是奇数；真命题.
【解析】
【分析】（1）先确定为存在量词命题，再写出其否定即可；
（2）先确定为全称量词命题，再写出其否定即可；
（3）先确定为存在量词命题，再写出其否定即可.
【详解】解：（1）该命题是存在量词命题，
该命题的否定是：对任意一个实数x，都有x2+2x+3≤0，该命题的否定是假命题.
（2）该命题是全称量词命题，
该命题的否定是：菱形不都是正方形.，该命题的否定是真命题.
（3）该命题是存在量词命题，
该命题的否定是：方程x2﹣8x+12＝0的每一个根都不是奇数，该命题的否定是真命题.
20. 已知全集，集合，.
（1）若，求，；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1），.
（2）
【解析】
【分析】（1）代入集合B，，由交集和并集的定义求和；
（2）由集合的包含关系，求实数a的取值范围.
【小问1详解】
时，，又，
，.
【小问2详解】
，，
由，得，实数a的取值范围为
21. 已知是定义在上的奇函数，当时，，求在上的解析式.
【答案】.
【解析】
【分析】根据奇函数的定义求出时的解析式，再由分段函数的定义写出R上的解析式即可得答案．
【详解】解：当时，则，
因为当时，，且是定义在上的奇函数，
所以，即，
故时，的解析式为.
∴的解析式为.
22. 某工厂某种航空产品的年固定成本为万元，每生产件，需另投入成本为，当年产量不足件时，（万元）.当年产量不小于件时，（万元）. 每件商品售价为万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式；
（2）年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【答案】（1）
（2）当产量为100件时，最大利润为1000万元
【解析】
【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为（万元），根据年利润＝销售收入−成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为（万元），根据年利润＝销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；
（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．
【小问1详解】
∵①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入−成本，
∴；
②当x≥80时，根据年利润＝销售收入−成本，
∴．
综合①②可得，；
【小问2详解】