专题16 数列放缩证明不等式必刷100题(原卷J及解析版)

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专题16 数列放缩证明不等式必刷100题
任务一:邪恶模式(困难)1-100题
提示:几种常见的数列放缩方法：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）
；
（10）
；
（11）；
（12）.

一、单选题
1．2018年9月24日，英国数学家M.F阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列的各项的和，那么下列结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由时，，由裂项相消求和以及不等式的性质可得,排除，再由前3项的和排除，，从而可得到结论.
【详解】
由时，，
可得，
时，，可得,排除，
由，可排除,故选C.
2．已知数列满足，，且，，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
分析得出，可判断出CD选项的正误；分析得出，利用累加法可判断出A选项的正误；当时，分析得出，利用放缩法可判断D选项的正误.
【详解】
由已知，数列满足，，且，，
即，
故，
由，，有，，故与同号，
因为，则，，，
以此类推可知，对任意的，，
所以，，则，所以，，D错；
，C对；
因为，则，，，，
累加得，所以，，可得，A对；
当时，，
故，B对.
故选：D.
3．已知数列满足，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用数列的单调性可判断A选项的正误；利用放缩法得出，，利用放缩法可判断BCD选项的正误.
【详解】
由，可得出，，，
以此类推可知，对任意的，，所以，，即，
所以，数列为单调递增数列，故，A错；
在等式的两边同时除以可得，其中且，
所以，，，，，
累加得，所以，，则，故.
故D错误；
对于，
所以，，，，，
累加得，可得，则，
所以，，故， .
故选：B.
4．已知数列满足，，若，对任意的，恒成立，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】
先根据已知的递推关系式得到，然后结合基本不等式得到，进而得到，最后利用此不等式对放缩，并利用等比数列的前项和公式求解即可．
【详解】
由，得，
又，所以．
由，
可得，当且仅当时等号成立，
因为，，
所以，所以，
所以，
所以，
所以．
又对任意的，恒成立，
所以，
故的最小值为3．
故选：D
5．已知数列的前项和为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，则 B．当时，则
C．当时，则 D．当时，则
【答案】B
【分析】
利用不等式放缩和裂项相消法对各选项进行分析和计算，即可求出结果.
【详解】
对于选项A，当时，，
所以，故选项A错误；
对于选项B，当时，，
又，所以
所以
，故选项B正确；
对于选项C，当时，，
所以
，故选项C错误；
对于选项D，当时，，
所以
，故选项D错误；
故选：B.

第II卷（非选择题）

二、解答题
6．已知数列满足，.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，证明：.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）根据1，结合等差数列的定义可证结论；
（2）由（1）知，，根据放大后裂项求和，可证不等式成立.
【详解】
（1）因为，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知，，
所以，当时，，
所以.
7．已知数列的前n项和为，对任意正整数n，点都在函数的图象上，且在点处的切线的斜率为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）把点的坐标代入函数的解析式中，结合进行求解即可；
（2）根据导数的几何意义，运用放缩法，结合等比数列前项和公式进行证明即可.
【详解】
（1）解：依题意可知，当时，
，
当时，也符合上式，
∴；
（2）证明：∵，∴，，∴，
∴，
∴原不等式成立.
8．已知等差数列的前n项和为，且，又．
求数列的通项公式；
若数列满足，求证：数列的前n项和．
【答案】（1）（2）证明见解析
【分析】
直接利用等差数列前n项和公式求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式．
利用等比数列的求和公式和放缩法的应用求出数列的和．
【详解】
解：设的公差为d,因为，又．
所以，解得．
故．
证明：由于，所以，
所以．
9．已知等差数列满足，，的前n项和为．
（1）求及；
（2）记，求证：．
【答案】（1），
（2）见详解
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式可求解。
（2）由（1）的结论，利用裂项求和即可得出，再利用单调性即可证明结论。
【详解】
（1）设等差数列的公差为d，，
解得 ，
（2）由（1）可知：
所以 ，






