专题25 特殊四边形（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用）

这是一份专题25 特殊四边形（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用），共59页。试卷主要包含了矩形，菱形，正方形等内容，欢迎下载使用。
夯实基础
一、矩形
1．矩形的定义：
（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形．
（2）矩形的定义有两个要素：①四边形是平行四边形；②有一个角是直角．二者缺一不可．
2．矩形的性质：
（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．
（2）矩形的性质可综述为：①矩形的对边平行且相等；
②矩形的对角相等且四个角都是直角；
③矩形的对角线互相平分且相等；
④矩形是轴对称图形，对边中点所确定的直线是它的对称轴，矩形有两条对称轴．
（3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等．
3．矩形的判定：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线相等的四边形是矩形．
二、菱形
1．菱形的定义：
（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形．
（2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法．
2．菱形的性质：
（1）菱形具有平行四边形的所有性质．
（2）菱形的四条边都相等．
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
（4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴．
（5）菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半．
3．菱形的判定：
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形．
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（3）四条边都相等的四边形是菱形．
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
三、正方形
1．正方形的定义：
（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：
①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）；
②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）．
（3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
2．正方形的性质：
（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地：
①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
②正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平一组对角．
（2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，
对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
3．正方形的判定：
（1）根据正方形的定义；
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）有一个角是直角的菱形是正方形；
（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
吃透考点
1．矩形
（1）矩形的两条对角线将矩形分为面积相等的四个等腰三角形．
（2）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴且对称轴都是过对边中点的直线．
（3）矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．
（4）矩形中对角线构造的等腰三角形
由于矩形的对角线相等且互相平分，所以矩形的对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形，在计算角的度数时可利用等腰三角形的性质进行解题．
2．菱形
（1）菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形．
（2）菱形是轴对称图形，它有两条对称轴且对称轴是菱形的两条对角线所在的直线．
（3）菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．
（4）菱形与“勾股定理”：
因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形．在求线段的长度时，可借助勾股定理求解．
（5）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形；
（6）三条边相等的四边形不一定是菱形．
3．正方形
（1）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
（2）正方形是轴对称图形，它有四条对称轴且对称轴分别是对边中点所在的直线和两条对角线所在的直线．
（3）正方形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．
（4）正方形与等腰三角形
由于正方形中有很多的线段相等，等腰三角形中也有很多的线段相等，所以它们联手会得到更多的等腰三角形在计算角的度数时可利用等腰三角形的性质进行求解．
4．梯形
一组对边平行，另一组对拓展边不平行的四边形叫做梯形．梯形中平行的一组对边叫做梯形的底，不平行的一组对边叫做梯形的腰．
5．直角三角形斜边上的中线的性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线．
考点1 直角三角形斜边上的中线
【例1】（2023•酒泉二模）如图，在中，，点为边的中点，，，则的长为
A．3B．4C．6D．
【答案】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出，求出，再根据勾股定理求出答案即可．
【解答】解：，点是斜边的中点，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故选：．
【变式练1】（2023•临高县校级模拟）如图，是的中线，若，，，则等于
A．4B．5C．6D．7
【答案】
【分析】首先根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得．
