专题12 利用倒序相加法求数列和(解析版)

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专题12 利用倒序相加法求数列和【知识总结】1．倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法如果一个数列的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的。(2)并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解。例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050。【例题讲解】【例1】正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜.解：(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以Sn＞0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.综上，数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)证明：由于an＝2n，故bn＝＝＝.Tn＝＝＜＝. 1.裂项相消法求和的实质和解题关键裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．2．常见数列的裂项方法【变式训练】在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．(1)求证：数列是等差数列，并求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和Sn.解：(1)证明：∵an是1与anan＋1的等差中项，∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝，∴an＋1－1＝－1＝，∴＝＝1＋，∵＝1，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴＝1＋(n－1)＝n，∴an＝.(2)由(1)得＝＝－，∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝.【例题训练】一、单选题1．已知是上的奇函数，,,则数列的通项公式为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式．【详解】由题已知是上的奇函数，故，代入得：， ∴函数关于点对称，令，则，得到，∵，，倒序相加可得，即，故选：C．【点睛】思路点睛：利用函数的性质以及倒序相加法求数列的通项公式问题.先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再用换元法得到，最后利用倒序相加法求解数列的通项公式.2．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式．【详解】由题已知是上的奇函数，故，代入得：， ∴函数关于点对称，令，则，得到，∵，，倒序相加可得，即，故选：C．【点睛】思路点睛：先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再利用对称性以及倒序相加法求数列的通项公式.3．已知，（），则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用累加法即可求出通项公式．【详解】解：∵，则当时，，……，，∴，化简得，又，∴，经检验也符合上式，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查数列的递推公式的应用，考查倒序相加法求数列的和，考查计算能力，属于中档题．4．设n为满足不等式的最大正整数，则n的值为（    ）．A．11 B．10 C．9 D．8【答案】D【分析】利用倒序相加法可求得，进而解不等式求得最大正整数.【详解】设，则，又，，，由得：，，，，，的值为.故选：.【点睛】本题考查了与组合数有关的不等式的求解问题；涉及到了利用倒序相加法求解数列的前项和的问题，属于中档题.5．已知函数满足，若数列满足，则数列的前10项和为（    ）A． B．33 C． D．34【答案】A【分析】根据，并结合倒序相加法可求出，再利用等差数列求和公式得到答案.【详解】函数满足，①，②，由①②可得，，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前10项和为.故选：A.【点睛】本题考查了函数的性质，考查倒序相加法求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，属于中档题.6．已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（    ）A．100 B．105 C．110 D．115【答案】D【分析】根据函数满足，利用倒序相加法求出，再求前20项和．【详解】解：函数满足，①，②，由①②可得，，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为．故选：D．【点睛】本题主要考查函数的性质及倒序相加法求和，属于基础题．7．已知函数，设（），则数列的前2019项和的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先可得，又，则，即，则可得，再由及计算可得；【详解】解：因为，所以所以因为所以，所以则数列的前2018项和则所以所以又故选：【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，函数与数列，倒序相加法求和，属于中档题.8．已知若等比数列满足则（    ）A． B．1010 C．2019 D．2020【答案】D【详解】等比数列满足即2020故选：D【点睛】本题综合考查函数与数列相关性质，需要发现题中所给条件蕴含的倒数关系，寻找规律进而求出答案.9．设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先计算出的值，然后利用倒序相加法即可计算出所求代数式的值.【详解】，，设，则，两式相加得，因此，.故选：B.【点睛】本题考查函数值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．10．设等差数列的前项和是，已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列求和公式表示出，根据结合等差数列性质求解.【详解】由题：等差数列中：．故选：B【点睛】此题考查等差数列求和公式和等差数列性质的综合应用，熟练掌握相关性质可以减少计算量.11．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为A． B． C． D．【答案】B【分析】由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式．【详解】由题已知是上的奇函数
故，
代入得： 
∴函数关于点对称，令，则，得到．
∵，