10．公差不为0的等差数列的前项和为，若，，，成等比．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明对任意的，恒成立．
【答案】（1）；（2）见解析．
【详解】
试题分析：（1）由已知，把此等式用公差表示出来，解得后可得通项公式；（2）由（1）计算出，为了证明不等式，要想办法求出和，但此和不可能求出，为了证不等式，由（），这样和通过放缩后就可求得，从而证得不等式成立．
试题解析：（1）设数列的公差为
由题
∵，∴
（2）由（1）得，∴，当时，成立.
当时，，
∴成立，
所以对任意的正整数，不等式成立．
考点：等差数列的通项公式，放缩法证明不等式．
11．已知数列{an}的前n项和为 Sn（n∈N*），且a1＝2．数列{bn}满足b1＝0，b2＝2，，n＝2，3，…．
（Ⅰ）求数列 {an} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 {bn} 的通项公式；
（Ⅲ）证明：对于 n∈N*，．
【答案】（Ⅰ）＝2n，（Ⅱ），（Ⅲ）见解析.
【分析】
（Ⅰ）利用Sn，可得2Sn＝（n+1）an，再写一式2Sn+1＝（n+2）an+1，两式相减可得，利用叠乘法，可求数列 {an} 的通项公式；
（Ⅱ）根据b1＝0，b2＝2，，利用叠乘法，可求数列 {bn} 的通项公式；
（Ⅲ）先证明，再利用等比数列的求和公式，即可得到结论．
【详解】
（Ⅰ）解：∵Sn，∴2Sn＝（n+1）①，
∴2Sn+1＝（n+2）②，
∴①﹣②可得2＝（n+2）﹣（n+1），
∴
当n≥2时，
∵＝2
∴数列 {} 的通项公式为＝2n；
（Ⅱ）解：∵b1＝0，b2＝2，，n≥2，
∴n≥3时，
＝0，＝2满足上式，
∴数列 {} 的通项公式为；
（Ⅲ）证明：
当k≥2时，
∴
∵＝0，
∴2n﹣1﹣1
∴对于n∈N*，
12．已知函数的导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．若
（1）当时，试比较与的大小；
（2）记试证.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据条件得到解析式，得到，再求出的通项，从而得到的通项，再对二项展开，从而得到与的大小；（2）对进行放缩，然后得到的值，证明不等式.
【详解】
（1）
.
，
故，
当时，，
当时，适合上式，
因此.
从而，
当时，
故
（2），，


.
13．已知数列满足．
⑴求;
⑵求数列的通项公式；
⑶证明：
【答案】解：⑴；⑵；⑶证明过程见详解．
【分析】
⑴根据，逐项求解，即可求出结果；
⑵由，得到是等比数列，进而可求出结果.
⑶先由
得到．
再由放缩法，即可得出结果.
【详解】
(1)因为数列满足
所以，，故．
⑵因为
所以
所以是以为首项，2为公比的等比数列．
可得
即．
(3)因为
所以．
又因为
所以
故此．
14．数列满足：；数列满足：，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，证明：；
（3）设，证明：.
【答案】
（1） ，
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【分析】
（1）当时，,与条件等式两边相减，即得数列的通项公式，再利用累乘法求数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求得，再利用单调性证明得解；
（3）只需证明，再通过放缩和裂项相消证明不等式.
（1）
当时，;
当时，
与条件等式两边相减，得
所以.
所以=1,
.
故有
所求通项公式分别为和
（2）
①
②
①-②：
所以，
所以
所以递增
所以
又当时，
所以
（3）

只需证明
当时，.
所以

故原不等式成立
15．在下列条件：①数列的任意相邻两项均不相等，且数列为常数列，②，③中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.
已知数列的前n项和为，___________.
（1）求数列的通项公式和前n项和；
（2）设，数列的前n项和记为，证明：.
【答案】
（1），；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）选①：由题意，，所以或，又因为数列的任意相邻两项均不相等，且，所以数列为，即，
构造等比数列即可求解；选②：由，，两式相减可得，以下过程与①相同；选③：由，可得，
又，时，，所以，因为，所以也满足上式，所以，即，以下过程与①相同.
然后由分组求和法可得前n项和；
（2）由（1）求出，，则，利用裂项相消求和法求出前n项和记为即可证明.
（1）
解：选①：因为，数列为常数列，
所以，解得或，
又因为数列的任意相邻两项均不相等，且，
所以数列为，
所以，即，
所以，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，即；
选②：因为，，
所以两式相减可得，即，以下过程与①相同；
选③：由，可得，
又，时，，所以，
因为，所以也满足上式，
所以，即，以下过程与①相同；
所以；
（2）
解：由（1）知，，
所以，
所以
.
16．已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，并记为的前项和，求证：，.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）由项和转换可得，结合，可得，分析即得解；
（2）由可得，利用对数运算性质可得，利用放缩即得证
（1）
由，
结合，因此，
由，
得，又，得，
从而是首项为2公差为3的等差数列，
故的通项公式为.
（2）
由，故
即
可得，从而
，
∵，
∴，
于是
，
∴.
17．已知数列中，，
（1）求的通项公式；
（2）设， ，求证：
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据当时，变形为，得到数列等比数列，再利用累加法求解；
（2）由（1）得到时，，再利用裂项相消法求解.
【详解】
（1）因为
当时，变形为，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
所以，
，