【解答】解：，
是直角三角形，
是的中线，
，
故选：．
【变式练2】（2023•惠城区一模）如图，在中，，为的中点，若，则
A．1B．3.5C．4D．6
【答案】
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：在中，，为中点．，
，
故选：．
【变式练3】（2023•雁塔区校级模拟）如图，中，，点为的中点，点在上，且，、相交于点，若，则等于
A．B．C．D．
【分析】求出，推出，，求出，根据三角形内角和定理求出，根据对顶角相等求出即可．
【解答】解：，是中点，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
【变式练4】（2023•琼山区校级模拟）如图，在中，，是的中点，若．则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．
【解答】解：，是的中点，
，
，
是的一个外角，
，
故选：．
【变式练5】（2023•鼓楼区校级模拟）如图，已知中，，、分别是斜边上的高和中线，则下列结论不正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据直角三角形的性质，直角三角形斜边上的高线，中线的性质逐项判定解答即可．
【解答】解：，是斜边上的中线，
，故选项正确，不符合题意；
，
分别是斜边上的高线，
，
，故选项正确，不符合题意；
，
，故选项正确，不符合题意；
只有当时，，故选项错误，符合题意．
故选：．
考点2 菱形的性质
【例2】（2023•河西区校级一模）如图，四边形是菱形，点在轴上，顶点，的坐标分别是，，则点的坐标是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】连接，，交于点，先求得菱形的边长，再求得点的坐标，根据菱形的性质，利用中点坐标公式求解即可．
【解答】解：连接，，交于点，
点，的坐标分别是，，
菱形的边长，
，
点的坐标是，
设点的坐标为，
四边形是菱形，
，解得，
，解得，
点的坐标为．
故选：．
【变式练1】（2023•雁塔区模拟）如图，在菱形中，点是对角线上一点，连接．若，且，，则的长为
A．3B．C．6D．
【答案】
【分析】连接交于，由勾股定理求出的长，由三角形面积公式求出的长，由勾股定理求出的长，由菱形的性质即可求出的长．
【解答】解：连接交于，
，
，
，，
，
四边形是菱形，
，，
的面积，
，
，
，
．
故选：．
【变式练2】（2023•成县三模）如图，菱形的对角线，交于点．过作于点．延长交于点，若，，则的值为
A．5B．C．D．
【答案】
【分析】由在菱形中，对角线、相交于点，，，可求得菱形的面积与边长，继而求得答案．
【解答】解：在菱形中，，，
，，，
，
，
即，
．
故选：．
【变式练3】（2023•唐河县模拟）如图，菱形中，过点作交于点，若，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据菱形的性质得：，，根据等腰三角形的性质可得，由菱形的对角线平分线组对角可得，最后由直角三角形的两个锐角互余可得结论．
【解答】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【变式练4】（2023•蜀山区三模）如图，菱形中，点，，分别为，，的中点，，，则菱形的面积为
A．12B．16C．20D．32
【答案】
【分析】连接、，由三角形中位线定理得，，再由菱形面积公式即可得出结论．
【解答】解：如图，连接、，
点，，分别为，，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
四边形是菱形，
，
，
故选：．
【变式练5】（2023•殷都区模拟）四边形是菱形，若，且，则菱形的面积为
A．B．C．36D．9
【答案】
【分析】过作于点，证是等腰直角三角形，得，再由菱形的性质得，即可得出结论．
【解答】解：如图，过作于点，
则，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是菱形，
，
，
故选：．
考点3 菱形的判定
【例3】（2023•灞桥区校级模拟）中，，是两条对角线，如果添如一个条件，可推出是菱形，那么这个条件可以是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可解答．
【解答】解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
当时，是菱形．
故选：．
【变式练1】（2023•西安二模）在下列条件中，能判定平行四边形为菱形的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：、，
，
平行四边形为矩形，故选项不符合题意；
、，
平行四边形为矩形，故选项不符合题意；
、，
平行四边形为菱形，故选项符合题意；
、由，不能判定平行四边形为菱形，故选项不符合题意；
故选：．
【变式练2】（2023•青浦区二模）已知平行四边形的对角线、相交于点．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据矩形的判定方法和菱形的判定方法分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【解答】解：、四边形是平行四边形，
，这是平行四边形的性质，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，
，，
，
，
平行四边形是矩形；故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；故选项符合题意；
、，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是矩形；故选项不符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•鄢陵县二模）下列条件中，能判定平行四边形是菱形的是
A．对角线互相垂直B．对角线相等
C．对角线互相平分D．有一个角是直角
【答案】
【分析】由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法正确，符合题意；
、对角线互相相等的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
、对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法错误，不符合题意；
、有一个角是直角的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
故选：．
【变式练4】（2023•襄州区模拟）如图，四边形的对角线，相交于点，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．
【解答】解：，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
