北师大版数学九年级下册 期中测试卷2

这是一份北师大版数学九年级下册 期中测试卷2，共11页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，下列结论中正确的是( )
A．sin A＝eq \f(BC,AB) B．sin A＝eq \f(AB,AC) C．sin A＝eq \f(AB,BC) D．sin A＝eq \f(BC,AC)

(第1题) (第5题) (第7题)
2．直角三角形一条直角边长为8 cm，它所对的角为30°，则斜边长为( )
A．2 cm B．4 cm C．2 eq \r(3) cm D．16 cm
3．已知α为锐角，sin (α－20°)＝eq \f(\r(3),2)，则α的度数为( )
A．20° B．40° C．60° D．80°
4．下列关于二次函数y＝－2x2－3x－1的说法正确的是( )
A．它的图象开口向上
B．它的图象的对称轴是直线x＝eq \f(3,2)
C．当x＝0时，函数值是－1
D．它的图象与x轴没有交点
5．如图，CD是一个平面镜，光线从点A射出经CD上的点E反射后照射到点B，设入射角为α(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D.若AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tan α的值为( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,5)
6．反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象位于二、四象限，则二次函数y＝kx2－2x的图象可能是( )

7．如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，BE＝2，DE＝8，设∠ACE＝α，则tan α的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(4,3) C．2 D.eq \f(3,4)
8．将一条抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到新抛物线y＝2x2，这条抛物线的表达式是( )
A．y＝2(x－1)2＋2 B．y＝2(x－1)2－2
C．y＝2(x＋1)2＋2 D．y＝2(x＋1)2－2
9．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5 m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3 m．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足y＝ax2＋x＋c(a≠0)，则水流喷出的最大高度为( )
A．1 m B.eq \f(3,2) m C.eq \f(13,8) m D．2 m

(第9题) (第10题) (第15题)
10．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，对称轴为直线x＝eq \f(1,2)，经过点(2，0)．有下列说法：①abc>0；②当x1>x2>eq \f(1,2)时，y1>y2；③2a＋c＝0；④不等式ax2＋bx＋c>0的解集是－1A．①③④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④⑤
二、填空题(每题3分，共15分)
11．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AB＝10，sin A＝eq \f(2,5)，则BC＝__________．
12．将二次函数y＝(x＋1)2－1的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为________________．
13．一人乘雪橇沿坡度为1∶eq \r(3)的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(m)与时间t(s)的关系为s＝10t＋2t2，若滑到坡底的时间为4 s，则此人下降的高度为____________m.
14．已知点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝ax2－2ax＋c(a＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是________________．
15．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M－P－N上移动，其中M(－1，4)，P(3，4)，N(3，1)．若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为－3，则a－b＋c的最小值是________．
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16．(本题共2个小题，每小题5分，共10分)
(1)cs 60°＋eq \f(\r(2),2) sin 45°＋tan 30°；
(2)2sin 30°－3tan 45°·sin2 45°＋4cs 60°.
17．(6分)如图，在△ABC中，sin B＝eq \f(1,3)，tan C＝eq \f(,2)，AB＝3，求AC的长．