所以.
（2）由（1）知：当时，，
所以，
.
18．数列满足，是的前n项的和，．
（1）求；
（2）证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）通过累乘法求通项，再求前n项和即可.
（2）通过二项展开式直接放缩即可求解．
【详解】
解：（1）当时，由
②-①得，即．
，
又得，故．
（2）证明：
因此，
另一方面，易证
则．
因此，有，当时，，左边等号成立．
19．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）运用基本不等式放缩；
（2）放缩后构造成等差数列求和．
【详解】
（1）在条件中，令，得，，，
又由条件，有，上述两式相减，
注意到得．
，，故，
，，
，即证．
（2），，

；
．
20．已知数列的首项，，、、．
（1）证明：对任意的，，、、；
（2）证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）推出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而可求得的通项公式，然后利用配方法可证得结论成立；
（2）取，由（1）中的结论结合等比数列求和可证得所证不等式成立.
【详解】
（1）对任意的，，则，
因为，可得，，，
以此类推，可知，对任意的，，且有，
所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，
所以，，解得，，
对任意的，，
，得证；
（2）由（1）可知，对任意的，
有
取，
所以，，故原不等式成立.
21．已知数列满足，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）令，证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）依题意可得，再两边取倒数，即可得到，从而得证；
（2）由（1）可得，则，利用放缩法得到，再利用裂项相消法求和即可得证；
【详解】
解：（1）因为，所以，
因为，所以﹐
所以
所以
又因为.所以是以1为首项，公差为1的等差数列.
（2）由（1）得，所以，
所以，所以，
所以

即.
22．已知正项数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，证明：当时，.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用结合已知条件可得，而，从而得，进而可求出数列的通项公式；
（2）由（1）可得，则，再利用放缩法可得，从则得，化简可得结果
【详解】
（1）由得，则
，
化简得
，
又，故
.
当时，解得，因此数列的通项公式为.
（2）由题意，.
由于，且，
所以
，
化简得
.
23．已知数列的前n项和为，若.
（1）求通项公式；
（2）若，为数列的前n项和，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求首项，再应用与的关系，构造两式并相减消去，得到递推关系从而证明是等比数列，求出通项公式；
（2）化简通项，法一放缩变形为可裂项形式，再裂项求和证明不等式，注意放缩成立条件，法二放缩为等比数列再公式法求和.
【详解】
（1）由①，令，得.
当时，有②，①②两式相减得，
即，又，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故；
（2）法一：，
当时，，
当时，，
，则
故
.
综上，.
法二：
由真分数性质，若则，
， ，

.故命题得证.
24．已知数列满足，，.
（1）设，求证：数列是等比数列；
（2）设数列的前项和为，求证：，.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）直接利用定义证明即得证；
（2）分析得到，再利用等比数列求和得证.
【详解】
解：（1），，
则，
又，
所以数列是等比数列；
（2）由（1）得，，，
，，
，，
，
当时，，
又，
综上，，.
25．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）递推相减之后得到，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，则．
（2）先由放缩法得到，进而累加相消得出结果.
【详解】
（1）因为，
所以，
两式相减得，因此．
当时，，又，则，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，则．
（2）由（1）得，
则．
26．已知数列的前n项和为，，．
（1）求证为等比数列；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由已知得，即，可证明是等比数列；
（2）有（1）知，即，合理利用放缩然后利用裂项相消可得证明.
【详解】
证明：（1）∵数列的前n项和为，，，∴，
∴，，∴是以为首项，以4为公比的等比数列．
（2）∵是以为首项，以4为公比的等比数列，∴，∴．∴．
，，所以，
当时，
∴
．
综上所述，．
27．已知数列的前项和为，，数列是公差为的等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求证：对于任意的，.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（1）由，所以，可得， 当时有，又，即可得解；
（2） 首先由，通过放缩和裂项可得：
，求和即可得解.
【详解】
（Ⅰ）数列是公差为的等差数列，且 ，
可得，，
，又，

