高中数学人教版新课标A必修13.2.2函数模型的应用实例导学案及答案

3．2.2　奇偶性

授课提示：对应学生用书第42页

[教材提炼]

知识点　函数奇偶性的定义

(1)函数f(x)＝x2的图象有什么对称性？

(2)函数f(x)＝的图象有什么对称性？　　　

知识梳理　(1)一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(even function)．偶函数的图象关于y轴对称，反之成立．

(2)一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)．奇函数的图象关于原点对称，反之成立．

[自主检测]

1．下列函数为奇函数的是(　　)

A．y＝|x|　　　　　　　　 B．y＝3－x

C．y＝  D．y＝－x2＋14

答案：C

2．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为(　　)

A．－2  B．2

C．0  D．不能确定

答案：B

3．若点(－1,3)在奇函数y＝f(x)的图象上，则f(1)等于(　　)

A．0  B．－1

C．3  D．－3

答案：D

4．已知f(x)是偶函数，且f(2)＝2，则f(2)＋f(－2)＝________.

答案：4

授课提示：对应学生用书第42页

探究一　函数奇偶性的判断

[例1]　判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x4＋2x2；

(2)f(x)＝x3＋；

(3)f(x)＝＋；

(4)f(x)＝

(5)f(x)＝.

[解析]　(1)∵f(x)的定义域为R，关于原点对称，

又f(－x)＝(－x)4＋2(－x)2＝x4＋2x2＝f(x)，

∴f(x)为偶函数．

(2)∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，它关于原点对称，

又f(－x)＝(－x)3＋＝－＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数．

(3)∵f(x)的定义域为{－1,1}，

是两个具体数，但它关于原点对称，

又f(－1)＝f(1)＝0，

f(－1)＝－f(1)＝0，

∴f(x)＝＋既是奇函数，又是偶函数．

(4)函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．

①当x＞0时，－x＜0，

则f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1

＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)．

②当x＜0时，－x＞0，

则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1

＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)．

由①②知，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，

都有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

(5)由题设得：∴函数f(x)定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且x＋2>0，

∴|x＋2|＝x＋2，

∴f(x)＝＝＝，

∴f(－x)＝＝－＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数．

函数奇偶性的判定方法

(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的对称区域，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的对称区域，再判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(x)±f(－x)是否等于零，或判断是否等于±1等．

用定义判断函数奇偶性的一般步骤：

①求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称．

②用－x代x，验证是否有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，

若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；

若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；

若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；

若f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．

(2)图象法：奇(偶)函数的等价条件是它的图象关于原点(y轴)对称．

判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x3＋x5；

(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；

(3)f(x)＝.

解析：(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．

(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．

(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．

探究二　已知函数奇偶性求函数解析式

[例2]　[教材P86第11题拓展探究]

(1)已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，求f(x)在R上的解析式．

[解析]　设x<0，则－x>0，

∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x.

又y＝f(x)是定义在R上的偶函数，

∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2＋2x(x<0)．

∴f(x)＝

(2)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)的解析式．

[解析]　∵f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.

当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝－x(2＋x)＝－f(x)，

∴f(x)＝x(x＋2)．

故f(x)＝

(3)设函数y＝F(x)的定义域为[－m，m](m＞0)．

试探究y＝F(x)可否写为奇函数f(x)，与偶函数g(x)的和的形式，若能，求出f(x)与g(x)．

[解析]　设f(x)＋g(x)＝F(x)，　　①

x∈[－m，m]．

∴f(－x)＋g(－x)＝F(－x)．

又∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，

∴－f(x)＋g(x)＝F(－x)．　　②

①＋②得，

2g(x)＝F(x)＋F(－x)，

∴g(x)＝[F(x)＋F(－x)]．

①－②得，

2f(x)＝F(x)－F(－x)，

∴f(x)＝[F(x)－F(－x)]．

故F(x)可写为f(x)＋g(x)的形式．

f(x)＝[F(x)－F(－x)]，

g(x)＝[F(x)＋F(－x)]．

利用函数奇偶性求函数解析式的步骤

(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；

(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；

(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．

探究三　已知奇偶性求值或参数

[例3]　(1)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.

(2)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.

(3)设f(x)是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f(x)＝x2＋2x＋b，则f(－1)＝________.

(4)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．

[解析]　(1)∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，

即(x＋a)(x－4)＝(－x＋a)(－x－4)，

整理得，2a＝8，∴a＝4.

(2)由题意知

则

∴

当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a＋b＝0.

(3)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝b＝0，

∴f(x)＝x2＋2x(x≥0)，∴f(－1)＝－f(1)＝－(1＋2)＝－3.

(4)两式相加得g(1)＝3.

[答案]　(1)4　(2)0　(3)－3　(4)3

利用函数奇偶性求参数值的方法

(1)此类问题应充分运用奇(偶)函数的定义，构造函数，从而使问题得到快速解决．

(2)在定义域关于原点对称的前提下，若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数；若解析式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数．

(3)利用奇偶性求参数值时，应根据x∈R等式恒成立的特征求参数．

1．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝(　　)

A．26　　　　　　　　 B．18

C．10  D．－26

解析：法一：由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，

得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx.

令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8，

∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，

∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)，

即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10，

∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26.

法二：由已知条件，得

①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16，

又f(－3)＝10，∴f(3)＝－26.

答案：D

2．已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝，求函数f(x)的解析式．

解析：∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，

∴f(0)＝0，即＝0，

∴b＝0，∴f(x)＝.

又∵f＝＝a＝，

∴a＝1，

∴函数f(x)的解析式为f(x)＝.

授课提示：对应学生用书第43页

一、单调性与奇偶性珠联璧合的妙用

(1)将函数的奇偶性与单调性相结合，可知：

①奇函数在(－b，－a)和(a，b)上有相同的单调性．

②偶函数在(－b，－a)和(a，b)上有相反的单调性．

这里，区间(－b，－a)和(a，b)都在函数定义域内．

因此，若函数具有奇偶性，研究单调性或最值或作图象等问题，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得．

(2)研究函数的单调性、奇偶性必须在定义域上进行，如果没有给出定义域，则需先求出．

[典例]　设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．

[解析]　因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数，

所以f(x)在[－2,2]上是减函数．

所以不等式f(1－m)＜f(m)等价于

解得－1≤m＜.

二、由奇偶性的对称特点拓展的图象对称性

1．函数图象的轴对称

2.函数图象的中心对称

[典例]　若函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)

A．f(1)＜f＜f

B．f＜f(1)＜f

C．f＜f＜f(1)

D．f＜f(1)＜f

[解析]　∵y＝f(x＋2)是偶函数，

∴y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(1)＝f(3)．

又f(x)在(0,2)上为增函数，∴f(x)在(2,4)上为减函数，

∴f＜f(1)＜f.

[答案]　B