、当时，四边形是矩形；故选项不符合题意；
、，
，
，
，
，
四边形为菱形，故选项符合题意；
、，
，
，
四边形是矩形；故选项不符合题意；
、当时，不能判定四边形为菱形；故选项不符合题意．
故选：．
【变式练5】（2023•商南县校级模拟）在中，添加下列条件，能判定是菱形的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据菱形的判定定理，即可求得答案．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
故选：．
考点4 菱形的判定与性质
【例4】（2023•贵州模拟）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则，两点间的距离为 2 ．
【答案】2．
【分析】连接，证四边形是菱形，得，再证是等边三角形，得，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接，
将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，
，四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
即，两点间的距离为2，
故答案为：2．
【变式练1】（2023•兴隆台区二模）如图，中，，，，点是的中点，，，则四边形的周长是 ．
【答案】．
【分析】先证明四边形是平行四边形，然后利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明四边形是菱形，进而可以解决问题．
【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
在中，
，，，
，，
，
是直角三角形，
，
点是的中点，
，
四边形是菱形，
四边形的周长．
【变式练2】（2023•盘锦一模）如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是 25 ．
【答案】25．
【分析】先证四边形平行四边形，再证四边形是菱形，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：如图，由题意得：矩形矩形，
，，，，，
四边形平行四边形，
平行四边形的面积，
，
平行四边形是菱形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
菱形的周长，
即重叠部分的四边形周长是25，
故答案为：25．
【变式练3】（2023•陇南模拟）如图，四边形的对角线相交于点，且是的中点．若，，，则四边形的面积为 24 ．
【答案】24．
【分析】根据等腰三角形的性质得到，，得到，推出四边形是菱形，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【解答】解：，点是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
四边形的面积，
故答案为：24．
【变式练4】（2023•祥云县模拟）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析过程；
（2）．
【分析】（1）先证，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
（2）由菱形的性质可得，，，，，由直角三角形的性质和勾股定理可求，的长，即可求解．
【解答】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，，
，，，，，
，，
，
，
，
（负值舍去），
，
菱形的面积．
【变式练5】（2023•东城区一模）如图，在平行四边形中，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接交于点，延长到点，在的内部作射线，使得，过点作于点．若，，求的度数及的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得，则，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，，，再证，然后由角平分线的性质得，即可得出结论．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形是菱形，
，，，，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
考点5 矩形的性质
【例5】（2023•临高县校级三模）如图，在矩形中，过的中点作，交于，交于，连接、．若，，则的长为
A．2B．C．3D．
【答案】
【分析】求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形是菱形，再求出，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，根据矩形的对边相等可得，然后求出，从而得解．
【解答】解：四边形是矩形
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【变式练1】（2023•砀山县一模）如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点，若，，则的长为
A．5B．6C．7D．8
【答案】
【分析】根据矩形的性质得出，，，证出，得出．证出为等边三角形，得出，则可得出答案．
【解答】解：在矩形中，平分，
，，，
，
．
，，
，
又，
为等边三角形，
，
．
故选：．
【变式练2】（2023•拱墅区三模）如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据矩形的性质及平分分别判定及为等边三角形，进一步推出，然后求得，则可在中求得的度数．
【解答】解：在矩形中，平分，
，，，
，
．
，，
，
又，
为等边三角形，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
．
故选：．
【变式练3】（2023•江山市模拟）已知，如图，在矩形中，是上的一点，且，于点．若，，则矩形的面积是
A．14B．16C．18D．20
【答案】
【分析】连接，利用矩形的性质，则可证得，进一步可证得，得，，设，则，在中，利用勾股定理，可求得，可求得矩形的面积．
【解答】解：连结，如图，
四边形是矩形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
．
，，
设，
则，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
．
故选：．
【变式练4】（2023•揭阳一模）如图，点是矩形的对角线的中点，点为的中点．若，，则的周长为
A．12B．C．D．14
【答案】
【分析】根据题意可得是的中位线，则，在中，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求得，再根据直角三角形的性质可求得，从而求出的周长．