（Ⅱ）
，
当时，


，
又
，
又，

28．已知数列满足，，，.
（1）（i）证明：数列是等差数列；
（ii）求数列的通项公式；
（2）记，，，证明：当时，.
【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）（i）根据与相除可得，变形得，从而可证数列是等差数列；
（ii）根据（i）中等差数列的通项公式可得结果；
（2）求出，根据可证，根据可证.
【详解】
（1）（i）当时，，
所以，
两式相除得，
所以，所以，
所以.
又，故，故也成立.
∴，
∴为等差数列
（ii）由（i）得，，即.
（2）因为，
∴
∴
，
又，
所以，

.
29．已知数列满足，，数列是公比为正数的等比数列，，且，，8成等差数列.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
（3）若数列满足，求证：.
【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）证明数列是等差数列，即得数列的通项公式，求出即得数列的通项公式；
（2）先求出，再利用裂项相消法求出数列的和；
（3）利用放缩法证明不等式即可.
【详解】
（1）数列满足，，
所以（常数），
所以数列是等差数列，
故，
数列是公比为的正数的等比数列，，且，，8成等差数列．
所以，解得．
所以．
故，.
（2）数列满足，
所以，
．
（3）数列满足，
所以，
，
，
，
．
30．已知数列的首项，其前项和为，且满足，，其中．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：．
【答案】（1）；（2）答案见解析
【分析】
(1)由题可得，又有当时，得，所以，故可判断数列是公比为4的等比数列，则可得其通项公式；
（2）由（1）得，利用不等式放缩得，叠加即可证明.
【详解】
（1）因为，
所以当时，，所以；
又当时，，所以，得，
故有，
所以数列是公比为4的等比数列，则有；
（2）由（1）得
因为，
所以，
又，
所以

，
综上所以有
31．已知数列满足，的前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由求得，令，由得出，两式作差可得出，推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式；
（2）推导出，然后利用放缩法结合等比数列的求和公式可证得成立.
【详解】
（1）当时，，，
当时，，，作差得，
整理得，且，
又，所以，数列是以为首项，以为公比等比数列，，
因此，；
（2）当时，；
当时，，
.
综上所述，对任意的，.
32．已知数列，满足，
（1）若，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式：
（2）若，
（i）求证：；
（ii）
【答案】（1）证明见解析；；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】
（1）将代入化简，得到即可求解；
（2）判断数列的单调性可得，通过适当放缩得到和，进一步化简可得结果.
【详解】
（1）∵
∴与同号，
∴，
∴，即
∴数列是等差数列，公差为，首项为
∴；
∴，
（2）（i）由（1）知
∵
∴是递减数列，且
∴
（ii），
∴，
∴，
由（i）知
∴，
∴
综上所述，
33．已知数列满足，，
（1）求;
（2）若数列满足，，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）用累乘法求得通项；
（2）求出满足不等式，从开始用放缩法，然后利用累加法求和可证结论．
【详解】
（1）由题意（），
∴，也适合．
所以（）；
（2）由已知，，，
当时，，
因此，
则
综上，．
34．设等差数列的前项和为，.
（1）求与；
（2）设，证明：.
【答案】（1），；（2）证明见解析．
【分析】
（1）把已知用和表示后解得，然后可得通项公式和前项和公式；
（2）写出，利用放缩法有，然后求和可证明不等式成立．
【详解】
（1）设等差数列的公差为，则由得，解得，∴，；
（2）由（1），
∴
．
35．已知数列满足：，，.
（1）求证是等差数列并求；
（2）求数列的前项和；
（3）求证：.
【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）利用等差数的定义结合已知的递推式证明即可；
（2）由（1）可知，然后利用错位相减法求；
（3）由及可得，从而再利用放缩法可证得结果.
【详解】
（1）证明：，
∴是首项为，公差为1的等差数列，
∴，∴.
（2）∵，
∴，
两式相减得：，
，
∴.
（3）证明：∵，∴，∴，
当时，，∴，
∴，
∴
.
36．已知数列满足，
（1）求证：是等比数列；并写出的通项公式
（2）求证：对任意，有
【答案】（1）见解析，（2）见解析
【分析】
（1）由已知式求得，写出，然后作差得递推关系，凑配后可得是等比数列，从而可得通项公式．
（2）用放缩法求和，但前2项不放缩．
【详解】
（1）证明：，，
时，，相减可得：，即，
变形为：
时也成立.是等比数列，首项为3，公比为3．∴，
∴．
（2）


