2023-2024学年陕西省西安中学高二上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省西安中学高二上学期第一次月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设直线方向向量，平面的法向量，若，则（ ）．
A．B．0C．5D．4
【答案】A
【分析】由可得，根据即可求解.
【详解】由，则，
则存在非零常数，使得，
即 ，解得，
故选：A
【点睛】本题考查了空间向量的共线定理、根据共线定理求参数值，属于基础题.
2．设点关于坐标原点的对称点是B，则等于（ ）
A．4B．C．D．2
【答案】A
【解析】求出点关于坐标原点的对称点是B，再利用两点之间的距离即可求得结果.
【详解】点关于坐标原点的对称点是
故选：A
3．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据投影向量的计算公式求解即可.
【详解】向量在向量上的投影向量为.
故选:C.
4．如果且，那么直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据横截距和纵截距的范围求得正确答案.
【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号；
令，得；令，得；
所以直线不经过第三象限.
故选：C
5．如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】在点O建立空间直角坐标系．观察图像可知，借助向量坐标法求解即可.
【详解】以过点O且垂直于平面的直线为x轴，直线分别为y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，
则根据题意可得，
所以，
设异面直线与所成角为，
则．
故选：A.
6．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，用表示出，求得的表达式，结合 二次函数的性质求得当时，取得最小值，从而求得点的坐标.
【详解】设，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.
所以当λ＝时，取得最小值，此时＝＝，
即点Q的坐标为.
故选：C
7．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，计算平面AEC1F的法向量，利用点到面距离的向量公式即得解
【详解】以D为原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则，
∴，.
设为平面的法向量，，
由，得，
令z=1，∴，
所以.
又，
∴点C到平面AEC1F的距离d=.
故选：C.
8．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论：

①当点是中点时，直线平面；
②直线到平面的距离是；
③存在点，使得；
④面积的最小值是．
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据线面平行的判定判断①；根据等体积法求得点到平面的距离即直线到平面的距离，判断②；建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题，判断③；求出面积的表达式，结合二次函数知识求得面积的最小值，判断④，即得答案.
【详解】对于①，点是中点，，
而，故，即F为的中点，
连接，则，因为平面，平面，

故直线平面，①正确；
对于②，连接,分别是棱，的中点，

故，平面,平面,
故平面,
故直线到平面的距离等于点到平面的距离，设为h；
，
，故，
由于，故，②错误；
对于③，以点A为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，
则，
,设，
故，则，
由，得，
解得，故存在点，使得，③正确；
对于④，由③知在上的投影为，
故到的距离为，
则的面积为，
当时，取得最小值，
故的面积取到最小值，④错误，
故所有正确结论的个数是2，
故选：C
二、多选题
9．已知空间向量=（1，－1，2），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．向量与向量=（2，2，－4）共线
C．向量关于x轴对称的向量为（1，1，－2）
D．向量关于yOz平面对称的向量为（－1，1，－2）
【答案】AC
【分析】根据空间向量的模、共线、对称等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】，A选项正确.
，所以不共线，B选项错误.
向量关于x轴对称的向量，不变，和变为相反数，
即向量关于x轴对称的向量为，C选项正确.
向量关于yOz平面对称的向量，和不变，变为相反数，
即向量关于yOz平面对称的向量为，D选项错误.
故选：AC
10．下列说法正确的是（ ）
A．空间中任意两非零向量共面
B．直线的方向向量是唯一确定的
C．若，则A，B，C，D四点共面
D．在四面体中，E，F为，中点，G为中点，则
【答案】AC
【分析】由空间中任意两个向量都共面判断A；由直线的方向向量定义判断B；由共面定理的推理判断C；根据向量的平行四边形法则判断D.
【详解】对于A，空间中任意两个向量都共面，故A正确；
对于B，空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量，故B错误；
对于C，因为，所以，，因为，所以A，B，C，D四点共面，故C正确；
对于D，因为E，F为，中点，G为中点，所以，，故D错误；
故选：AC
11．已知两条直线，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．若，则或
C．当时，与相交于点D．直线过定点
【答案】ACD
【分析】根据两直线垂直与平行的充要条件判断A、B，对于C将代入直线方程，联立两直线方程，求出交点坐标，即可判断C，对于D将直线方程变形为，从而求出直线过定点坐标；
【详解】解：因为，对于A：当时，，则、，所以，所以，故A正确；
对于B：若，则，解得或，当时，满足题意，当时，与重合，故舍去，所以，故B错误；
对于C：当时，，则，解得，即两直线的交点为，故C正确；
对于D：，即，令，即，即直线过定点，故D正确；
故选：ACD
12．在棱长为2的正方体中，P，Q分别是棱BC，的中点，点M满足，，下列结论不正确的是（ ）
A．若，则平面MPQ
B．若，则过点M，P，Q的截面面积是
C．若，则点到平面MPQ的距离是
D．若，则AB与平面MPQ所成角的正切值为
【答案】AC
【分析】时有M与A重合，对于A选项，可以利用反证法判定；对于B选项，根据平面的性质计算即可；时，M为AB中点，对于CD选项，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量处理即可.
【详解】如图所示，时有M与A重合，
对于A，延长PQ交BB1于L，连接AL，易得平面平面MPQ=AL，
若平面MPQ，则，显然，且B、L不重合，矛盾，故A错误；
对于B，连接AD1、D1Q，易知平面APQD1即该截面，显然该截面为等腰梯形，
易得，，故B正确；
如图所示，时，M为AB中点，以D为中心建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面MPQ的法向量为，则，
令，则，故；
对于C，设点到平面MPQ的距离为，则，即C错误；
对于D，设AB与平面MPQ所成角为，则，
所以，即D正确.
故选：AC
三、填空题
13．若，，三点共线，则 .
【答案】
【分析】由转化为坐标运算可得答案.
【详解】因为，，三点共线，
所以，即，
所以，解得，即.
故答案为：.
14．直线ax＋y＋1＝0与连接A(2,3)、B(－3,2)的线段相交，则a的取值范围是
【答案】a≤－2或a≥1.
【分析】根据直线过定点和斜率变化求解
【详解】直线过定点，，，，所以或，即或．
故答案为：a≤－2或a≥1.
15．若向量，，则的值是 .
【答案】0
【分析】由空间向量的数量积的坐标运算即可得解.
【详解】因为，所以，
故答案为：0.
16．设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，求得，根据求得的取值范围.
【详解】由题设可知，以为坐标原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，，，，
则，得，
所以，
，
显然不是平角，所以为钝角等价于，
即，即，
解得，因此的取值范围是.
故答案为：