【解答】解：点是矩形对角线的中点，点为中点，
，，，，
在中，，
在中，，
，
则的周长为：，
故选：．
【变式练5】（2023•沭阳县三模）如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，平分交于点，连接交于点，则的长为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】延长交延长线于点，过点作于点，由矩形的性质可得，，，根据全等三角形的判定与性质可得，，然后利用相似三角形的判定与性质可得答案．
【解答】解：延长交延长线于点，过点作于点，
在矩形中，，，，
平分，，，
，
设，则，
点是的中点，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
考点6 矩形的判定
【例6】（2023•雁塔区校级一模）如图，在四边形中，对角线与相交于点，，．添加下列条件，可以判定四边形是矩形的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
当或时，可判定四边形是菱形；
当时，
由知，
，
，
四边形是菱形；
当时，可判定四边形是矩形；
故选：．
【变式练1】（2023•延安一模）如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由四边形的对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，再添加，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形是矩形．
【解答】解：结合选项可知，添加，
四边形的对角线互相平分，
四边形是平行四边形，
，根据矩形判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，
四边形是矩形，
故选：．
【变式练2】（2023•高新区模拟）如图，线段与分别为的中位线与中线．在下列条件中，能够判定四边形为矩形的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：线段与分别为的中位线与中线，
，，点是的中点，点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，，
四边形是平行四边形，
、，
，
，
平行四边形是菱形，故选项不符合题意；
、，，
，
平行四边形是菱形，故选项不符合题意；
、，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，故选项不符合题意；
、，，
，
平行四边形是矩形，故选项符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•郑州一模）在下列条件中，能够判定平行四边形为矩形的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由平行四边形的判定方法和矩形的判定方法，即可得出结论．
【解答】解：、，不能判定平行四边形为矩形，不符合题意；
、，不能判定平行四边形为矩形，不符合题意；
、，不能判定平行四边形为矩形，不符合题意；
、，平行四边形为矩形，符合题意；
故选：．
【变式练4】（2023•同心县校级二模）如图，中，对角线，相交于点，，若要使平行四边形为矩形，则的长度为
A．4B．3C．2D．1
【答案】
【分析】根据矩形的性质得到，，，求出即可．
【解答】解：假如平行四边形是矩形，
，，，
．
故选：．
【变式练5】（2023•南乐县一模）如图，平行四边形的对角线，相交于点，则下列说法不正确的是

A．当时，平行四边形是矩形
B．当时，平行四边形是矩形
C．当时，平行四边形是矩形
D．当时，平行四边形是矩形
【答案】
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：、四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，故选项符合题意；
、四边形是平行四边形，
，，
，
，
平行四边形是矩形，故选项不符合题意；
故选：．
考点7 矩形的判定与性质
【例7】（2023•胶州市二模）如图，在中，，，，为边上一点，，，垂足分别是，，连接，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先证四边形是矩形，得，要使最小，只要最小即可，再根据垂线段最短和三角形面积求出即可．
【解答】解：连接，如图：
，，
，
，
四边形是矩形，
，
要使最小，只要最小即可，
当时，最短，
，，，
，
的面积，
，
的最小值为，
故选：．
【变式练1】（2023•宁阳县一模）如图，在中，，，，为边上一动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值是
A．1.2B．1.5C．2D．2.4
【答案】
【分析】先证四边形是矩形，得，要使最小，只要最小即可，再根据垂线段最短和三角形面积求出即可．
【解答】解：连接，如图：
，，
，
，
四边形是矩形，
，
要使最小，只要最小即可，
当时，最短，
，，，
，
的面积，
，
即，
故选：．
【变式练2】（2023•碑林区校级模拟）如图，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成矩形．若，，则矩形的面积是
A．40B．20C．15D．10
【答案】
【分析】根据图形的拼剪，可得，根据三角形中位线定理求出，根据矩形的面积公式即可解决问题．
【解答】解：由题意，，
点、是、的中点，
是的中位线，
，
，
矩形的面积．
故选：．
【变式练3】（2023•丽水模拟）如图，，平分，于点，于点，于点，则的值是
A．1B．2C．D．
【答案】
【分析】过点作于点，过点作于点，证明四边形为矩形，得出，证明四边形为矩形，得出，由等腰直角三角形的性质得出，，则可得出答案．
【解答】解：过点作于点，过点作于点，
，，，
四边形为矩形，
，
，，，
，
四边形为矩形，
，
，平分，
，
，
同理，
，
．
故选：．
【变式练4】（2023•恩施市一模）如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，则的最小值是
A．2B．2.4C．2.5D．2.6
【答案】
【分析】根据题意可证四边形是矩形，得，再由垂线段最短得最短进而可得最短，最后进行计算即可．
【解答】解：连接，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
当时，最短，如图：
当，，
，
在中，，
，
，
的最小值是2.4，
，
的最小值是2.4，
故选：．
【变式练5】（2023•淳安县一模）如图，矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值是
A．B．3C．D．
【答案】
【分析】连接，先证四边形是矩形，得，再由勾股定理得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接，
于点，于点，