37．已知是正项等比数列的前n项和，且，是，的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
【答案】（1）（2）见解析
【分析】
（1）由题得，解方程组得，，即得数列的通项公式；

（2）①当，2时不等式显然成立；②当时，，再证明即得解.
【详解】
（1）设数列的公比为q，由题意得，
则，
因为，所以两边同时除以得
，
因为，所以，
代入，
解得，所以．
（2）①当，2时不等式显然成立；
②当时，．
所以


综合得原不等式成立.
38．已知数列满足，前项和满足是正项等比数列，且是和的等比中项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；
【分析】
（1）根据题中的条件利用数列的通项与前n项和的关系求解数列的通项公式，根据等比中项的概念求解数列的公比，从而得到其通项公式；

（2）根据（1）中的结论合理放缩，结合等比数列的求和公式证明结论.
【详解】
（1）当时，由，
得，
相减得.
当时，符合上式，.
设的公比为，
由题意得，即，
又.
（2）证明：由题意得，



.
39．已知各项均为正数的数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求；
（3）若数列满足，，求证：.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）利用递推公式，结合累加法即可容易求得通项公式；
（2）根据（1）中所求，结合裂项求和法即可容易求得；
（3）利用（1）中所求，即可求得，以及，对进行放缩，即可容易求得.
【详解】
（1）∵，∴，
∴，
∴，
当时，也适合，
∴.
（2）由（1）知，
∴.
（3）∵，
所以，
令，所以，
因为，所以，
所以，
所以.
40．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）．（2）见解析
【分析】
（1）令求得的值，令，由得出，两式相减得出，由此可得出数列为常数列，进而可求得数列的通项公式；
（2）利用放缩法得出，再利用不等式的基本性质和裂项求和法可证得所证不成立成立.
【详解】
（1）当时，，即，
当时，①，
②，
①②，得：，即，
，且，
数列是以每一项均为的常数列，则，即；
（2）由（1）得，，
.
41．已知各项为正数的数列满足：且．
（1）证明：数列为等差数列．
（2）若，证明：对一切正整数n，都有
【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据所给递推公式，将式子变形，即可由等差数列定义证明数列为等差数列.
（2）根据数列为等差数列，结合等差数列通项公式求法求得通项公式，并变形后令.由求得的取值范围，即可表示出，由不等式性质进行放缩，求得后，即可证明不等式成立.
【详解】
（1）证明：各项为正数的数列满足：
则，，
同取倒数可得，
所以，
由等差数列定义可知数列为等差数列．
（2）证明： 由（1）可知数列为等差数列．，
则数列是以为首项，以为公差的等差数列.
则，
令，
因为，
所以，
则，
所以，
所以
，
所以


由不等式性质可知，若，则总成立，
因而，
所以



所以
不等式得证.
42．已知数列满足：，.
（I）求证：数列是等比数列；
（II）设的前项和为，求证.
【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析.
【分析】
（I）证明出为非零常数，即可得出结论；
（II）利用（I）中的结论，确定数列的首项和公比，求出该数列的通项公式，进而得出，利用放缩法得出，然后分和两种情况证明不等式，由此可得出结论.
【详解】
（I），，
因此，数列是等比数列；
（II），所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，，
当时，；
当时，，
.
综上所述，对任意的，.
43．记 为等差数列 的前 项和，若 ， .
（1）求 和 ；
（2）当 时，证明： .
【答案】（1） ，；；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据 ，，利用“”法求解.