倒序相加可得，即 ，故选B．【点睛】本题考查函数的基本性质，借助函数性质处理数列问题问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解．属难题12．已知函数，则的值为（ ）A．4033 B．-4033C．8066 D．-8066【答案】D【解析】试题分析：，所以原式.考点：函数求值，倒序求和法.【思路点晴】本题主要考查函数求值与倒序相加法.注意到原式中第一个自变量加上最后一个自变量的值为，依此类推，第二个自变量加上倒数第二个自变量的值也是，故考虑是不是定值.通过算，可以得到，每两个数的和是，其中，所以原式等价于个即.13．已知为R上的奇函数，，则数列的通项公式为A． B． C． D．【答案】C【分析】观察到的自变量头尾加得1，根据为R上的奇函数和得到即可求解.【详解】∵为R上的奇函数，∴代入得：当时，，当为偶数时：当为奇数时：综上所述，，故选C.【点睛】本题考查数列与函数的综合应用.关键在于发现规律，再建立与已知的联系.二、填空题14．设数列的通项公式为该数列的前n项和为，则_________.【答案】【分析】利用诱导公式和同角三角函数基本关系式可知，再利用倒序相加法求和.【详解】 ，， ，，，，…，，，，.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求三角函数的和，解题关键是找到，然后利用倒序相加法求和.15．已知函数，，正项等比数列满足，则等于______．【答案】【解析】试题分析：因为，所以．因为数列是等比数列，所以，即．设 ①，又＋…＋ ②，①+②，得，所以．考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算；3、数列求和．【知识点睛】如果一个数列，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．如等差数列的前项和公式即是用此法推导的．16．设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设，数列的通项公式为，则_______.【答案】8【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即，即可得到结论．【详解】解：，，，令，解得：，而，故函数关于点对称，，，，，，同理可得，，，，故答案为：8.【点睛】本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法．17．已知，等差数列的前项和为，且，则的值为___________.【答案】【分析】先求出，并判断，（且），再由函数得到，最后求的值即可.【详解】解：因为等差数列的前项和为，且，所以，解得：，则，（且）因为，则，所以设，则，由上述两式相加得：，则故答案为：1009.【点睛】本题考查等差数列的通项的性质、等差数列的前项和、倒序相加法，是中档题.18．设函数，数列满足，则______.【答案】【分析】由题得，设,考虑一般情况，，即得解.【详解】由题得,，两式相加得，考虑一般情况，设,则所以故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算和倒序相加求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．若()，则数列的通项公式是___________.【答案】【分析】根据自变量的和为1时，函数值的和为2，运用数列的求和方法，倒序相加法求和，计算数列的通项公式.【详解】， ，两式相加可得，，所以 .故答案为：【点睛】本题考查倒序相加法求和，重点考查推理能力和计算能力，属于基础题型.20．对任意都有.数列满足：，则__________.【答案】【分析】采用倒序相加法即可求得结果.【详解】由题意得：，，，……，，，，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查利用倒序相加法求和的问题，属于基础题.21．函数，数列满足，其前项和为，则_____.【答案】2019【分析】由二倍角公式可得，则，再求其前2019项的即可，或根据函数的解析式化简得到求解.【详解】（法一）：，（法二）：，所以，所以，，所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查三角函数诱导公式及数列求和降幂公式：，，22．推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得__________.【答案】.【分析】通过诱导公式可知，结合，可求出原式为.【详解】解：设，，，则，即，故答案为:【点睛】本题考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系.本题的关键是结合诱导公式对所求式子倒序求和.23．设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得_________．【答案】【分析】由题干可证出，再由倒序相加法可得所求为对的组合，即个，计算即可得解.【详解】，，因此，所以.故答案为：.【点睛】本题考查倒序相加法求数列的前项和，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.24．已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前7项和为__________.【答案】7【分析】利用等差数列的性质可得，再利用二倍角的余弦公式可得，利用倒序相加法即可求解.【详解】数列满足，，数列是等差数列，，，， 同理，数列的前7项和为7.故答案为：7.【点睛】本题考查了等差数列的性质、二倍角的余弦公式、诱导公式以及倒序相加法，属于中档题.25．给出定义 ：对于三次函数设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.已知函数.设.若则__________．【答案】-4037【分析】由题意对已知函数求两次导数,令二阶导数为零,即可求得函数的中心对称,即有,,借助倒序相加的方法,可得进而可求的解析式,求导,当代入导函数解得,计算求解即可得出结果.【详解】函数函数的导数由得解得,而故函数关于点对称, 故，两式相加得，则.同理,,,令,则,,故函数关于点对称, ,两式相加得,则.所以当时, 解得: ,所以则.故答案为: -4037.【点睛】本题考查对新定义的理解,考查二阶导数的求法,仔细审题是解题的关键,考查倒序法求和,难度较难.三、解答题26．已知数列的前n项和为．（Ⅰ）若为等差数列，求证：；（Ⅱ）若，求证：为等差数列．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（1）根据为等差数列，利用倒序相加法证明即可；（2）由前n项和公式有、，相加后整理可得，为等差数列得证．【详解】（Ⅰ）证明：已知数列为等差数列，设其公差为d，则有，于是，①又，②①+②得：，即． （Ⅱ）证明：∵，当时，，∴，③，④④-③并整理，得，即，∴数列是等差数列．【点睛】本题考查了已知等差数列的通项公式，应用倒序相加法求证前n项和公式，由前n项和公式，结合等差数列的定义证明等差数列，属于基础题.27．已知函数，设数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）若记，2，3，，，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由得到，然后变形为，利用等差数列的定义求解.（2）由（1）得到，由，利用倒序相加法求解.【详解】（1）因为，所以由得，所以，，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以，所以.（2）由（1）知，则，，，所以，，，两式相加，得：，所以.【点睛】本题主要考查数列的递推关系，等差数列的定义及通项公式以及倒序相加求和，话考查了运算求解的能力，属于中等题.28．已知f(x)＝ (x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2的中点P的横坐标是.（1）求证：点P的纵坐标是定值；（2）若数列{an}的通项公式是an＝，求数列{an}的前m项和Sm.【答案】（1）证明见解析；（2）Sm＝【分析】（1）先根据中点坐标公式得x1＋x2＝1，再代入化简求得y1＋y2＝，即证得结果；（2）先求，再利用倒序相加法求，两者相加得结果.【详解】（1）证明：∵P1P2的中点P的横坐标为，∴＝，∴x1＋x2＝1.∵P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，∴y1＝，y2＝，∴y1＋y2＝＋＝＝＝＝＝，∴点P的纵坐标为＝.∴点P的纵坐标是定值.（2）Sm＝a1＋a2＋a3＋…＋am＝令由（1）知＋＝.(k＝1，2，3，…，m－1) ∴倒序相加得∴2S＝ (m－1)，∴S＝ (m－1).又f（1）＝＝，∴Sm＝S＋f（1）＝ (m－1)＋＝.【点睛】