2023-2024学年浙江省湖州中学浙东北联盟（ZDB）高一上学期期中联考数学试题含答案

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总分150分 考试时间120分钟
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合，再求两集合的并集.
【详解】由，得，所以，
因，
所以，
故选：B
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的性质或举反例的方法来判断各选项中不等式的正误.
【详解】对于A选项，若且，则，该选项错误；
对于B选项，取，，，，则，均满足，但，B选项错误；
对于C选项，取，，则满足，但，C选项错误；
对于D选项，由不等式的性质可知该选项正确，故选D.
【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用不等式的性质以及举反例的方法来进行验证，考查推理能力，属于基础题.
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断出的奇偶性，结合幂函数的图象得到答案.
【详解】的定义域为R，又，
故为偶函数，
当时，，结合幂函数的图象可知，C正确.
故选：C
4. 已知的解集为，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得方程的两个根分别为和，然后利用根与系数的关系列方程组可求得结果.
【详解】因为解集为，
所以方程的两个根分别为和，
所以，所以，
故选：A
5. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，.则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】根据题中定义求出、的值，即可求得的值.
【分析】因为，则，，
所以，.
故选：B.
6. 命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据全称量词命题为真命题求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出合适的选项.
【分析】若命题“，”是真命题，则，
因为，，，
故命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是.
故选：A.
7. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【分析】因为，，且，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.
故选：D.
8. 已知函数定义域为，满足，当时，总有，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在等式中，分别令、可得出、的关系式，再由，可得出，即可得出关于、的方程组，即可解得的值.
【详解】在等式中，令可得，
令可得，
当时，总有，则，
所以，，解得，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数求值，对自变量赋值是解题的关键，要注意所求函数值对应的自变量与所赋的自变量值之间的关系.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 以下说法中正确的有（ ）
A. 若定义在上的函数满足，则函数是偶函数
B. 若定义在上的函数满足，则函数在上不是增函数
C. 不等式的解集为
D. 函数与是同一函数
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，举例判断，对于B，由函数单调性的定义判断，对于C，通过解不等式判断，对于D，根据两函数为相等函数的判断方法分析判断.
【详解】对于A，，则，而不是偶函数，所以A错误，
对于B，因为在上的函数满足，所以在上不是增函数，所以B正确，
对于C，由，得，所以不等式的解集为，所以C正确，
对于D，因为的定义域为，的定义域为，所以与不是同一个函数，所以D错误，
故选：BC
10. 若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知条件及二次函数的性质即可求解.
【详解】由，对称轴为，
当时，函数取得最小值为，
或2时，函数值为，
因为函数的定义域为，值域为，
所以，
实数t的可能取值为，，2.
故选：BCD.
11. 已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】设，则由，可得，然后列方程组可求出，从而可求得答案.
【详解】由题意设，
因为，
所以，
即，
所以，解得或，
所以或，
故选：AB
12. 已知函数，若方程恰有6个不相等的实数根，则实数的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】画出的图象，令，则结合函数图象可得关于的方程在上有两个不同实根，从而可求出的范围.
【详解】的图象如图所示，
令，则可化为，
因为方程恰有6个不相等的实数根，
所以由图可知关于的方程在上有两个不同实根，
令，则
，即，解得，
所以AD不符合题意，BC符合题意，
故选：BC
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查数形结合的思想，解题的关键是正确画出的图象，结合图象求解，考查数学转化思想，属于较难题.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设，，那么、的大小关系是__________.
【答案】##
【解析】
【详解】利用作差法可得出、的大小关系.
【分析】因为，，则，
故.
故答案为：.
14. 已知，函数，且，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据解析式直接计算即可得出.
【详解】因为，
所以，
则，解得.
故答案为：1.
15. 定义在上的奇函数在上是减函数，若，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【详解】分析可知，函数在上为奇函数，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【分析】因为定义在上的奇函数在上是减函数，则函数在上也为减函数，
所以，函数在上为减函数，
由可得，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
16. 关于的不等式组的整数解的集合为，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，求出两个不等式的解集，将这两个解集取交集，可知交集中只含唯一的整数，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】解不等式，可得或，
由得，
因为关于的不等式组的整数解的集合为，
则，可得，
所以，不等式的解集为，
关于的不等式组的整数解的集合为，
所以，或中只含唯一的整数，不含整数，如下图所示：
则.