（2）由（1）知，，则，再利用数列求和证明.
【详解】
（1）设公差为 ，则 ，
解得 ，
所以 ，；
（2）当 时， ，
所以当 时，
，
，
，
当 时， .
综上所述，原命题成立.
44．已知正项数列满足，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）将题干中的等式因式分解后得出，由此得出，再利用定义证明出数列为等比数列；
（2）求出，利用放缩法得出，结合等比数列的求和公式可证明出结论成立.
【详解】
（1），.
，，，即，
则有且，
数列是以为首项，以为公比的等比数列；
（2）由（1）得，即，得，
.
45．已知数列的前n项和记为，且满足n、、成等差数列．
Ⅰ求，的值，并证明：数列是等比数列；
Ⅱ证明：．
【答案】(I)；见解析 (II) 见解析
【分析】
Ⅰ先根据已知条件把1，2代入，即可求出前两项，再根据n、、成等差数列，得到一个新等式，两个相结合即可证明结论．
Ⅱ根据第一问的结论得到数列的通项，对通项进行适当的放缩即可证明．
【详解】
解：Ⅰ由已知n、、成等差数列，可得；
令，可得，令，可得，，；

得：，即；
，；
有，可得．
数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
Ⅱ由Ⅰ，．
．
．
．
．
．
46．给定数列，若满足且，且对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列”．
1已知数列的通项公式，证明：为“指数型数列”；
2若数列满足：，；
①判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
②若数列的前项和为，证明：.
【答案】(1) 证明见解析；(2) ①数列是“指数型数列”， 证明见解析；②证明见解析
【分析】
1利用“指数型数列”的定义即可证明是指数型数列；（2）①数列是“指数型数列”，证明即得证；②先由题得，再利用等比数列的求和公式即得解证.
【详解】
(1)解：对于数列，任意，，
所以是指数型数列.
(2)①数列是“指数型数列”， 证明如下：
，，
所以数列是等比数列，，
，故数列是“指数型数列”．
②由①可得，；
故.
47．已知数列中，，其前项的和为，且当时，满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）证明：．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【分析】
（1）当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1⇒Sn﹣Sn﹣1＝Sn•Sn﹣1（n≥2），取倒数，可得1，利用等差数列的定义即可证得：数列{}是等差数列；
（2）利用进行放缩并裂项求和即可证明
【详解】
（1）当时，，
，即
从而构成以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，，．
则当时．
故当时

又当时，满足题意，故．
法二：则当时，
那么
又当时，，当时，满足题意.
48．已知函数，数列中，若，且.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）将代入到函数表达式中，得，两边都倒过来，即可证明数列是等比数列；
（2）由（1）得出an的通项公式，然后根据不等式＜在求和时进行放缩法的应用，再根据等比数列求和公式进行计算，即可证出．
【详解】
（1）由函数，在数列中，若，得：，
上式两边都倒过来，可得：＝＝﹣2，
∴﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3＝3（﹣1）．∵﹣1＝3．
∴数列是以3为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1），可知：＝3n，∴an＝，n∈N*．
∵当n∈N*时，不等式＜成立．
∴Sn＝a1+a2+…+an＝＝＝﹣•＜．
∴．
49．设为数列的前项和，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）令，由求出的值，再令，由得，将两式相减并整理得，计算出为非零常数可证明出数列为等比数列；
（2）由（1）得出，可得出，利用放缩法得出，利用等比数列求和公式分别求出数列和的前项和，从而可证明出所证不等式成立.
【详解】
（1）当时，，解得；
当时，由得，
上述两式相减得，整理得.
则，且.
所以，数列是首项为，公比为的等比数列；
（2）由（1）可知，则．
因为，
所以.
又因为，
所以．
综上，．
50．已知数列中，，其前项和满足：．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析
【分析】
（Ⅰ）由，可得，即数列时以1为首项公比为2的等比数列，即可求解．（Ⅱ），当时，，当时，，即有．
【详解】
（Ⅰ）由，于是，
当时,，
即，
，∵，数列为等比数列，
∴，即．
（Ⅱ），
∴当时，，
当时，显然成立，
综上，对于任意的，都有．
51．已知数列的各项均不为零．设数列的前项和为，数列的前项和为，且，．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅲ）证明：.
【答案】（Ⅰ）2，4；（Ⅱ）证明见解析，；（Ⅲ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）直接给n赋值求出，的值；（Ⅱ）利用项和公式化简，再利用定义法证明数列是等比数列，即得等比数列的通项公式；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，再利用等比数列求和证明不等式.
【详解】
（Ⅰ），令，得，，；
令，得，即，，．
证明：（Ⅱ），①
，②
②①得：，
，，
从而当时，，④
③④得：，即，，．
又由（Ⅰ）知，，，．
数列是以2为首项，以为公比的等比数列，则.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
因为当时，，所以.
于是.
52．数列前项和为，已知
（1）求数列的通项公式；
（2）证明．
【答案】（1） ；（2）证明见详解.
【分析】
(1)由已知结合可得，变形得，利用叠加法可求.
(2)由可得，用放缩法证明不等式.
【详解】
(1)由,得，
以上两式相减得，
则.
两边同除以，可得.
，
，
…，
，
以上个式子相加得，
又，则，
所以.
(2)证明：因为，
所以.
所以.
记，
则，
当时，，
可得，
所以.
所以.
53．已知数列满足，.
(1)若为不恒カ0的等差数列，求；
(2)若，证明：.
【答案】（1）1；（2）证明见解析.
【分析】
(1)通过对变形、整理可以知道,设,利用等式恒成立列方程组求解即可；(2)利用放缩可以知道,通过叠加可以知道,利用，并项相加可以得到.
【详解】
(1)数列为不恒为0的等差数列,
可设,
,
,
,
,
,
整理得:,
,
计算得出: 或 (舍),
，
；
(2)易知,
,
，
两端同时除以,得：，
，
，
，
叠加得：，
又

