专题23图形-解析版

这是一份专题23图形-解析版，共21页。试卷主要包含了“变轨指令”的数学转化，规划中的数学问题探究，印信中的空间图形的探究，大兴机场“六茫星”结构的探究等内容，欢迎下载使用。
一、“变轨指令”的数学转化
问题1:根据新闻素材所命制的数学应用题中的图案给人以美感.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如图1,航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分,降落点为.两观测点同时跟踪航天器.
图1
(I)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;
(II)试问:当航天器在轴上方时,观测点测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?
【解析】卡壳点:第(II)问中,不会将文字语言进行数学转化.
应对策略:变轨指令的数学意义就是守找变轨点的坐标.
问题解答:(I)设曲线方程为,由题意可知,,解得.所以所求的曲线方程为.
(II)设变轨点为,根据题意可知
消去后整理得.
解得,或(不合题意,舍去).
由得,或(不合题意,舍去).
故点的坐标为.
答:当观测点测得分别为时,应向航天器发出变轨指令.
【反思】此题不仅数学内容极其丰富,而且题中所涉及的科技模型给学生许多启示,激励学生努力学习.
二、规划中的数学问题探究
问题2:如图2,一个湖的边界是圆心为的圆,湖的一侧有一条直线公路,湖上有桥(是圆的直径),规划在公路上选两个点,并修建两段直线道路,规划要求:线段上的所有点到点的距离均不小于圆的半径,已知点到直线距离分别是(为垂足),测得(单位:百米).
图2
(I)若道路与垂直,求道路的长.
(II)在规划要求下,点和中是否有一个点选在点处?并说明理由.
(III)在规划要求下,若道路和的长度均为(单位:百米),求当最小时,两点间的距离.
【解析】卡壳点:不理解文字语言,不会挖掘图形语言.
应对策略:问题本质就是分析直线与圆的位置关系,关注两点运动的影响.
问题解答:解法1(I)过点作,垂足为,如图3.
由已知条件得,四边形为矩形,.
因为,所以.
所以.因此道路的长为15(百米).
图3
(II)(1)若点在点处,由(I)可得点在圆上.
因为线段上的点(除)到点的距离均小于圆的半径,所以点选在点处不满足规划要求.
(2)若点在点处,连接,由(I)知.
从而,所以为锐角.
所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径.因此点选在点处也不满足规划要求.
综上所述,点和点均不能选在点处.
(III)先讨论点的位置.
当时,线段上存在点到点的距离小于圆的半径,点不符合规划要求.
当时,对线段上任意一点,即线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径,点符合规划要求.
设为上一点,且,由(I)知,
此时.
当时,在中,,由以上可知.
再讨论点的位置.
由(II)知,要使得,点只有位于点的右侧,才能符合规划要求.
当时,.此时线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径.
综上所述,当,点位于点的右侧,且时,最小,此时两点间的距离.
因此最小时,两点间的距离为(百米).
解法2(I)如图4,过点作,垂足为.
以为坐标原点,直线为轴建立平面直角坐标系.
因为,所以,直线的方程为,点的纵坐标分别为.
因为为圆的直径,,所以圆的方程为.
从而,直线的斜率为.
图4
因为,所以直线的斜率为,直线的方程为.
所以.
因此道路的长为15(百米).
(II)(1)若点在点处,取线段上一点,则,所以点选在点处不满足规划要求.
'(2)若点在点处,连接,由(I)知.
又,所以线段的方程为.
在线段上取点,因为,所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径.
因此点选在点处也不满足规划要求.
综上,点和点均不能选在点处.
(III)先讨论点的位置.
当时,线段上存在点到点的距离小于圆的半径,点不符合规划要求.
当时,对线段上任意一点,即线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径,点符合规划要求.
设为上一点,且.由()知,,此时.
当时,在中,,由以上可知.
再讨论点的位置.
由(II)知,要使得,点只有位于点的右侧,才能符合规划要求.
当时,设,由,得,所以.
此时线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径.
综上所述,当时,最小,此时两点间的距离.
因此最小时,两点间的距离为(百米).
【反思】将实际问题中的文字语言向数学符号语言转化是一个重要的基本功.
三、印信中的空间图形的探究
数学文化融人高考数学试题中,这是新高考数学命题的趋势.
问题3:中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(如图5).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.图6是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有个面,其棱长为
图5
图6
【解析】卡壳点:空间想象能力弱,不会将空间图形投影到平面上来思考.
应对策略:把给定的文字与图片放在一起思考,多面体的面数可通过观察计数得知,为求棱长,需要将其投影到平面进行数量分析.
半正多面体的制作过程如图7和图8所示.
图7
图8
问题解答:如果将该半正多面体看成是三层的,则每一层都有8个面,再加上下两个面,故共有个面.
如图9,设棱长为,即,又为等腰直角三角形,
由,则.
又,则,即,解得.
图9
综上可知,此半正多面体共有26个面,棱长为.
【反思】半正多面体的制作过程为空间几何体投影到平面打下基础.
四、大兴机场“六茫星”结构的探究
问题4:简化的北京大兴国际机场的“六芒星”结构俯视图(由于初等数学的限制，这里只考虑其中的“四芒星”结构)如图10,左、右两叶是离心率相同的双曲线和,上、下两叶是离心率相同的双曲线和,如图11,从点,引双曲线的切线,从点引双曲线的切线,若切线,求双曲线的离心率.
图10
图11
【解析】卡壳点:面对抽象符号语言,从心理上产生自卑与恐惧.
应对策略:在高考数学平面解析几何的相关题目中,给定的量常中字母居多,此时,要视字母(参数)为常数,按照代数式运算一步步推演,很快就会柳暗花明,繁杂的代数式会显露出简洁的结构.