18.(7分)如图，抛物线y1＝x2＋bx－c经过直线y2＝x－3与坐标轴的两个交点A，B.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)当y1＜y2时，求x的取值范围．
19．(8分)有一个抛物线型的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为12 m．现将它放在如图所示的平面直角坐标系中．
(1)求这个拱形桥洞所在抛物线的表达式．
(2)一艘宽为4 m，高出水面3 m的货船，能否顺利通过此桥洞？
20．(9分)如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.
(1)求证：∠BAE＝∠DAF；
(2)若AE＝4，AF＝6，tan∠BAE＝eq \f(3,4)，求CF的长．
21．(10分)如图，某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5∶12的斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角是45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处看楼顶C的仰角是60°，CF的延长线交校门处的水平面于点D.
(1)求坡顶B的高度；
(2)求楼顶C的高度CD.
22．(12分)某商店销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y(单位：千克)和每千克的售价x(单位：元)满足一次函数关系(如图所示)，其中50≤x≤80.
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)若该商品的成本为每千克40元，商店应如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？
23．(13分)如图，抛物线y＝eq \f(1,2)x2－2x－6与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是线段OB上的一个动点(不与O，B重合)，过点P作直线PD⊥x轴交抛物线于点D，交直线BC于点E.
(1)求A，B两点的坐标及直线BC的表达式；
(2)当DE＝2PE时，求线段DE的长；
(3)在(2)的条件下，点M是抛物线上的一个动点，问在直线PD上是否存在点Q，使得以B，C，Q，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、1．D 2．D 3．D 4．C 5．A
6．A 7．D 8．A 9．D 10．C
二、11.4 12.y＝x2＋1 13.36
14．y1＝y2＞y3 15.－15
三、16.解：(1)原式＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \r(3)×eq \f(\r(3),3)
＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＋1
＝2.
(2)原式＝2×eq \f(1,2)－3×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)＋4×eq \f(1,2)
＝1－eq \f(3,2)＋2
＝eq \f(3,2).
17．解：过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，∵sin B＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(1,3)，AB＝3，
∴AD＝1.
在Rt△ACD中，∵tan C＝eq \f(AD,CD)＝eq \f(\r(2),2)，
∴CD＝eq \r(2)，
∴AC＝eq \r(AD2＋CD2)＝eq \r(12＋（\r(2)）2)＝eq \r(3).
18．解：(1)对于y2＝x－3，当y2＝0时，x＝3，
当x＝0时，y2＝－3，
∴A(3，0)，B(0，－3)．
将A(3，0)，B(0，－3)的坐标代入y＝x2＋bx－c，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9＋3b－c＝0，,－c＝－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－2，,c＝3，))
∴该抛物线的表达式为y＝x2－2x－3.
(2)当y119．解：(1)由题图可知，抛物线的顶点坐标为(6，4)，且过点(12，0)，
设抛物线的表达式为y＝a(x－6)2＋4，
则0＝a(12－6)2＋4，
解得a＝－eq \f(1,9).
即这个拱形桥洞所在抛物线的表达式为y＝－eq \f(1,9)(x－6)2＋4.
(2)当x＝eq \f(1,2)×(12－4)＝4时，y＝－eq \f(1,9)×(4－6)2＋4＝eq \f(32,9)＞3，
∴货船能顺利通过此桥洞．
20．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴∠B＋∠BAE＝90°，∠DAF＋∠D＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF.
(2)解：∵tan∠BAE＝eq \f(BE,AE)＝eq \f(3,4)，AE＝4，∴BE＝3，
∴AB＝eq \r(AE2＋BE2)＝5，
∴CD＝AB＝5，
∵∠BAE＝∠DAF，
∴tan∠DAF＝eq \f(3,4)，
在Rt△ADF中，DF＝AF·tan∠DAF＝6×eq \f(3,4)＝eq \f(9,2)，
∴CF＝CD－DF＝eq \f(1,2).
21．解：(1)过点B作BM⊥AD于M，
由题意得eq \f(BM,AM)＝eq \f(5,12)，
设BM＝5x米，则AM＝12x米，
则(12x)2＋(5x)2＝132，
解得x＝1，∴BM＝5米，
故坡顶B的高度是5米．
(2)易知DF＝BM＝5米．设CF为y米，
在Rt△CBF中，∵∠CBF＝45°，∴BF＝CF＝y米，
∴EF＝(y－4)米．
在Rt△CEF中，tan∠CEF＝eq \f(CF,EF)＝eq \r(3)，
∴eq \f(y,y－4)＝eq \r(3)，
解得y＝6＋2 eq \r(3)，
∴CD＝CF＋FD＝6＋2 eq \r(3)＋5＝11＋2 eq \r(3)(米)．
故楼顶C的高度CD为(11＋2 eq \r(3))米．
22．解：(1)设y关于x的函数表达式为y＝kx＋b，
将(50，100)，(80，40)代入得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(50k＋b＝100，,80k＋b＝40，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－2，,b＝200，))
∴y关于x的函数表达式为y＝－2x＋200.
(2)设该商店每天所获利润为w元，
则w＝(x－40)(－2x＋200)＝－2x2＋280x－8 000＝－2(x－70)2＋1 800，
∵－2＜0，
∴当x＝70时，w有最大值，最大值为1 800.
答：商店应定价为70元才能使每天获得的利润最大，最大利润是1 800元．
23．解：(1)对于y＝eq \f(1,2)x2－2x－6，
令y＝0，则eq \f(1,2)x2－2x－6＝0，
解得x1＝－2，x2＝6，
∴A(－2，0)，B(6，0)，
令x＝0，则y＝－6，
∴C(0，－6)，
设直线BC的表达式为y＝kx＋b，
将B(6，0)，C(0，－6)的坐标代入，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6k＋b＝0，,b＝－6，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝1，,b＝－6，))
∴直线BC的表达式为y＝x－6.
(2)设P(m，0)，则E(m，m－6)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(1,2)m2－2m－6))，
∴DE＝m－6－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)m2－2m－6))＝－eq \f(1,2)m2＋3m，
PE＝0－(m－6)＝－m＋6，
当DE＝2PE时，－eq \f(1,2)m2＋3m＝2(－m＋6)，
即m2－10m＋24＝0，解得m1＝4，m2＝6，
∵点P是线段OB上的一个动点(不与O，B重合)．
∴0∴DE＝－eq \f(1,2)×42＋3×4＝4.
(3)存在．由(2)知DE＝4，P(4，0)．
由题意可设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(1,2)a2－2a－6))，Q(4，c)．
根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式可得
①当BC为对角线时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xB＋xC＝xM＋xQ，,yB＋yC＝yM＋yQ，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6＋0＝a＋4，,0－6＝\f(1,2)a2－2a－6＋c，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,c＝2，))
∴Q(4，2)；
②当BM为对角线时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xB＋xM＝xC＋xQ，,yB＋yM＝yC＋yQ，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6＋a＝0＋4，,0＋\f(1,2)a2－2a－6＝－6＋c，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－2，,c＝6，))
∴Q(4，6)；
③当BQ为对角线时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xB＋xQ＝xC＋xM，,yB＋yQ＝yC＋yM，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6＋4＝0＋a，,0＋c＝－6＋\f(1,2)a2－2a－6，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝10，,c＝18，))
∴Q(4，18)；
综上，点Q的坐标为(4，2)或(4，6)或(4，18)．