初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数优秀精练

这是一份初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数优秀精练，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是
( )
A. 55
B. 105
C. 2
D. 12
2.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正形的顶点上，则cs∠BAC的值为
( )
A. 43
B. 34
C. 35
D. 45
3.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为
( )
A. 43B. 34C. 35D. 45
4.如图，在△ABC中，sinB=13，tanC=2，AB=3，则AC的长为( )
A. 2
B. 52
C. 5
D. 2
5.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则(sinθ−csθ)2=( )
A. 15B. 55C. 3 55D. 95
6.如图，大楼AB的右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B、C、E在同一水平直线上).已知AB=80 m，DE=10 m，则障碍物B、C两点间的距离是
( )
A. 50 mB. (70−10 3)mC. (70+10 3)mD. 70−10 33m
7.如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cs∠BAC的值是( )
A. 55B. 105C. 2 55D. 45
8.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均在格点上，则cs∠BAC的值是( )
A. 55B. 105C. 2 55D. 45
9.如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为( )
A. 4 3米B. 6 5米C. 12 5米D. 24米
10.若 3tan(α+10∘)=1，则锐角α的度数是
( )
A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°
11.在RT△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，csA=34，那么AB的长是( )
A. 52B. 83C. 103D. 23 7
12.如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，AC⊥CD，若tan∠CAD=13，则对角线BD长的最大值是
( )
A. 1+ 10B. 1+2 10C. 1+3 104D. 1+4 103
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A= 33，那么cs∠B=______．
14.正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为______．
15.已知等腰三角形的底边和底边上的高分别是方程x2−10x+24=0的两个根，则底角的正弦值是 ．
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
先化简，再求值：
(2xx2−4−1x+2)÷x2−2xx2−4x+4，其中x=|−2sin60°|．
18.(本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．
(1)求证：△ABF∽△BEC；
(2)若AD=5，AB=8，sinD=45，求AF的长．
19.(本小题8.0分)
如图，已知钝角△ABC．
(1)过钝角顶点B作BD⊥AC，交AC于点D(使用直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)若BC=8，∠C=30°，sinA=25，求AB的长．
20.(本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AB=AD=20，BC=DC=10 2．
(1)求证：△ABC≌△ADC；
(2)当∠BCA=45°时，求∠BAD的度数．
21.(本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2)，B(4,0)，C(4,−4)．
(1)请以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A1B1C1，请在图中y轴右侧画出△A1B1C1；
(2)点P(a,b)为△ABC内一点，请直接写出点P位似变换后的对应点P′的坐标为
(3)△ABC的外接圆圆心坐标为 ，△ABC的外接圆半径为
(4)请直接写出∠C1A1B1的正切值为
22.(本小题8.0分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
(1)试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3 3，DF=3，求图中阴影部分的面积．
23.(本小题8.0分)
如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若BD= 3，BE=1.求阴影部分的面积．
24.(本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=6，AD=10，AC=8．
(1)求∠BAC的度数；
(2)设∠ABD=α求sin α的值．
25.(本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接CD，过点A作AG//DC，过点C作CG/​/DA，AG与CG相交于点G．
(1)求证：四边形ADCG是菱形；
(2)若AB=10，tan∠CAG=34，求BC的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查勾股定理及其逆定理，锐角三角函数的定义及运用，构造直角三角形是本题的关键．
连接BD.先利用勾股定理逆定理证明△ABD为直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
【解答】
解：连接BD．
则BD= 2，AD=2 2，AB= 10，
∵BD2+AD2=10=AB2，
∴△ABD为直角三角形，
则tanA=BDAD= 22 2=12．
故选：D．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．过C作CD⊥AB于D，首先根据勾股定理求出AC，然后在Rt△ACD中即可求出sin∠BAC的值．