，
四边形是矩形，
，，，
四边形是矩形，
，
由勾股定理得：，
当时，最小，则最小，
此时，，
，
的最小值为，
故选：．
考点8 正方形的性质
【例8】（2023•青山区二模）如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点，是边上一点，是上一点，连接，．若与关于直线对称，则的长为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据正方形的性质和轴对称的性质得出和，进而解答即可．
【解答】解：四边形是正方形，，
，，
与关于直线对称，
，
，
故选：．
【变式练1】（2023•天河区一模）如图，在正方形中，点在边上，且，连接，，平分，过点作于点，若正方形的边长为4，则的面积是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】延长交于，过作于，根据角平分线的定义得到，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理得到，，，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：延长交于，过作于，
平分，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【变式练2】（2023•阎良区模拟）如图，在正方形中，，点、分别是边、的中点，连接、，点，分别是，的中点，则的长为
A．5B．C．D．2
【答案】
【分析】连接，根据正方形的性质和勾股定理得出，进而利用三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：连接，如图：
四边形是正方形．
，，
，分别是边，中点，
．
在中，由勾股定理得：．
点、分别是、的中点，
是三角形的中位线，
．
故选：．
【变式练3】（2023•安徽模拟）四边形的对角线，相交于，下列给出的结论中，在正方形中成立但在矩形中不成立的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接根据正方形与矩形的性质判断即可．
【解答】解：正方形与矩形的每个角都为，故选项成立，不合题意；
正方形与矩形的对边相等，故选项成立，不合题意；
正方形与矩形的对角线都相等，故选项成立，不合题意；
正方形的对角线相互垂直平分，而矩形对角线相等但不一定相互垂直，故选项不成立，符合题意；
故选：．
【变式练4】（2023•唐河县模拟）如图，正方形的边长为3，以为一边作等边三角形，点在正方形内部，则点到的距离是
A．3B．C．D．
【答案】
【分析】过点作于点，由正方形和等边三角形的性质得，，然后再由勾股定理即可求出．
【解答】解：过点作于点，如图所示：
四边形为正方形，且边长为3，
，
为等边三角形，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
故选：．
【变式练5】（2023•九龙坡区模拟）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，平分交于点．若，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由四边形是正方形得，，，即可证明，得，则，即可根据“直角三角形的两个锐角互余”求得，得到问题的答案．
【解答】解：四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，
故选：．
考点9 正方形的判定
【例9】（2023•振兴区校级模拟）下列说法正确的是
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【答案】
【分析】由矩形，菱形，正方形的判定方法，即可判断．
【解答】解：、四边相等的四边形是菱形，故不符合题意；
、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故不符合题意；
、对角线相等的四边形不一定是矩形，故不符合题意；
、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，故符合题意．
故选：．
【变式练1】（2023•南海区校级一模）给出下列判断，正确的是
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．
【答案】
【分析】根据平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故不符合题意；
、对角线相等且平分的四边形是矩形，故不符合题意；
、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故不符合题意；
、有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，故符合题意；
故选：．
【变式练2】（2023•越秀区校级二模）已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是
A．当时，它是矩形B．当时，它是菱形
C．当时，它是菱形D．当时，它是正方形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【解答】解：、四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，故本选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，故本选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，故本选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•坪山区一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是
A．B．C．D．平分
【答案】
【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：
（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等，
即或，
故选：．
【变式练4】（2023•阎良区一模）添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由正方形的判定、矩形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，故选项、、不符合题意；
：对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项符合题意．
故选：．
【变式练5】（2023•碑林区校级模拟）如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是
A．当时，它是正方形B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形D．当时，它是矩形
