数学九年级下册27.1 图形的相似精品达标测试

这是一份数学九年级下册27.1 图形的相似精品达标测试，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列图形中，是相似形的是
( )
A. 所有平行四边形B. 所有矩形C. 所有菱形D. 所有正方形
2.两个相似多边形的一组对应边的长分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为
( )
A. 23B. 32C. 49D. 94
3.下列各组种的四条线段成比例的是( )
A. 3cm、5cm、6cm、9cmB. 3cm、5cm、8cm、9cm
C. 3cm、9cm、10cm、30cmD. 3cm、6cm、7cm、9cm
4.如果2x=3yy≠0，那么下列各式正确的是( )
A. x2=y3B. 2y=3xC. x3=2yD. xy=23
5.若ba=25，则a−ba+b的值为( )
A. 14B. 37C. 35D. 73
6.若ab=cd=ef=13，则3a−2c+e3b−2d+f的值为( )
A. 13B. 1C. 1.5D. 3
7.若4m=5n(m≠0)，则下列等式成立的是( )
A. m4=n5B. m4=5nC. mn=45D. mn=54
8.已知ab=25，则a+bb的值为( )
A. 25B. 35C. 75D. 23
9.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为( )
A. 12.36cmB. 13.6cmC. 32.36cmD. 7.64cm
10.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点(AP>BP)，若线段AB的长为6cm，则AP的长约为
( )
A. 3.71cmB. 4.14cmC. 4.32cmD. 4.86cm
11.已知点C把线段AB黄金分割，且ACPB)，如果AB的长度为10 cm，那么PB的长度为________cm(结果保留根号)
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
已知x2=y3=z4，且2x+3y−z=18，求x+y+z的值．
18.(本小题8.0分)
已知a，b，c为△ABC的三边，a+43=b+32=c+84，且a+b+c=12，求△ABC的面积．
19.(本小题8.0分)
如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．

(1)∠D′的度数为______ ，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为______ ；
(2)分别求边BC与边CD的长度．
20.(本小题8.0分)
(1)已知线段a=2，b=6，求线段a，b的比例中项线段c的长．
(2)已知x：y=3：2，求2x−yx的值．
21.(本小题8.0分)
如果是我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法(如图)：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM和线段BN．
(1)求∠3的度数：
(2)在第(1)题图中，延长BN交AD于G，过G点作GH⊥BC于点H，得出一个以DG为宽的黄金矩形GHCD(黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为 5−12)，若已知AB=4，求BC的长．
22.(本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有且AD>BD，求∠A的度数．
23.(本小题8.0分)
(1)已知a=9，c=4，若b是a，c的比例中项，求b的值；
(2)如图，点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，已知AB=2，求AC的长．
24.(本小题8.0分)
如图，已知矩形ABCD和矩形A′B′C′D′，AB=8cm，BC=12cm，A′B′=4cm，B′C′=6cm．
(1)求A′B′AB和B′C′BC的值;
(2)线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段吗?
25.(本小题8.0分)
我们知道：如图 ①，点B把线段AC分成两部分，如果BCAB=ABAC，那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为 5−12．
(1)在图 ①中，若AC=20cm，则AB的长为 cm．
(2)如图 ②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B的对应点为H，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点．
(3)如图 ③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取一点E(AE>DE)，连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，连接EF，延长EF，CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E，F恰好分别是AD，AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查相似变换的定义有关知识．
根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】
解：A.所有平行四边形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
B.所有矩形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
C.所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
D.所有正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似定义，故正确．
故选D．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查相似多边形相似比的定义：相似多边形对应边的比叫做相似比．根据相似多边形对应边的比叫做相似比即可求解．
【解答】
解：∵两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，
∴它们的相似比为34.5=69=23.