【解答】
解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，
∴AC= AD2+CD2= 32+42=5．
∴cs∠BAC=ADAC=35．
故选C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的运用以及解锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
过C作CD⊥AB于D，首先根据勾股定理求出AC，然后在Rt△ACD中即可求出sin∠BAC的值．
【解答】
解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，
∴AC= AD2+CD2= 32+42=5．
∴sin∠BAC=CDAC=45．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．过A作AD⊥BC于D，则∠ADC=∠ADB=90°，根据已知求出AD=2DC，AB=3AD，求出AD、CD的长，根据勾股定理求出AC即可．
【解答】
解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADC=∠ADB=90°，
∵tanC=2=ADDC，sinB=13=ADAB，
∴AD=2DC，AB=3AD，
∵AB=3，
∴AD=1，DC=12，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AC= AD2+DC2= 12+(12)2= 52，
故选：B．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义，正方形的面积，难度适中．
根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为5 5，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
【解答】
解：∵大正方形的面积是125，小正方形的面积是25，
∴大正方形的边长为5 5，小正方形的边长为5，
∴5 5csθ−5 5sinθ=5，
∴csθ−sinθ= 55，
∴(sinθ−csθ)2=15．
故选：A．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H.通过解直角△AFD得到DF的长度；通过解直角△DCE得到CE的长度，则BC=BE−CE．
【解答】
解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．
则DE=BF=CH=10m，
在直角△ADF中，∵AF=80m−10m=70m，∠ADF=45°，
∴DF=AF=70m．
在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，
∴CE=
=10 33=10 3(m)，
故选：B．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查网格中的锐角三角函数和勾股定理逆定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
延长AC到D，连接BD，由网格可得AD2+BD2=AB2，即得∠ADB=90°，然后根据三角函数的定义求解即可．
【解答】
解：延长AC到D，连接BD，如图：
∵AD2=20，BD2=5，AB2=25，
∴AD2+BD2=AB2，
∴∠ADB=90°，
∴cs∠BAC=ADAB= 20 25=2 55，
故选C．
8.【答案】C
【解析】如图，延长AC到D，连接BD，
∵AD2=22+42=20，BD2=12+22=5，AB2=32+42=25，
∴AD2+BD2=AB2，
∴∠ADB=90∘，∴cs∠BAC=ADAB= 20 25=2 55.故选C．
9.【答案】B
【解析】如图，过B作BE⊥AD于点E．∵斜面坡度为1:2，AE=12米，∴BE=6米.在Rt△ABE中，AB= AE2+BE2= 122+62=6 5(米).故选B．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查特殊角的三角函数值，掌握几种特殊角的三角函数值是解题关键.先得出α+10°的度数，再求α即可．
【解答】
解：∵ 3tan (α+10∘)=1，
∴tan(α+10°)= 33，
∴α+10°=30°，
∴α=20°．
故选A．
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据csA=ACAB=34，求出AB即可．
【解答】
解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=2，
又∵csA=ACAB=34，
∴AB=83，
故选：B．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
在AB的下方过点B作BE⊥AB，使得BE=13AB=1，连接AE，DE，求出AE的长，证明△ABE∽△ACD，进而证明△BAC∽△EAD，利用相似三角形的性质得出ABAE=BCED，求出ED的长，然后根据三角形的三边关系得出BD≤BE+ED，得出对角线BD长的最大值．
【解答】
解：如图，在AB的下方过点B作BE⊥AB，使得BE=13AB=1，连接AE，DE，
则AE= 32+12= 10，
∵tan∠CAD=13，
∴CDAC=13=BEAB，
∵∠ABE=∠ACD=90∘，
∴△ABE∽△ACD，
∴∠BAE=∠CAD，ABAE=ACAD，
∴∠BAC=∠EAD，
∴△BAC∽△EAD，
∴ABAE=BCED，
∴3 10=4ED，
∴ED=4 103，
∴BD≤BE+ED=1+4 103，
即BD的最大值为1+4 103．
故选D．
13.【答案】12
【解析】【分析】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值得出∠A=30°，进而得出∠B的度数，进而得出答案．
【解答】
解：∵tan∠A= 33，
∴∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠B=180°−30°−90°=60°，
∴cs∠B=12．
故答案为12．
14.【答案】2
【解析】【分析】
根据正切定义，进行计算即可．
此题主要考查了正切定义，关键是正确掌握三角函数的定义．
【解答】
解：如图，过点C作CD⊥OB于点D，
由图可知，∠AOB=∠COD，
tan∠AOB=CDDO=2，
故答案为：2．
15.【答案】31010或45
【解析】解：方程x2−10x+24=0，
分解因式得：(x−4)(x−6)=0，
解得：x=4或x=6，
当4为底边，6为底边上的高，此时底角的正弦值为662+22=31010；
当6为底边，4为底边上的高，此时底角的正弦值为442+32=45.
故答案为：31010或45.
