43，新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州2023-2024学年高一上学期期末数学试题

这是一份43，新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州2023-2024学年高一上学期期末数学试题，共15页。试卷主要包含了 设，，，则， 若函数， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
（分值：150分 考试时间：120分钟）
考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡两部分，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡的相应位置.
2.作答选择题时，选出正确答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的字母涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他字母，在试题卷上作答无效.
3.作答非选择题时，将答案写在答题卡上，在试题卷上作答无效.
4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本大题共8题，每小题5分，共计40分.在每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值求出答案.
【详解】.
故选：B
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义即得.
【详解】由题意可得，
故选：B
3. 若点是角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的定义分别求出，，从而求解.
【详解】点是角终边上一点，
所以，，
所以.故D正确.
故选：D.
4. 函数的零点所在的大致区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
详解】，
函数f(x)在（0，+∞）上单调递增，
∵f(3)=ln3-1＞0，f(e)=lne-=1-＜0，
∴f(3)·f(e)＜0，
∴在区间（e，3）内函数f(x)存在零点.
故选C.
5. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数的性质，利用中间量法求得各值的范围，即可得解.
【详解】，
，
，
综上，可得
故选：B
6. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦型函数的周期性与单调性逐项判断，即可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数的最小正周期为，且该函数在上单调递减，A满足条件；
对于B选项，函数的最小正周期为，且该函数在上单调递减，B不满足条件；
对于C选项，函数的最小正周期为，
当时，，则函数在上不单调，C不满足条件；
对于D选项，函数的最小正周期为，
当时，，则函数在上单调递增，D不满足条件.
故选：A.
7. 若函数（，）的图象恒过定点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】指数函数恒过定点，只需将代入即可得到定点的坐标.
【详解】令，即，，则.
故选：C.
8. 已知函数的部分图像如图所示，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由可求，由可求得，由，可求得，从而可求得点的坐标.
详解】解：由图像可知，，
，
又，的图像经过，
，
由于，所以，
点的坐标为，
故选：A.
二、多选题：本大题共4题，共计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 对于①，②，③，④，⑤，⑥，则为第二象限角的充要条件为（ ）
A. ①③B. ①④C. ④⑥D. ②⑤
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据为第二象限角判断出、、的符号，从而可得出为第二象限角的充要条件.
【详解】若第二象限角，则，，.
所以，为第二象限角或或.
故选：BC.
【点睛】本题考查三角函数值的符号与象限角之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “且”是“一元二次不等式的解集为”的充要条件
C. “”是“”的必要不充分条件
D. 已知，则的充要条件是
【答案】BC
【解析】
【分析】对于ABC：根据充分、必要条件分析判断；对C：根据一元二次不等式结合充分、必要条件分析判断.
【详解】对于选项A：例如，则，
即充分性不成立，故A错误；
对于选项B：若且，
可知一元二次不等式的解集为，即充分性成立；
若一元二次不等式的解集为，则且，
即必要性成立；
综上所述：“且”是“一元二次不等式的解集为”的充要条件，故B正确；
对于选项C：若，不可以推出，例如，即充分性不成立，
若，可以推出，即必要性成立，
综上所述：“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
对于选项D：例如，可以推出，
即不可以推出，故D错误；
故选：BC.
11. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 函数的图象关于对称
C. 是函数图象的一条对称轴
D. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象
【答案】BCD
【解析】
【分析】
将函数化为，根据周期公式求出周期可知不正确；根据可知正确；根据可知正确；化简，利用平移变换和诱导公式可知正确.
【详解】,
的最小正周期，故不正确；
因为，所以函数的图象关于对称，故正确；
因为，所以是函数图象的一条对称轴，故正确；
，的图象向右平移后得到，故正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：掌握正弦函数的周期性、对称中心、对称轴以及图象的平移变换是解题关键.
12. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】先明确、的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明AC选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断BD选项.
【详解】由题意可知，，
因为，，
则，所以， ，即，
所以；
在中，，即
当时，、点重合， ，此时，
则，所以A正确；
对于C选项，在中，，则，
又因为，所以，，
可得，即，所以，
由于，所以，
当时，，此时，
综上，，所以C正确；
由于在该图中没有相应的线段与之对应，故BD中的不等式无法通过这种几何方法来证明，
故选：AC.
三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共计20分.
13. ____.
【答案】.
【解析】
分析】本题直接运算即可得到答案.
【详解】解：，
故答案为：.
【点睛】本题考查指数幂的运算、对数的运算，是基础题.
14. 已知，函数的最小值为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】利用基本不等式求得最小值.