【答案】
【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定可得出答案．
【解答】解：四边形是平行四边形，
当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项错误，符合题意；
当，平行四边形是菱形，故选项正确，不符合题意；
当，平行四边形是矩形，故选项正确，不符合题意；
当，平行四边形是矩形，故选项正确，不符合题意；
故选：．
考点10 正方形的判定与性质
【例10】（2023•洛阳三模）如图，已知四边形是平行四边形，下列三个结论：①当时，它是菱形；②当时，它是矩形；③当时，它是正方形．其中结论正确的有
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】
【分析】由四边形是平行四边形，，根据菱形的定义可证明四边形是菱形，可判断正确；由四边形是平行四边形，，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可证明四边形是菱形，可知四边形不一定是矩形，可判断错误；由四边形是平行四边形，，根据矩形的定义可证明四边形是矩形，可知四边形不一定是正方形，可判断错误，于是得到问题的答案．
【解答】解：四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
故正确；
四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
四边形不一定是矩形，
故错误；
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，
四边形不一定是正方形，
故错误，
故选：．
【变式练1】（2023•惠山区校级模拟）如图，在锐角中，，于点．若，，则的长为
A．B．2C．D．2.4
【答案】
【分析】方法一：过点作于点，根据勾股定理可得的长，根据，求出的长，设，根据，进一步可得，列方程求出的值，即可确定的长度；
方法二：过点作于点，可证，根据相似三角形的性质可得，设，则，可知，根据，求出的值，可得和的长，在中，根据勾股定理求出的长，再根据进一步计算即可．
【解答】解：方法一：过点作于点，如图所示：
则，
，
，
，，
在中，根据勾股定理得，
，
，
，
设，
则，
在中，根据勾股定理得，
，
，
，
解得（舍去）或，
；
方法二：过点作于点，如图所示：
则，
，
，
，
，
，
，
，，
，
设，则，
，，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，
，
，
，，
在中，根据勾股定理得，
，
故选：．
【变式练2】（2023•呼和浩特一模）如图，在中，，于点．点，是上两点，且，，若，．则的值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据，，，可得，是等腰直角三角形，根据勾股定理可算出，的长，如图所示，是的外角，是的外角，由此可证，由此即可求解．
【解答】解：如图所示，
，，，
，是等腰直角三角形，
，，
在、中，
，，
，，
，
，是的外角，是的外角，
，
，，
，
，，
设，则，
代入得，，
解得，，（舍去），
，
故选：．
【变式练3】（2023•莲湖区模拟）如图，在四边形中，，，，，若，，则的长度为 6 ．
【分析】过点作于点，延长使，由题意可证四边形是正方形，由正方形的性质可得，，由全等三角形的性质可得，可得，由勾股定理可得．
【解答】解：过点作于点，延长使，连接，
，，
，
四边形是矩形
四边形是正方形
，，
，，
，
，
，
，且，
，
在中，，
，
，（不合题意）
故答案为：6
【变式练4】（2023•贵阳模拟）如图，点是正方形对角线上一点，，，垂足分别为，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若正方形的周长是，当时，求证：四边形是正方形．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程．
【分析】（1）由正方形的性质可得出、，根据、可得出，，再结合，即可证出四边形是矩形；
（2）由正方形的周长可求出正方形的边长，根据正方形的性质可得出为等腰直角三角形，进而可得出，再根据矩形的周长公式即可求出周长；然后求得，即可证得四边形是正方形．
【解答】证明：（1）四边形为正方形，
，．
，，
，．
又，
四边形是矩形；
（2）正方形的周长是，
．
四边形为正方形，
为等腰直角三角形，
，
四边形的周长．
，，
，
四边形是正方形．
【变式练5】（2022•泰安一模）如图，是的角平分线，，分别是和的高，得到下列四个结论：①；②；③当时，四边形是正方形；④．其中正确的是
A．②③B．②④C．①③④D．②③④
【答案】
【分析】①如果，则四边形是矩形，，不符合题意，所以①不正确；
②首先根据全等三角形的判定方法，判断出，，；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△，即可判断出；
③首先判断出当时，四边形的四个角都是直角，四边形是矩形，然后根据，判断出四边形是正方形即可；
④根据，判断出，，即可判断出成立．
【解答】解：如果，则四边形是矩形，没有说，不符合题意，故①错误；
是的角平分线，
，
在和中，，
，
，，
，故④正确；
在和中，，
，
，
又，
是的中垂线，
，故②正确；
当时，四边形的四个角都是直角，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，故③正确．
综上可得：正确的是：②③④，
故选：．
方
法
技
巧
点
拨
1．矩形
（1）不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形．
（2）判定矩形的常见思路

（3）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．
（4）用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．
2．菱形
（1）菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等．
【注意】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四边形为基础的，（3）和（4）是以四边形为基础的．
（2）在求菱形的面积时，要根据图形特点及已知条件，灵活选择面积公式来解决问题．
（3）在利用对角线长求菱形的面积时，要特别注意，不要漏掉计算公式中的拓展任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线长乘积的一半．
方法提炼
（4）菱形中的等面积法
因为菱形的面积既等于一边这条边上的高，又等于两条对角线长乘积的一半，所以在求菱形一条边上的高时，我们可以借助等面积法求解
3．确定中点四边形的形状的方法
任意四边形的中点四边形都是平行四边形；对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形．