故选A．
3.【答案】C
【解析】【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．
【详解】解：A. 3×9≠5×6 ，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；
B. 3×9≠5×8 ，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；
C. 3×30=9×10 ，所以四条线段成比例，故C选项符合题意；
D. 3×9≠6×7 ，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义，两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
4.【答案】B
【解析】【分析】根据比例的性质解答即可．
【详解】解：A、由 x2=y3 可得 3x=2y ，与已知条件不符，不符合题意；
B、由 2y=3x 可得 2x=3y ，与已知条件相符，符合题意；
C、由 x3=2y 可得 xy=6 ，与已知条件不符，不符合题意；
D、由 xy=23 可得 3x=2y ，与已知条件不符，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟知两内项之积等于两外项之积是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：因为ba=25，
所以b=25a，
把b=25a代入，则a−ba+b=a−25aa+25a=37，
故选：B．
根据比例的性质解答即可．
此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质代入解答．
6.【答案】A
【解析】解：∵ab=cd=ef=13，
∴3a3b=−2c−2d=ef=13，
∴3a−2c+e3b−2d+f=13，
故选：A．
利用等比性质，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了比例的性质，正确掌握比例的基本性质是解题关键．直接利用比例的性质得出m，n之间关系进而得出答案．
【解答】
解：A.由m4=n5得5m=4n，故此项等式不成立；
B.由m4=5n得mn=20，故此项等式不成立；
C.由mn=45得5m=4n，故此项等式不成立；
D.由mn=54得4m=5n，故此项等式成立，
故选D．
8.【答案】C
【解析】解：∵ab=25，
∴设a=2x，则b=5x，
∴a+bb=2x+5x5x=75．
故选：C．
直接用同一未知数表示出a，b的值，进而代入化简即可．
此题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数表示出各数是解题关键．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查黄金分割的概念.把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值( 5−12)叫做黄金比．
【解答】
解：设书的宽为xcm，则由题意得：
20+x20=20x，
解之得：x≈12.36，
所以宽约为12.36cm，
故选A．
10.【答案】A
【解析】解：∵P是AB的黄金分割点(AP>BP)，线段AB的长为6cm，
∴APAB≈0.618，
∴AP≈0.618×6≈3.71(cm)，
故选：A．
根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且CB>AC，
∴ACBC=BCAB，
∴CB2=AC⋅AB．
故选：B．
根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值( 5−12)叫做黄金比，从而得出答案．
本题主要考查了黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，难度适中．
12.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了黄金分割、等腰三角形的性质有关知识，根据黄金三角形的腰与底的比值即可求解．
【解答】
解：∵在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=36°，
∴AD=BD，
∴∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴△ABC和△BDC都是顶角为36°的等腰三角形，
∵顶角为36°的等腰三角形为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为 5−12，
∴DCBC=BCAC= 5−12，
即CD2=BCAC= 5−12，
∴CD= 5−1，
故选A．
13.【答案】(10 5−10)
【解析】【分析】
本题考查了黄金分割点，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键．
由黄金分割点的定义得AC= 5−12AB，再代入AB的长计算即可．
【解答】
解：∵点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，AB=20米，
∴AC= 5−12AB= 5−12×20=(10 5−10)(米)，
故答案为：(10 5−10)．
14.【答案】54cm2
【解析】【分析】
本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比；相似多边形的对应角相等，对应边的比相等；相似多边形面积的比等于相似比的平方．
根据新的矩形的长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同得到得60+2b90+2a=6090，根据新矩形的面积比原风景画的面积大44%得到(60+2b)(90+2a)=60×90×(1+44%)，然后解关于a、b的方程组求出a和b的值，在计算ab即可．
【解答】
解：根据题意得
60+2b90+2a=6090，解得2a=3b，
∴a=32b，
∵(60+2b)(90+2a)=60×90×(1+44%)，
整理得30a+45b+ab−594=0，
把a=32b代入得30⋅32b+45b+32b⋅b−594=0，
整理得b2+60b−396=0，解得b1=6，b2=−66(舍去)，
∴a=32×6=9，
∴ab=9×6=54(cm2).