，
又，
，
，
.
54．数列的前n项和为，且满足，
Ⅰ求通项公式；
Ⅱ记，求证：．
【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析
【解析】
【分析】
Ⅰ直接利用递推关系式求出数列的通项公式．
Ⅱ利用等比数列的前n项和公式和放缩法求出数列的和．
【详解】
解：Ⅰ，
当时，，
得，
又，
，
数列是首项为1，公比为2的等比数列，
；
证明：Ⅱ，
，
时，，
，
同理：，
故：．
55．已知正项数列满足.
（1）求证:，且当时，；
（2）求证:.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）由a1﹣a12=a2＞0，解得0＜a1＜1．用数学归纳法证明即可，
（2）记f（x）=ln（1+x）﹣，x＞0，求导，利用导数判定单调性，再利用放缩法即可证明．
【详解】
证明：（1）由，解得．
下用数学归纳法证明：当时，
①当时，．
所以不等式成立；
②假设当时，不等式成立，即
则当时，有
,
.
则当时，不等式也成立．
综合①②，当时，都有．
（2）记
当时，
所以在上是增函数，则，即
令，则，
从而有．
56．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，a1＝b1＝1，S2＝.
(1)若b2是a1，a3的等差中项，求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)若an∈N＋，数列{}是公比为9的等比数列，求证：＋＋＋…＋＜.
【答案】（1）an＝2n－1，bn＝3n－1或an＝6－5n，bn＝(－4)n－1.（2）证明见解析．
【分析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.利用等比数列的性质求出d，q，再求出通项公式.（2）利用数列{ban}是公比为9的等比数列，求出d＝2，q＝3.再放缩成能利用裂项求和的方法即可.
【详解】
(1)解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.
因为S2＝，所以a1＋a1＋d＝.
而a1＝b1＝1，则q(2＋d)＝12.①
因为b2是a1，a3的等差中项，
所以a1＋a3＝2b2，
即1＋1＋2d＝2q，
即1＋d＝q.②
联立①②，
解得或
所以an＝1＋(n－1)·2＝2n－1，bn＝3n－1或an＝1＋(n－1)·(－5)＝6－5n，bn＝(－4)n－1.
(2)证明：因为an∈N＋，
ban＝b1qan－1＝q1＋(n－1)d－1＝q(n－1)d，
所以＝＝qd＝9，即qd＝32.③
由(1)，知q(2＋d)＝12，即q＝.④
因为a1＝1，an∈N＋，所以d∈N.
根据③④，知q＞1且q为正整数．
所以d可为0或1或2或4.但同时满足③④两个等式的只有d＝2，q＝3，
所以an＝2n－1，Sn＝＝n2.
所以＝＜＝(n≥2)．
当n≥2时，
＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋
＝1＋
＝1＋＝－＜.
显然，当n＝1时上式也成立．
故n∈N＋，＋＋…＋＜.
57．已知数列，，二次函数的对称轴为.
(1) 证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，求证：.
【答案】（1）（2）见解析
【分析】
(1)先由题得，再利用等差数列的定义证明数列是等差数列，并求的通项公式.(2)，先证明. 因为，再证明.
【详解】
由已知得，整理得，
左右同时乘以得，，
所以是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以.
（2），，k=1,2,…n；所以
又因为， k=1,2,…n；
所以；
所以
58．已知数列的前项和满足：.
（1）数列的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，求证： .
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】
试题分析：
(1)结合通项公式与前n项和的关系可得数列是首项为，公比也为的等比数列，则.
(2)指数裂项求和放缩可得，据此裂项求和可得．据此即可证得题中的结论.
试题解析：
（1）解：当时， ，所以，
当时， ，即， ， ，
所以数列是首项为，公比也为的等比数列，
所以.
（2）证明： ．
由，
所以，
所以．
因为，所以，即．
59．已知数列满足，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求证：．
【答案】见解析
【解析】
试题解析：证明：（1）∵，
∴，
∴3 分
∴ 数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列． 5 分
证法 2：由已知
即，
即（常数） 3 分
∴ 数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列． 5分
（2）由（1）得，
所以， 6分
一方面， ∵7 分
∴ 9分
另一方面， ∵11分
∴
13分
故不等式成立． 14 分
60．数列满足，.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，求证：.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）分别令，，可得；（2）借助题设条件运用数列的递推关系求解；（3）借助题设运用放缩法和不等式的性质推证.
试题解析：
（1）令，得；令，有，得；
令，有，得.
（2）∵， （1）式
所以，当时，，（2）式
两式相减得：，∴.
当时，也适合，
∴.
（3），
当时，；当时，；
当时，，
，
综合可得：.
61．设数列的前项和为.已知,,.
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ) 求数列的通项公式；
(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.
【答案】(Ⅰ) 4(Ⅱ) (Ⅲ)见解析
【详解】
(Ⅰ) 依题意,,又,所以；
(Ⅱ) 当时,,

