陕西省西安市昆仑中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

高二数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册前两章。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知向量，，若，则（    ）

A.1 B. C. D.5

2.已知直线的倾斜角为，则（    ）

A. B. C. D.

3.平行线与之间的距离为（    ）

A. B. C. D.

4.若圆与圆恰有3条公切线，则（    ）

A. B. C. D.

5.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ）

A.，， B.，，

C.，， D.，，

6.已知点，，，若是直线和的公共点，则直线的方程为（    ）

A. B. C. D.

7.如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是的中点，，则折后直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A. B. C. D.

8.已知直线与圆交于，两点，当取得最小值时，过，分别作的垂线与轴交于，两点，则（    ）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，分别为，的中点，则（    ）

A.在方向上的投影向量为

B.在方向上的投影向量为

C.在方向上的投影向量为

D.在方向上的投影向量为

10.若曲线是一个圆，则的取值可以是（    ）

A. B. C.2 D.6

11.直线与在同一平面直角坐标系内的位置可能是（    ）

A. B. C. D.

12.在空间直角坐标系中，若，，，四点可以构成一个平行四边形，则的坐标可以为（    ）

A. B. C. D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为________.

14.圆的周长为________.

15.如图，已知二面角的平面角大小为，四边形，均是边长为4的正方形，则________.

16.某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米.若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知直线经过第一、二、四象限.

（1）求的取值范围；

（2）若直线与直线垂直，求的值.

18.（12分）

《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，.

（1）设，，，用，，表示；

（2）若，求.

19.（12分）

如图，在直四棱柱中，底面是菱形，且，，，分别为，，的中点，.

（1）求直线与所成角的余弦值；

（2）求点到平面的距离.

20.（12分）

已知直线与轴，轴分别相交于，两点，以线段为直径的圆经过点.

（1）求圆的方程；

（2）传直线与圆有公共点，求的取值范围.

21.（12分）

如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点，是上一点.

（1）证明：平面.

（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.

22.（12分）

已知圆，直线与圆相交于，两点，记弦的中点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过圆上一点的直线与曲线恰有一个公共点，求的取值范围.

高二数学试卷参考答案

1.B  因为，所以，解得.

2.C  由题可知，因为，所以.

3.D  将的方程转化为，则与之间的距离.

4.A  因为与恰有3条公切线，所以与外切，则，解得.

5.B  ，，.故选B.

6.B  由点在上可知，，同理，故点与均满足方程，因此直线的方程为.

7.A  以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为，则得取，得，易得与共线的一个向量为，所以直线与平面所成角的正弦值为.

8.C  如图，由题意得，由得所以过定点.

设与轴交于点，当最小时，，，，则，.因为，所以.在中，，在中，，所以.

9.ACD  由图可知，在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为.故选ACD.

10.AD  因为曲线表示圆，所以，解得或.故选AD.

11.BC  对于A选项，两条直线的斜率和截距均大于0，且其中一条直线的斜率和截距均大于另一条直线的斜率和截距，不符合题意，A不正确.对于B选项，当时，符合题意，B正确.对于C选项，当或时，符合题意，C正确.对于D选项，其中一条直线斜率不存在，不符合题意，D不正确.

12.ABC  ，，.设的坐标为.若四边形为平行四边形，则，则，此时的坐标为.若四边形为平行四边形，则，则，此时的坐标为.

若四边形为平行四边形，则，则，此时的坐标为.

13.  点关于平面对称的点的坐标为.

14.  将圆的方程转化为，半径为3，故圆的周长为.

15.  因为，所以.又二面角的平面角大小为，四边形，均为边长为4的正方形，所以，，，所以，则.

16.  以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，娱乐健身区域为矩形.由题可知，直线的方程为，直线的方程为.设，其中，则，，则，，四边形的面积.当时，取得最大值.

17.解：（1）将直线的方程转化为.………………………………1分

因为经过第一、二、四象限，所以………………………………3分

解得，即的取值范围为.…………………………5分

（2）将直线的方程转化为，因为，所以，………………7分

解得或.……………………………………9分

又，所以.……………………………………10分

18.解：（1）连接，（图略）..………………2分

因为为的中点，，所以，，……4分

所以.……………………6分

（2）因为，……………………7分

所以

.………………………………9分

因为平面，平面，所以，，.………………10分

又，所以，即.……………………………………12分

19.解：（1）连接.因为底面是菱形，所以.…………………………1分

因为，分别为，的中点，所以，则平面.………………2分

以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由，，得，，，，则，.…………………………4分

，………………………………5分

故直线与所成角的余弦值为.……………………………………6分

（2）由（1）知.设平面的法向量为，

则…………………………………………8分

令，得.……………………………………9分

点到平面的距离为.…………………………12分

20.解：（1）由题可知，.…………………………1分

因为以线段为直径的圆经过点，所以，……………………3分

则，解得，则.………………………………4分

故圆的圆心坐标为，半径，………………………………5分

所以圆的方程为.………………………………6分

（2）因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离小于或等于半径，

即，………………………………………………9分

解得，即的取值范围为.……………………12分

21.（1）证明：取的中点，连接，，因为是的中点，所以，.1分

又底面为正方形，是的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以.………………………………………………2分

因为平面，平面，所以平面.…………………………4分

（2）解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，.…………………………5分

设，得，则，.……………6分

因为，所以，解得，……………………7分

从而，，.…………………………8分

设平面的法向量为，则令，得.……9分

设平面的法向量为，则令，得.……10分

.……………………………………11分

故平面与平面的夹角的余弦值为………………………………12分

22.解：（1）将直线的方程转化为，………………1分

令解得即直线经过定点.…………3分

设，则，，由，得，5分

故曲线的方程为.………………………………6分

（2）由（1）可知，曲线是圆心为，半径为2的圆.……………………7分

，是圆上一点，则，即.…………9分

因为过点的直线与曲线恰有一个公共点，所以该直线与曲线相切，则.……11分

故的取值范围为.………………………………………………12分