高中人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质第二课时导学案

这是一份高中人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质第二课时导学案，共6页。学案主要包含了学习目标，问题探究等内容，欢迎下载使用。


题型 1利用奇偶性求函数的解析式
例1 (1)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2－1.
当x<0时，求f(x)的解析式．
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．
一题多变 将本例(1)中条件改为“已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤ 0时，f(x)＝x2＋2x”
求f(x)的解析式．
题后师说
1．利用函数奇偶性求函数解析式的一般步骤

2．已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解．
跟踪训练1 已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－.
求f(x)的解析式．
题型 2利用函数奇偶性与单调性比较大小
【问题探究】 如果奇函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？
例2 已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)且对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，在下列不等式中，一定成立的是( )
A．f(－1)>f(－2) B．f(－1)C．f(－2)>f(1) D．f(－2)题后师说
利用奇偶性与单调性比较大小的2种策略
跟踪训练2 设函数y＝f(x) 是R上的偶函数，在[0，＋∞)上是减函数，则f(－)，f(π)，f(－3) 的大小关系为( )
A．f(π)>f(－3)>f(－)
B．f(－3)>f(－)>f(π)
C．f(－)>f(－3)>f(π)
D．f(π)>f(－)>f(－3)
题型 3利用函数的奇偶性与单调性解不等式
例3 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对于任意不等实数x1，x2∈[ 0，＋∞)，不等式<0恒成立，求不等式f(2x)>f(x－1)的解集．
一题多变 将本例条件“奇函数”改为“偶函数”，其它条件不变，求不等式f(2x)>f(x－1)的解集．
题后师说
利用奇偶性与单调性解不等式的步骤
跟踪训练3 已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，则实数a的取值范围是________．
随堂练习
1.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝xB．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝
2．已知偶函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，f(x)＝( )
A．－x2＋x B．－x2－x
C．x2＋x D．x2－x
3．若偶函数f(x)在(－∞，－1]上单调递减，则( )
A．f(－2.5)B．f(－1)C．f(3)D．f(3)4．已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数且为增函数，则不等式f课堂小结
1.掌握利用奇偶性求函数解析式的方法．
2．利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．
第2课时 奇偶性的应用
例1 解析：(1)当x<0时，－x>0，
由于f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－x)＝－2(－x)2－1＝－2x2－1＝－f(x)，
即f(x)＝2x2＋1(x＜0)．
(2)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2. ①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2， ②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
一题多变 解析：当x>0，则－x<0，所以f(－x)＝x2－2x，
因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)，
所以x>0时，f(x)＝x2－2x，
所以f(x)＝
跟踪训练1 解析：因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－，
所以f(x)＝，即f(x)＝－.
问题探究 提示：奇函数在(1，2)上单调递减，偶函数在(1，2)上单调递增．
例2 解析：对任意两个不相等的正实数x1，x2，x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)可得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，即f(x)在(0，＋∞)单调递增，
所以f(1)因为f(x)是定义域为(－∞，0)的奇函数，
且f(1)＝－f(－1)，f(2)＝－f(－2)，
所以－f(－1)<－f(－2)即f(－1)>f(－2)，故选A.
答案：A
跟踪训练2 解析：函数y＝f(x)是R上的偶函数，在[0，＋∞)上是减函数，
可得f(－x)＝f(x) ，
所以f(－)＝f()，f(－3)＝f(3) ，
由<3<π ，可得f()>f(3)>f(π)，
即有f(－)>f(－3)>f(π)，故选C.
答案：C
例3 解析：因为对于任意不等实数x1，x2∈[ 0，＋∞)，不等式<0恒成立，
所以f(x)在[ 0，＋∞)上递减，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x)在R上单调递减，所以2x一题多变 解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，
且f(2x)>f(x－1)，
所以f(|2x|)>f(|x－1|)，
又因为对于任意不等实数x1，x2∈[0，＋∞)，不等式<0恒成立，
所以f(x)在[ 0，＋∞)上递减，
所以|2x|<|x－1|，
解得－1所以不等式的解集为.
跟踪训练3 解析：由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1，1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)又f(x)在[－1，1]上单调递减，
∴解得
∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0，1)．
答案：[0，1)
[随堂练习]
1．解析：AD选项为奇函数，故AD错；
B选项为偶函数，当x>0时，y＝x＋1，单调递增，故B正确；
C选项为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递减，故C错．故选B.
答案：B
2．解析：当x<0 ，则－x>0 ，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x，
又f(x)为偶函数，∴当x< 0时，f(x)＝f(－x)＝x2－x.
故选D.
答案：D
3．解析：f(x)是偶函数，所以f(－2.5)＝f(2.5)，f(－1)＝f(1)，
f(x)在(－∞，－1]上单调递减，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以f(1)故选B.
答案：B
4．解析：∵f(x)为定义在[－1，1]上的增函数，
∴，解得0≤x<，
∴不等式f答案：[0，)