高中数学3.1 函数的概念及其表示第二课时学案及答案

这是一份高中数学3.1 函数的概念及其表示第二课时学案及答案，共8页。学案主要包含了学习目标，问题探究等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】 (1)通过实例了解简单的分段函数．(2)掌握分段函数的应用．
题型 1分段函数求值
【问题探究】 为了保护水资源，提倡节约用水，我市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表：
假如你家本月用了15 m3水，请你算一算你家本月交了多少水费？
例1 已知函数f(x)＝
(1)求f(f(－2))的值；
(2)若f(a)＝，求a.
一题多变 将本例中函数f(x)的解析式改为已知f(x)＝，求f(10)的值．
题后师说
(1)分段函数求值的步骤
注意：若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
(2)已知函数值求字母取值的步骤
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝，则f(－2)＝( )
A．6 B．3 C．2 D．－1
(2)已知函数f(x)＝，若f(a)＝10，则a＝________．
题型 2分段函数的图象及应用
例2 已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．
(1)分别用图象和解析式表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域，值域．
学霸笔记：分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意衔接点处点的虚实，保证不重不漏．
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝x＋的图象是( )
(2)已知函数f(x)的图象如图所示，在区间[0，4]上是抛物线的一段，求f(x)的解析式．
题型 3分段函数的实际应用
例3 “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)表示为养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当0(1)当0(2)当x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f(x)＝x·v(x)可以达到最大？并求出最大值．
学霸笔记：
分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
跟踪训练3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：①5公里以内(含5公里)，票价2元；②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里的按5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，
(1)请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式；
(2)画出该函数的图象．
随堂练习
1.函数y＝|x－1|＋1可表示为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
2．函数f(x)＝的图象是( )
3．函数f(x)＝，则f(f(3))＝( )
A．1 B．3 C．－1 D．－3
4．已知函数f(x)＝，若f(m)＝4，则m＝________．
课堂小结
1.会用解析法和图象法表示分段函数．
2．解决分段函数的求值问题．
3．能用分段函数解决生活中的问题．
第2课时 分段函数
问题探究 提示：3×12＋3×6＝54(元)．
例1 解析：(1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f(f(－2))＝f(－1)＝2.
(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，∴a＝±∈[－1，1]；
当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±.
一题多变 解析：由题知，f(10)＝f(10－3)＝f(7)，f(7)＝f(7－3)＝f(4)，f(4)＝f(4－3)＝f(1)，f(1)＝f(1－3)＝f(－2)，f(－2)＝3×(－2)2－5＝7，∴f(10)＝7.
跟踪训练1 解析：(1)由题意，
在f(x)＝中，
f(－2)＝|－2|＋1＝3.故选B.
(2)当a≤0时，由f(a)＝a2＋1＝10可得a＝－3；
当a>0时，由f(a)＝－2a<0，此时f(a)＝10无解．
综上所述，a＝－3.
答案：(1)B (2)－3
例2 解析：(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.
令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.
结合图②，得出φ(x)的解析式为
φ(x)＝
(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，
φ(1)＝1，
∴φ(x)的值域为(－∞，1].
跟踪训练2 解析：(1)依题意，原函数化为：f(x)＝ ，其定义域为{x∈R|x≠0}，
显然当x>0时，图象是经过点(0，1)的直线y＝x＋1在y轴右侧部分，
当x<0时，图象是是经过点(0，－1)的直线y＝x－1在y轴左侧部分，
根据一次函数图象知，符合条件的只有选项B.故选B.
(2)由图可知，当x<0时，f(x)＝3，
当0≤x≤4时，设f(x)＝a(x－2)2－1(a≠0)，
把点(1，0)代入得a－1＝0，解得a＝1，
所以f(x)＝(x－2)2－1，
当x>4时，设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
把(4，3)，(5，0)代入得，
，解得，
所以f(x)＝－3x＋15，
所以f(x)＝.
答案：(1)B (2)见解析
例3 解析：(1)依题意，当0当4则，解得，
所以v(x)＝.
(2)当0当4当x＝－＝10时，f(x)取得最大值f(10)＝12.5.
因为12.5>8，所以当x＝10时，鱼的年生长量f(x)可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．
跟踪训练3 解析：(1)依题意，令x为里程数(单位：公里)，
f(x)为行驶x公里的票价(单位：元)，
当0当10所以票价与里程之间的函数关系式为f(x)＝．
(2)由(1)得函数f(x)的图象，如图：
[随堂练习]
1．解析：当x<1时，y＝1－x＋1＝2－x，当x≥1时，y＝x－1＋1＝x，即y＝，A，B，C都不正确，D正确．故选D.
答案：D
2．解析：∵f(x)＝＝，∴C选项图象满足．故选C.
答案：C
3．解析：因为f(x)＝，则f(3)＝－＝－1，
故f(f(3))＝f(－1)＝－1－2＝－3.故选D.
答案：D
4．解析：根据题意，函数f(x)＝，若f(m)＝4，
则有 或，
解可得：m＝2.
答案：2
每户每月用水量
水价
不超过12 m3的部分
3元/m3
超过12 m3的部分但不超过18 m3的部分
6元/m3
超过18 m3的部分
9元/m3