两式相减得
整理得,即,又
故数列是首项为,公差为的等差数列,
所以,所以.
(Ⅲ) 当时,；当时,；
当时,,此时


综上,对一切正整数,有.
(1)直接将n换为2代入递推式求解；（2）借助进行递推转化，进而构造数列为等差数列是解题的关键，考查了学生对式子的操作能力和转化能力.(3)借助放缩法进行证明，放缩的关键是
62．已知函数，数列满足，，.
（1）求证：；
（2）求证：.
【答案】（1）见详解；（2）见详解.
【分析】
（1）先用数学归纳法证明；再的正负即可得出结论；
（2）用放缩法得到，进而可证明结论成立.
【详解】
（1）首先用数学归纳法证明，
时，显然成立；
假设，则，因为在上单调递增，所以
即也有成立.
从而，所以；
（2）
，
所以，
.
63．已知数列{an}满足.
(Ⅰ)若方程f(x)=x的解称为函数y=f(x)的不动点,求an+1=f(an)的不动点的值；
(Ⅱ)若,求证：数列{lnbn}是等比数列，并求数列{bn}的通项．
(Ⅲ)当任意时，求证：.
【答案】(Ⅰ)0或1或；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)证明见解析.
【分析】
(Ⅰ)由题意解方程即可确定不动点；
(Ⅱ)利用递推关系结合等比数列的定义可得数列是等比数列，据此即可确定数列的通项公式；
(Ⅲ)结合指数函数的增长速度比一次函数的增长速度快，利用放缩法结合等比数列前n项和公式即可证得题中的结论.
【详解】
(Ⅰ)由方程an+1=f(an)得,
解得an=0,或an=−1,或an=1.
(Ⅱ)，
，
两式相除得，据此可得，
由可以得到，则，
又，得.
故数列是以为首项，3为公比的等比数列.
.
从而.
(Ⅲ)对于任意，，
从而.
64．数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2n．
（1）求证数列{an+2n}是等比数列；
（2）证明：对一切正整数n，有1a1+1a2+…+1an2n(n≥2)，所以1an