故答案为54cm2．
15.【答案】 5−1
【解析】【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得 AEBE=BEAB= 5−12 ，代入数值得出答案．
【详解】∵点E是AB的黄金分割点，
∴ AEBE=BEAB= 5−12 ．
∵AB=2米，
∴ BE=( 5−1) 米．
故答案为：( 5−1 )．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．
16.【答案】15−5 5
【解析】【分析】
本题考查了比例线段，黄金分割的概念， 先利用黄金分割的定义计算出AP，然后计算AB−AP即得到PB的长．
【解答】
解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，
∴AP= 5−12AB= 5−12×10=5 5−5，
∴PB=AB−PA=10−5 5−5=15−5 5cm，
故答案为15−5 5．
17.【答案】解：设x2=y3=z4=k，则x=2k，y=3k，z=4k，
∵2x+3y−z=18，
∴4k+9k−4k=18，
∴k=2，
∴x=4，y=6，z=8，
∴x+y+z=4+6+8=18．
【解析】设x2=y3=z4=k，得出x=2k，y=3k，z=4k，再根据2x+3y−z=18，求出k的值，然后得出x，y，z的值，从而得出x+y+z的值．
此题考查比例的性质，关键是设x2=y3=z4=k，得出k的值．
18.【答案】解：设a+43=b+32=c+84=k，
所以a=3k−4，b=2k−3，c=4k−8，
把a=3k−4，b=2k−3，c=4k−8代入a+b+c=12，
可得：3k−4+2k−3+4k−8=12，
解得：k=3，
∴a=5，b=3，c=4，
∴b2+c2=9+16=25，a2=25，
∴b2+c2=a2，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积=12bc=12×3×4=6．
【解析】根据比例的性质得出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式解答即可．
此题考查勾股定理的逆定理和三角形面积，关键是根据比例的性质得出a，b，c的值解答．
19.【答案】解：(1)48°，32；
(2)∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴ABA′B′=BCB′C′=CDC′D′=ADA′D′，
∴BC=96×8=12，CD=96×10=15．
【解析】【分析】
本题考查相似图形的性质及四边形内角和定理，解题的关键是找准对应角对应边．
(1)根据相似得到对应角相等，再根据四边形内角和定理即可得到答案；
(2)根据相似得到对应线段成比例即可得到答案．
【解答】
解：(1)∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A=∠A′=102°，∠B=∠B=90°，∠C=∠C′=120°，
∴∠D′=360°−102°−90°−120°=48°，
相似比为：ABA′B′=96=32．
故答案为：48°，32；
(2)见答案．
20.【答案】解：(1)由题意c2=ab，
∴c2=12，
∵c>0，
∴c=2 3；
(2)∵x：y=3：2．
∴可以假设x=3k，y=2k，
∴原式=6k−2k3k=43．
【解析】(1)根据比例中项的定义求解即可；
(2)设x=3k，y=2k，代入求解即可．
本题考查比例线段，解题的关键是掌握比例中项的定义，学会利用参数解决问题．
21.【答案】解：(1)如图，连接AN，

由折叠可得：∠1=∠2，AB=NB，EF垂直平分AB，
∴NA=NB，
∴AB=NA=NB，
∴△ABN为等边三角形，
∴∠ABN=60°，
∴∠1=∠2=30°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠3=∠ABC−∠NBC=90°−60°=30°；
(2)如图：

∵ABCD是矩形纸片，GH⊥BC，
∴AB=GH=DC=4，
∵黄金矩形GHCD以DG为宽，GH=4，
∴DGGH= 5−12，
∴DG=2 5−2=CH，
∵∠1=∠2=∠3=30°，
∴BG=2GH=8，
由勾股定理得BH= 82−42= 64−16=4 3，
∴BC=BH+HC=4 3+2 5−2．
【解析】(1)连接AN，先证明△ABN为等边三角形，从而∠1=∠2=30°，由等边三角形的性质及矩形的性质即可求出∠3的度数，即可得到∠1=∠2=∠3；
(2)先根据黄金矩形求出CH=2 5−2，再根据∠1=∠2=∠3得到∠3=30°，然后根据30度角的性质和勾股定理求出BH=4 3，然后作答即可．