四、解答题
17．如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，．

(1)试用向量，，表示向量；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先把表示出来，然后由点E为的中点得，化简即得结果；
（2）把用表示，然后利用数量积的运算律结合已知条件即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
因为点E为的中点，所以.
（2）因为，，
所以
.
18．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线，在中，已知，若其欧拉线的方程为，求
(1)外心的坐标；
(2)重心的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出的垂直平分线方程为，联立与可求出外心坐标；
（2）设，表达出重心坐标，代入欧拉线方程，再由得到另一方程，联立求出，从而得到重心坐标.
【详解】（1）设的中点为，
则，故，
其中，根据垂直关系可得的垂直平分线的斜率为，
所以的垂直平分线方程为，即，
外心在直线上，
故联立与，解得，
故外心的坐标为；
（2）设，则重心坐标为，
因为重心在欧拉线上，
故，即①，
由得，②，
联立①②得或，
故或
因为，故与重合，不合要求，舍去，
所以满足要求，此时.
五、证明题
19．如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.

(1)求证：；
(2)若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明过程见解析；
(2).
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可.
【详解】（1）因为平面，平面，
所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：
，
，因为，
所以，即，
（2）设平面的法向量为，
，
所以有，
因为直线与平面所成角为，
所以，
解得，即，因为，
所以点到平面的距离为：
.
【点睛】20．如图1，四边形ABCD是平行四边形，AB=2AD=2，∠ADC=60°，E是CD的中点，将平行四边形ABCD沿着AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如图2），点G是的重心，连结AC，BE交于点F.
(1)求证：GF平面CDE；
(2)求直线GF与平面BCD所成角的正弦值.
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接并延长交于，连结，先证明，由线面平行的判定定理，即得证；
（2）先证明平面ABCE，建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式，即得解.
【详解】（1）证明：连接并延长交于，连结，
因为点是的重心，所以，
由题意可知，，所以，
所以，所以.
所以.
又平面，平面,
所以GF平面CDE.
（2）因为，所以是等边三角形，
所以，因为，所以，
所以，所以，
连接,由等边三角形三线合一, 故,
因为平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE平面ABCE，,平面ADE，
所以平面ABCE .
所以以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.
因为，所以，所以.
.
设向量为平面的一个法向量，
则，令可得，
设直线与平面的夹角为，则.
所以直线与平面的夹角的正弦值是.