利用因式分解法求出已知方程的解，确定出底边与高，即可求出底角的正弦值．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，等腰三角形的性质，以及解直角三角形，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
16.【答案】5485
【解析】【分析】
本题考查解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
如图，过点F作FH⊥AC于点H.首先证明FH：AH=2：3，设FH=2k，AH=3k，根据tan∠FCH=FHCH=ADCD，构建方程求解即可．
【解答】
解：如图，过点F作FH⊥AC于点H．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= CB2+AC2= 42+32=5，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC=12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅CD，
∴CD=125，AD= AC2−CD2= 32−(125)2=95，
∵∠ACB=90°，FH⊥AC，
∴FH/​/EC，
∴FHEC=AHAC，即FHAH=ECAC，
∵EC=EB=12BC=2，
∴FHAH=23，
设FH=2k，AH=3k，则CH=3−3k，
∵tan∠FCH=FHCH=ADCD，
∴2k3−3k=95125，
∴k=917，
∴FH=1817，CH=3−2717=2417，
∴CF= CH2+FH2= (1817)2+(2417)2=3017，
∴DF=CD−CF=125−3017=5485，
故答案为：5485．
17.【答案】解：(2xx2−4−1x+2)÷x2−2xx2−4x+4
=2x−(x−2)(x+2)(x−2)⋅(x−2)2x(x−2)
=x+2(x+2)(x−2)⋅x−2x
=1x，
当x=|−2sin60°|=|−2× 32|= 3时，原式=1 3= 33．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AD//BC，AD=BC，
∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，
∵∠AFB+∠AFE=180°，
∴∠C=∠AFB，
∴△ABF∽△BEC；
(2)解：∵AE⊥DC，AB//DC，
∴∠AED=∠BAE=90°，
在Rt△ADE中，AE=AD⋅sinD=5×45=4，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE= AE2+AB2= 42+82=4 5，
∵BC=AD=5，
由(1)得：△ABF∽△BEC，
∴AFBC=ABBE，即AF5=84 5，
解得：AF=2 5．
【解析】(1)由平行四边形的性质得出AB/​/CD，AD//BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，证出∠C=∠AFB，即可得出结论；
(2)由三角函数求出AE，由勾股定理求出BE，再由相似三角形的性质求出AF的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，线段BD即为所求．
(2)在Rt△BCD中，
∵BC=8，∠C=30°，
∴BD=BC⋅sin30°=4，
在Rt△ABD中，
AB=BDsin A=425=10．

【解析】本题考查的是利用尺规作图作垂线和解直角三角形，掌握垂直平分线的作法以及利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．
(1)根据过一点作已知直线的垂线的作法作图即可；
(2)先在Rt△BCD中求出BD，再在Rt△ABD中，根据AB=BDsin A=425=10，即可得出答案．
20.【答案】解：(1)证明：在△ABC和△ADC中，
AB=ADBC=DCAC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)；
(2)过点B作BE⊥AC于点E，如图所示，
∵∠BCA=45°，BC=10 2，
∴sin∠BCA=sin45°=BEBC=BE10 2= 22，
∴BE=10，
又∵在Rt△ABE中，AB=20，BE=10，
∴∠BAE=30°，
又∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAD=∠BAE+∠DAC=2∠BAE=2×30°=60°．
【解析】(1)根据已知条件利于SSS即可求证△ABC≌△ADC；
(2)过点B作BE⊥AC于点E，根据已知条件利于锐角三角函数求出BE的长，再根据Rt△ABE边的关系即可推出∠BAC的度数，从而求出∠BAD的度数．
本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及能结合三角函数进行正确计算是解题的关键．
21.【答案】 解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)(12a,12b)；
(3)(0,−2)；2 5；
(4)12．
【解析】【分析】
本题考查了位似变换作图，解决本题的关键是掌握画位似变换图形的一般步骤．
(1)根据画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；
②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；
③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；
④顺次连接上述各点，即可得到放大或缩小的图形．
(2)根据(1)的条件，即可写出点P位似变换后的坐标；