故答案为：.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 设集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意可得，从而可求出实数的取值范围；
（2）由，得，求出集合，然后根据两集合的包含关系列不等式组可求得答案.
【小问1详解】
因为，
所以，解得，
即实数的取值范围为；
【小问2详解】
由，得，所以，
因为，所以，
因为，
所以，
解得，
即实数的取值范围为.
18. 已知幂函数的图像关于轴对称.
（1）求实数的值；
（2）设函数，求的定义域和单调递增区间.
【答案】（1）
（2）定义域为，增区间为.
【解析】
【分析】（1）由题知，进而解方程并根据图像关于y轴对称求解即可；
（2）由（1）可得，求出定义域结合单调性定义可得解.
【小问1详解】
由题，解得或，
又因为的图像关于轴对称，所以为偶函数，
则为偶数，从而；
【小问2详解】
由（1）得，，
由，解得或，
所以函数的定义域为，
任取，且，
，
，，且，
所以当时，有，即成立，
所以函数在上单调递增，
当时，有，即成立，
所以函数在上单调递减，
故函数的增区间为.
19. 已知函数是定义在的奇函数，当时，
（1）求函数在上的解析式；
（2）求证：函数在上单调递减.
【答案】（1）（）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据函数为奇函数结合已知的解析式可求得结果；
（2）根据函数单调性定义证明即可.
【小问1详解】
设，则，
因为当时，，
所以，
因为函数是定义在的奇函数，
所以，
所以，得（）；
【小问2详解】
证明：任取，且，则
，
因为，且，所以，，，
所以，所以，即，
所以函数在上单调递减.
20. 年六月，嘉兴市第十届运动会胜利召开，前期需要改造翻新某体育场的所有座椅.要求座椅的使用年限为年，已知每千套座椅成本是万元.按照采购合同约定，座椅供应商还负责座椅使用过程中的管理与维修，并收取管理费和维修费.按照促销的原则，每年的管理费用万元与总座椅数千套按照关系式收取.而年的总维修费用为万元，记为年的总费用.（总费用成本费用使用管理费用总维修费用）.
（1）求总费用关于总座椅数的函数关系式；
（2）当设置多少套座椅时，这年的总费用最小，并求出最小值.
【答案】（1）
（2）当设置千套桌椅时，这年的总费用最小，且最小值为万元
【解析】
【分析】（1）求出建造成本费以及使用管理费，结合题意可得出总费用关于总座椅数的函数关系式；
（2）利用基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论.
【小问1详解】
解：由题意可得，建造成本费用为万元，
使用管理费用为万元，
所以，.
【小问2详解】
解：因为，则，
万元，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，当设置千套桌椅时，这年的总费用最小，且最小值为万元.
21. 已知函数，.
（1）若集合为单元素集，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分析可知，关于的方程有两个相等的实根，可得出，即可解得实数的值；
（2）分析可知，存在，使得，求出函数在上的最小值，结合参变量分离法可得出，然后利用单调性求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：由题意可知，集合为单元素集，且，
由，其中，整理可得，
所以，关于的方程有两个相等的实根，
所以，，解得，合乎题意，故.
【小问2详解】
解：当时，，
因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数，
当时，，
对任意，总存在，使成立，
则存在，使得，则，可得，
所以，，
令，其中，
因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数，
当时，，故，
因此，实数的取值范围是.
22. 已知函数，其中.
（1）当时，画出函数在上的图象；
（2）若函数在上的最大值为，求实数的值.
【答案】（1）见解析；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）先化简函数解析式，然后画出函数图象；
（2）先化简函数解析式，然后分，和三种情况讨论即可.
【小问1详解】
当时，，
函数在上的图象如图所示
小问2详解】
，
则在和上单调递增，在上单调递减，
①当，即时，在上单调递增，
所以，解得，不合题意，舍去，
②当，即时，在上递增，在上递减，
所以，解得，
③当时，在和上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以当时，得，或当时，解得，
综上，或.