本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，30度角的性质和勾股定理，能够根据折叠的性质证出∠1=∠2=∠3=30°是解题的关键．
22.【答案】解：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵AD=AC，
∴AD=BC，
∵点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD>BD，
∴根据黄金分割可得：AD：AB=BD：AD，
∴BD：BC=BC：BA，
∵∠B=∠B，
∴△BDC∽△BCA；
∴∠BCD=∠A，
∴∠BCD=∠B，
∵∠ADC是△BDC的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BCD=2∠B=2∠A，
∵AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC=2∠A，
∵∠A+∠ADC+∠ACD=180°，
∴∠A+2∠A+2∠A=180°，
∴∠A=36°，
∴∠A的度数为36°．
【解析】根据两边成比例夹角相等，证明两三角形相似，然后利用相似三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
23.【答案】解：(1)∵b是a，c的比例中项，
∴b2=ac=9×4=36，
∴b=±6；
(2)∵点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，
∴ACAB= 5−12，
∵AB=2，
∴AC= 5−12AB= 5−12×2= 5−1．
【解析】(1)由b是a，c的比例中项，得到b2=ac，代入即可求出答案；
(2)由黄金分割点的定义进行计算即可．
本题考查了黄金分割点的概念以及比例中项，正确运用黄金比进行计算是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵AB=8cm，BC=12cm，A′B′=4cm，B′C′=6cm，
∴A′B′AB=48=12， B′C′BC=612=12．
(2)由(1)知A′B′AB=12，B′C′BC=12，
∴A′B′AB=B′C′BC，
∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．

【解析】见答案
25.【答案】解：(1)(10 5−10)；
(2)如图，
连接GE.设BG=xcm，则GA=(20−x)cm．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠D=90∘．
由折叠的性质，得CH=BC=20cm，GH=BG=xcm，∠GHC=∠B=90∘，AE=ED=10cm．
在Rt△CDE中，
CE= ED2+CD2=10 5cm．
∴EH=(10 5−20)cm．
在Rt△GHE中，GE2=GH2+EH2=x2+(10 5−20)2;
在Rt△GAE中，GE2=AG2+AE2=(20−x)2+100，
∴x2+(10 5−20)2=(20−x)2+100，
解得x=10 5−10，
即BG=(10 5−10)cm．
∴BGAB=10 5−1020= 5−12．
∴G是AB的黄金分割点．
(3)当PB=BC时，E，F恰好分别是AD，AB的黄金分割点．
∵CF⊥BE，
∴∠BCF+∠CBE=90∘．
又∠CBE+∠ABE=90∘，
∴∠ABE=∠BCF．
∵∠A=∠ABC=90∘，AB=BC，
∴△BAE≌△CBF(ASA)．
∴AE=BF．
设AE=BF=y，
则AF=a−y．
∵AD/​/BC，
∴AE//PB．
∴AEBP=AFBF，
即ya=a−yy．
∴y2+ay−a2=0，
解得y= 5a−a2或y=− 5a−a2(舍去)．
∴BF=AE= 5a−a2．
∴AEAD=BFAB= 5−12．
∴E，F分别是AD，AB的黄金分割点．

【解析】【分析】
本题考查了翻折变换的性质，黄金分割，全等三角形的判定与性质．
(1)由黄金分割点的概念可得出答案；
(2连接GE.设BG=xcm，则GA=(20−x)cm.根据勾股定理得x2+(10 5−20)2=(20−x)2+100，求得BG=(10 5−10)cm.即BGBC= 5−12，则可得出答案；
(3)证明△ABE≌△BCF(ASA)，由全等三角形的性质得出BF=AE，证明AE//PB.得出AEBP=AFBF，则可得出答案．
【解答】
解：(1)由题意，得ABAC= 5−12，AC=20cm，
所以AB= 5−12×20=(10 5−10)cm．
(2)见答案；
(3)见答案．