专题24计数原理应用-原卷版

这是一份专题24计数原理应用-原卷版，共14页。试卷主要包含了精于计数基而分析方法，抓住关键词精准分类计数，遇到障碍时联想出奇招，抓住分类本质减少分类层次，计数中分类时抓住现象本质，读懂集合寻找计数辅助方法等内容，欢迎下载使用。
(1)制作球与盒子模型的策略;
(2)特殊元素优先安排的策略;
(3)合理分类和准确分步的策略;
(4)排列、组合混合问题先选后排的策略;
(5)正难则反、等价转化的策略;
(6)相邻问题㧽绑处理的策略;
(7)不相邻问题揷空处理的策略;
(8)定序问题除法处理的策略;
(9)分排问题直接处理的策略;
(10)“小集团”排列问题先整体后局部的策略.
一、精于计数基而分析方法
问题1:有4名男生、5名女生,全体排成一行,则下列情形各有多少种不同的排法?
(1)甲不在中间也不在两端;
(2)甲、乙两人必须排在两端;
(3)男生、女生分别排在一起;
(4)男女相间；
(5)甲、乙、丙三人从左到右的顺序保持一定.
二、抓住关键词精准分类计数
在计数问题中,有许多关键词制约着问题分类标准的制定,比如,“至少”“至多”“恰好”“不小于”“不大于”“奇偶”等,要抓住问题中的关键词(不论此关键词是明显的,还是隐藏的)进行分类考虑,而每一类问题都要利用球与盒子模型进行分析,以保证所求的排列和组合种数既不重复也不遗漏.
问题2:某中学将招聘来的4名教师安排在高中三个年级任教,其中高一年级至少要安排1人,高二年级必须安排但至多只能安排2人,那么不同的安排方案共有多少种?
三、遇到障碍时联想出奇招
计数问题中有许多难题,不知如何下手,但通过联想类似问题可以找到解题思路.
问题:记表示有限集合中元素的个数,现有集合,集合
(I)
(II)对任意,将中所有元素相乘,乘积记为,现将所有的相加,其和记为,则
四、抓住分类本质减少分类层次
计数中先进行分类,然后分别计算每一类中的方法数.由于分类标准的确定是一个难点,有必要引导学生关注分类时思考的方向,即抓住问题本质,从而减少分类的层次.
问题4:在某次数学考试中,学号为的同学的考试成绩,且满足,则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有多少种?
五、计数中分类时抓住现象本质
问题 5 : 设集合 A=x1,x2,x3,x4,x5∣xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5, 则集合 A 中满足条件 1⩽x1+x2+x3+x4+x5⩽3 的元素个数为 .
六、读懂集合寻找计数辅助方法
问题 10 : 设 A6=x1,x2,x3∣xi=1,2,3,4,5,6,i=1,2,3 且 6∣x1x2x3, 求 A6#, 即 card⁡A6.
强化练习
1.已知集合 P={-3,0,3},Q={3,4,5,6}, 映射 f:P→Q, 且当 x∈P 时, x+f(x)+xf(x) 为奇数, 则 这样的映射 f 的个数是（ ）
A. 32 个
B. 24 个
C. 20 个
D. 18 个
2.用 a 代表红球, b 代表蓝球, c 代表黑球, 由加法原理及乘法原理, 从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干 个球的所有取法可由 (1+a)(1+b) 的展开式 1+a+b+ab 表示出来,如: “1”表示一个球都不取、“ a ”表示 取出一个红球, 而“ ab ” 表示把红球和蓝球都取出来, 以此类推. 下列各式中,其展开式可用来表示从 5 个无区 别的红球、5 个有区别的黑球中取出若干个球, 且所有的监球都取出或都不取出的取法的是（ ）
A. 1+a+a2+a3+a4+a51+b5(1+c)5
B. 1+a51+b+b2+b3+b4+b5(1+c)5
C. 1+a51+b+b2+b3+b4+b5(1+c)5
D. 1+a5(1+b)51+c+c2+c3+c4+c5
3. (1) 将 4 封信投人到 3 个不同的邮箱中去, 共有 种不同的投法;
(2)有 4 名同学报名参加数、理、化竟赛,每人限报一项,则不同的报名方法
有 种;
(3) 有 4 名同学获数、理、化竞赛冠军, 冠军获得者共有 种可能.
4.已知空间中有 8 个点, 其中 5 个点在同一个平面内, 其余再无 4 点共面, 则以这些点为顶点可以做成 棱锥的个数是 个. (棱锥不区分顶点和底面多边形顶点)
5.设坐标平面内有一个质点从原点出发, 沿 x 轴跳动, 每次向正方向或负方向跳 1 个单位长度.
(I) 经过 5 次跳动, 质点落在点 (3,0) (允许重复过此点) 处, 求质点不同的运动方法种数;
(II) 经过 n 次跳动, 质点落在点 (3,0) (允许重复过此点) 处, 求质点不同的运动方法种数;
(III) 经过 n 次跳动, 质点落在点 (m,0)(m