(3)外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点，AB和BC的垂直平分线的交点即为圆心的位置，再利用勾股定理可求解半径；
(4)求出∠A1OC1=90°，OA1= 2，OC1=2 2，A1B1//OC1，由平行线的性质及正切的定义可求解．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)根据位似比为12，可得点P位似变换后的对应点P′的坐标为P′(12a,12b)，
故答案为 (12a,12b)；
(3)根据网格的特点作AB和BC的垂直平分线相交于点D(0,−2)，点D即为△ABC的外接圆的圆心，连接BD，如下图所示：
根据勾股定理可得⊙D的半径为：BD= 22+42= 20=2 5，
即△ABC 的外接圆圆心坐标为(0,−2)，△ABC 的外接圆半径为2 5，
故答案为(0,−2)；2 5；
(4)根据勾股定理得，OA1= 2，OC1=2 2，
∵∠A1OB1=∠B1OC1=45°，
∴∠A1OC1=90°，
根据网格的特点得A1B1//OC1，
∴tan∠C1A1B1=tan∠OC1A1=OA1OC1= 22 2=12，
故答案为12．
22.【答案】解：(1)DE与⊙O相切，
理由：连接DO，
∵DO=BO，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠EBD=∠DBO，
∴∠EBD=∠BDO，
∴DO/​/BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠EDO=90°，
∴DE与⊙O相切；
(2)∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，
∴DE=DF=3，
∵BE=3 3，
∴BD= 32+(3 3)2=6，
∵sin∠DBF=36=12，
∴∠DBA=30°，
∴∠DOF=60°，
∴sin60°=DFDO=3DO= 32，
∴DO=2 3，
则FO= 3，
故图中阴影部分的面积为：60π×(2 3)2360−12× 3×3=2π−3 32．
【解析】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出DO的长是解题关键．
(1)直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；
(2)利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．
23.【答案】解：(1)如图，过点O作OF⊥AC，垂足为点F，连接OD，OA，

∵△ABC是等腰三角形，点O是底边BC的中点，
∴AO平分∠BAC，
∵AB是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
又∵OF⊥AC，
∴OF=OD，
即OF是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
(2)∵AB=AC，点O为BC的中点，
∴AO⊥BC，
∵OD=OF，∠ADO=∠AFO=90°，AO=AO，
∴△AOD≌△AOF，
在Rt△BOD中，设OD=OE=x，则OB=x+1，
由勾股定理，得(x+1)2=x2+( 3)2，
解得x=1，即OD=OE=1，
∵tan∠BOD=BDOD= 3，
∴∠BOD=60∘，
∴∠AOD=90∘−∠BOD=30∘，
∴∠DOF=60∘，AD=OD⋅tan∠AOD= 33，
∴S阴影=S四边形ADOF−S扇形DOF，
=2×12AD⋅OD−60360π×12，
= 33−π6，
=2 3−π6．
【解析】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义等知识．
(1)过点O作OF⊥AC，垂足为点F，连接OD，OA，根据等腰三角形的“三线合一”可得AO平分∠BAC，利用角平分线的性质得到OD=OF，得到OF是半径，即可得到结论；
(2)设OD=OE=x，则OB=x+1，利用勾股定理得到OD=OE=1，根据tan∠BOD=BDOD= 3，得到∠BOD=60°，进而得到∠DOF=60°，AD的值，证明△AOD≌△AOF，可得四边形ADOF的面积是△AOD面积的2倍，根据S阴影=S四边形ADOF−S扇形DOF求得结论．
24.【答案】解：(1)∵AB=6，AD=BC=10，AC=8，
又∵AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠BAC=90°；
(2)∵AC=8，AB=6，∠ABD=α
∴AO=4，
∴BO= AB2+AO2=2 13，
∴sinα=AOBO=42 13=2 1313．
【解析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
(1)根据勾股定理逆定理，可得到△ABC为直角三角形，进而得出∠BAC=90°；
(2)在Rt△ABO中，利用勾股定理可得到BO的长，进而根据锐角三角函数定义可得到sin α的值．
25.【答案】(1)证明：∵AG//DC，CG/​/DA，
∴四边形ADCG是平行四边形，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边的中点，
∴AD=CD=12AB，
∴四边形ADCG是菱形；
(2)解：∵四边形ADCG是菱形，
∴∠BAC=∠CAG，
∴tan∠CAG=tan∠BAC=BCAC=34，
∴设BC=3x，AC=4x，
∴AB=5x=10，
∴x=2，
∴BC=3x=6．
【解析】本题考查了菱形的判定和性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
(1)根据直角三角形的性质和菱形的判定定理即可得到结论；
(2)根据菱形的性质得到∠BAC=∠CAG，设BC=3x，AC=4x，根据勾股定理即可得到结论．DE
tan30°