【详解】依题意，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
15. 已知扇形的周长为，圆心角为2弧度，则此扇形的面积为______.
【答案】16
【解析】
【分析】由扇形的周长可求半径，然后由扇形的面积公式即得.
【详解】设扇形半径为r，圆心角为，弧长为
扇形的周长为，所以，
扇形的面积为.
故答案为：16
16. 为了预防某种病毒，学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）随时间（单位：h）的变化情况如右图所示，在药物释放的过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），根据图中提供的信息，写出从药物释放开始，与之间的函数关系式______.据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过______小时后，学生方能回到教室.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】分与两种情况，代入，求出函数关系时，令，根据指数函数单调性解不等式，求出答案.
【详解】当时，设，将代入得，
，解得，故，
当时，将代入得，
解得，故，
综上，，
令，即，
故，解得，
故至少需要小时后，学生方能回到教室.
故答案为：，.
四、解答题：本大题共6题，其中第17题满分10分，其余题目满分均为12分，共计70分，要求每道题必须有详细的解答过程.
17. 已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据且可求出，从而求解.
（2）利用三角函数诱导公式化简后并结合（1）中结论即可求解.
【小问1详解】
因为，，
所以为第三象限角，且，
所以.
【小问2详解】
由.
18. 已知函数（且），.
（1）求使成立的的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由结合对数运算可求得的值，可得出函数的解析式，然后解方程，可得出满足条件的的值；
（2）分析可知，是上的增函数，根据可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【小问1详解】
解：因为，则，解得，
所以，得，
即，解得或.
小问2详解】
解：由（1）知是上的增函数，
又，则，解得.
故实数的取值范围是.
19. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的最大值和最小值以及取得最大值和最小值时的集合.
【答案】（1）
（2）最大值为，取得最大值时的集合是，最小值为，取得最小值时的集合是.
【解析】
【分析】（1）利用周期公式直接求解即可；
（2）利用余弦型函数的最值的性质即可直接求解.
【小问1详解】
，
的最小正周期.
【小问2详解】
当，即时，
有最大值，且；
当，即时，
有最小值，且.
综上，最大值为，取得最大值时的集合是，
最小值为，取得最小值时的集合是.
20. 已知，且．
（1）求的值；（2）若，，求的值．
【答案】(1) .
(2) .
【解析】
【详解】分析：（1）根据正弦的二倍角公式求解即可；（2）由，然后两边取正弦计算即可.
详解：
（Ⅰ） ，且，，-------2分
于是 ；
（Ⅱ）,,,结合得：， 于是
.
点睛：考查二倍角公式，同角三角函数关系，三角凑角计算，对于的配凑是解第二问的关键，属于中档题.
21. 某公益团队计划联系第19届杭州亚运会组委会举办一场为期一个月的线上纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查了解，某款纪念品的日销售量（单位：件）是销售单价（单位：元/件）的一次函数，且单价越高，销量越低，当单价等于或高于110元/件时，销量为0.已知该款纪念品的成本价是10元/件，展销会上要求以高于成本价的价格出售该款纪念品.
（1）若要获取该款纪念品最大的日利润，则该款纪念品的单价应定为多少？
（2）通常情况下，获取商品最大日利润只是一种“理想结果”，若要获得该款纪念品最大日利润的84%，则该款纪念品的单价应定为多少？
【答案】（1）60元/件
（2）40元/件或80元/件
【解析】
【分析】（1）先根据当单价等于110元/件时，销量为0求出，再根据题意建立二次函数模型，再利用二次函数的单调性得到最大值；
（2）通过解一元二次方程进行求解.
【小问1详解】
依题意设.
将，代入，解得.
故.
设该款纪念品的日利润为元，
则
，
因为，所以当时，取得最大值，且最大值为.
故若要获取该款纪念品最大的日利润，则该款纪念品的单价应定为60元/件.
【小问2详解】
由题意可得，即，
解得或.
故若要获得该款纪念品最大日利润的，则该款纪念品的单价应定为40元/件或80元/件.
22. 已知函数为上的奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义可得出对任意的恒成立，即可求得实数的值；
（2）分析出函数在上单调递增，由所求不等式可得出，利用二次函数的基本性质求出函数在时的最大值，即可得出实数的最小值.
【小问1详解】
解：因为为奇函数，则，即对任意的恒成立，
所以，，等式两边平方可得对任意的恒成立，所以，.
【小问2详解】
解：由（1）可知，
所以，函数在和上均为增函数且函数在上连续，
故函数在上单调递增，
由可得，
所以，，
所以，，
因为，则，
故当时，函数取得最大值，即，故.
因此，实数的最小值为.