陕西省西安市第八十五中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

这是一份陕西省西安市第八十五中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题，共8页。试卷主要包含了直线的倾斜角为，向量，若，则，“”是“直线与直线互相垂直”的等内容，欢迎下载使用。

数学试题
一､单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.向量，若，则（ ）
A. B.
C. D.
3.如图，在三棱锥中，，点在上，且为中点，则（ ）
A. B.
C. D.
4.“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，､分别是和的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知空间中三点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形.若，且，则的长为（ ）
A. B. C. D.5
8.已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A. B.或
C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9.已知空间中三点，则下列结论错误的是（ ）
A.与是共线向量
B.与同向的单位向量是
C.与夹角的余弦值是
D.平面的一个法向量是
10.一束光线自点射入，经轴反射后过点，则下列点在反射光线所在直线上的是（ ）
A. B. C. D.
11.下列结论不正确的是
A.过点的直线的倾斜角为
B.直线恒过定点
C.直线与直线之间的距离是
D.已知，点在轴上，则的最小值是5
12.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.存在点，使平面
C.存在点，使直线与所成的角为
D.点到平面与平面的距离和为定值
三､填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.
13.已知为平面的一个法向量，为直线的方向向量.若，则__________.
14.过点且与过点和的直线平行的直线方程为__________.
15.已知点，若直线过点，且到直线的距离相等，则直线的方程为__________.
16.如图，在正三棱柱中，各棱长均为是的中点.则点到平面的距离为__________.
四､解答题：共36分，其中17题8分，18，19每小题9分，20题10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知三角形的三个顶点为，求：
（1）所在直线的方程；
（2）边上的中垂线的方程.
18.如图，棱锥的底面是矩形，平面，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
19.如图，三棱柱中，侧面为矩形，且为的中点，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面的夹角的正弦值.
20.设直线的方程为
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
（2）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点的面积为，求的最小值并求此时直线的方程.
西安市第八十五中学高二第一次月考
数学答案
一､二.选择题
三､填空题
13. 14. 15.或 16.
四､解答题
17.（1）因为，所以直线的方程为，
化简得；
（2），
则边上的中垂线的斜率，
线段的中点为，
所以边上的中垂线的方程为，
即.
18.（1）在中，，
底面为正方形，
因此，
平面平面，
.
又平面，
平面.
（2）因为平面，
所以为在平面上的射影.
又，
平面，
平面，而平面，
所以，
为二面角的平面角.
又.
即二面角的大小为.
19.（1）连接与交于点，连接，
由题意可知：点为的中点，且为的中点，则，
又因为平面平面，所以平面.
（2）因为平面，所以平面，
且平面，可得，则，
因为，可得，即，
以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则
可得，
设平面的法向量为，则，
令，可得
设直线与平面的夹角为，
则
所以直线与平面的夹角的正弦值为.
20.解：（1）当直线过原点时满足条件，此时，解得，此时直线方程为.
当直线不过原点时，在两坐标轴上的截距相等，则直线斜率为，
故，解得，
可得直线的方程为：.
综上所述，直线的方程为或.
（2）由题意知，
令，解得，解得；
令，解得，解得或.
综上有.
，
当且仅当，即时取等号.
（为坐标原点）面积的最小值是6，
此时直线方程，即.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
A
C
D
C
A
B
AC
CD
ABC
ABD