问题解答:设,可得
把点代人(1)式,点代人(2)式得,
分别代人双曲线方程可得.
故,
所以.
变式:简化的北京大兴国际机场的“六芒星”结构俯视图如图12,其中左、右两叶是双曲线和,过双曲线的右焦点任作一条斜率为1的直线交双曲线的右支于两点,设线段的莗直平分线交双曲线于点,则的值为
图12
B.C.D.
解析:根据题意可得.
设直线的斜率为1,则.由消去得,
即.
设,则线段中点的横坐标为,纵坐标为.
的斜率为,即
【反思】大兴机场的“六芒星”的六个支叶是一对对共形几何图形一一双曲线,此处只能根据初等数学现状进行简化.从应试角度而言,只需把字母换成数字进行运算也很容易得到答案,因为对于一般成立的结论,在特殊情形下也一定成立,比如:
令,则,于是.
设直线斜率为1,则.
由消去得,即.
设,则线段中点的横坐标为,纵坐标为,故的斜率为,即,即可选择.
此时的运算量与运算心理都比较平和,容易突破.
强化练习
1.某农场为节水推行喷灌技术,喷头装在管柱的顶端处,喷出的水流在各个方向上呈抛物线状,现要求水流最高点离地面5米,点到管柱所在直线的距离为4米,且水流落在地面圆心为,半径为9米的圆上,则管柱高
第1题图
【解析】以B为坐标原点,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如答图.
第1题答图
设抛物线的标准方程为x2=-2py,则点C坐标为(5,-5),代入标准方程可得p=52.
设点A坐标为(-4,y),代入标准方程解得y=-165,所以OA=5-|y|=1.8(米).
【反思】恰当地建立直角坐标系研究实际模型.
2.在宁绍平原上有一块低洼地区,一条运河从最低处通往大海,最低点处海拔为1米,如图,该地区沿海平面的垂线的任意一个剖面与地面的交线均为相同的双曲线,为双曲线的中心.由于温室效应,海平面逐年上升,自1998年起,海平面平均每年上升4厘米,专家预测,到2048年,该地区10平方千米以内的居住者必须迁移,请你预测,到2098年,该地区有多大范围内的居住者必须迁移?
海平面
第2题图
【解析】选择海平面与剖面的交线为x轴,B点为原点,建立平面直角坐标系,如答图.
第2题答图
设双曲线方程为y2a2-x2b2=1,其中a=1.
当y=2时,πx2=107,所以b2=1073π.
故双曲线的方程为y2-3π107x2=1.
到2098年海平面上升4米,当y=4时,πx2=5×107,即该地区50平方千米的居住者必须迁移.
【反思】将实际问题量化,建立恰当的数学模型,使用准确的数学语言加以描述,检测学生的数学应用能力.
如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽22米,要求通行车辆限高米,隧道全长2500米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
(1)若最大拱高为6米,则隧道设计的拱宽是多少?
(2)若最大拱高不小于6米,则应如何设计拱高和拱宽
第3题图,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?
(半个椭圆的面积公式为:,柱体体积为:底面积乘以高.本题结果精确到米)
【解析】(1)如答图所示,建立平面直角坐标系,得点P(11,4.5),椭圆方程为x2a2+y2b2=1.
将b=h=6与点P的坐标代人椭圆方程,得a=4477,此时l=2a=8877≈33.3.
因此隧道的拱宽约为33.3米.
第3题答图
（2）解法1由椭圆方程x2a2+y2b2=1,得112a2+4.52b2=1.
因为112a2+4.52b2⩾2×11×4.5ab,即ab⩾99,且l=2a,h=b,所以S=π4lh=πab2⩾99π2.
当S取最小值时,有112a2=4.52b2=12,得a=112,b=922
此时l=2a=222≈31.1,h=b≈6.4.
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.
解法2由椭圆方程x2a2+y2b2=1,得112a2+4.52b2=1.
于是b2=814⋅a2a2-121,
a2b2=814a2-121+1212a2-121+242⩾81421212
+242)=81×121
即ab⩾99,当S取最小值时,有a2-121=1212a2-121,
得a=112,b=922.
以下同解法1.
【反思】在实际问题中寻找二元函数的条件极值.
我国第一颗人造地球卫星的远地点距地面2384千米,地球半径约为6370千米.
（I)卫星在远地点时地球上约有多少平方千米上的人能看到这颗卫星?
(II)若此卫星相对于地球静止不动,则此卫星叫做地球同步轨道卫星,为了让卫星信号覆盖整个地球,至少需要在太空中布置几颗地球同步轨道卫星?
【解析】(I)如答图1,S球冠DAB=2πOA⋅CD,因为OA⊥HA,AC⊥HO,
所以OA2=OC⋅OH,即63702=OC(6370+2384),OC≈4635,CD≈1735,
S球冠DAB=2π×6370×1735≈6.944×107(平方千米).
第4题答图1
第4题答图2
（II)至少要放置四颗地球轨道同步卫星,而且这四颗卫星要放置在地球的一个外切正四面体的四个顶点上,可使其使用效率最高(信号能覆盖全球,同时卫星离地球最近),此时卫星到地球的距离计算如下.
如答图2,球O内切于正四面体ABCD,H,F为切点,易知AE⊥CD,BE⊥CD,BH=AF=2EH,OH=OF=R=6370.
由AOOF=AEHE,解得HE=2R.
所以AO=3R,所以卫星A到地球的距离是AO-R=2R=12740千米.
【反思】在多面体与旋转体的实际应用中,要理解实际意义,建立空间图形模型.