专题23 相似三角形（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用）

这是一份专题23 相似三角形（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用），共35页。试卷主要包含了图形的相似，相似三角形，位似等内容，欢迎下载使用。
夯实基础
一、图形的相似
1．相似图形的定义
（1）我们把形状相同的图形叫做相似图形．
（2）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．
（3）全等图形可以看成是一种特殊的相似图形，即不仅形状相同，大小也相等．
2．比例线段
（1）对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如（即ad=bc），我们就说这四条线段成比例．
（2）比例的相关性质
①比例的基本性质：若，则ad=bc；若ad=bc（bd≠0），则．
②比例的有关性质：
合比性质：若，则或（a+b，c+d均不为0）．
分比性质：若，则或（a–b，c–d均不为0）
更比性质：若，则或（a，b，c，d均不为0）．
等比性质：若，则．
3．相似多边形
（1）两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
二、相似三角形
1．相似三角形的判定
（1）三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似用符号“∽”表示，△ABC与△DEF相似记作△ABC∽△DEF．
（2）平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
（3）相似三角形的判定定理：
①判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
②判定定理2：三边成比例的两个三角形相似．
③判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
④判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似．
（4）直角三角形相似的判定方法：如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似．
2．相似三角形的性质
（1）相似三角形具备相似多边形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
（2）相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比．
（3）相似三角形周长的比等于相似比．
（4）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
3．相似三角形应用举例
相似三角形的实际应用主要包括：
（）利用相似三角形的性质测量不能直接到达的河的宽度；
（2）利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度．
三、位似
1．位似图形
（1）如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
（2）位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形．
（3）位似图形具有两个特点：一是相似图形；二是对应点的连线交于一点．
（4）利用位似，可以将一个图形放大或缩小．
2．位似图形的性质
（1）位似图形的对应角相等，对应边成比例．
（2）位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心．
（3）位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上．
（4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
3．位似图形的画法
画位似图形的一般步骤：
（1）确定位似中心；
（2）分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长；
（3）根据相似比，确定能代表所画的位似图形的关键点；
（4）按照原图的形状，顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形．
4．位似图形对应点的坐标的变化规律
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（–kx，–ky）．
吃透考点
一、相似图形及比例线段
1．相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形．
2．相似多边形
若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形．
特征：对应角相等，对应边成比例．
3．比例线段的定义
在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即（或a∶b＝c∶d），那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
4．比例线段的性质
（1）基本性质：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)ad＝bc；
（2）合比性质：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)eq \f(a＋b,b)＝eq \f(c＋d,d)；
（3）等比性质：
若eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝…＝eq \f(m,n)（b＋d＋…＋n≠0），那么eq \f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝eq \f(a,b)．
5．黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果eq \f(AC,AB)＝eq \f(BC,AC)，则线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
二、相似三角形
1．定义
各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．
2．判定
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）两角对应相等，两三角形相似；
（3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（4）三边对应成比例，两三角形相似；
（5）斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
3．性质
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；
（3）相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方．
考点1 平行线分线段成比例
【例1】（2023•萧山区二模）如图，已知，，，那么的长为
A．9B．12C．15D．18
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：，，
，
，
，
解得：，
故选：．
【变式练1】（2023•南岗区校级四模）如图，在四边形中，，，，，则线段的长为
A．5B．6C．8D．10
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【解答】解：，
，
，，，
，
，
．
故选：．
【变式练2】（2023•市中区一模）如图，在中，，，，，则的长为
A．2B．4C．6D．8
【分析】根据平行线分线段成比例求出，即可解答．
【解答】解：，
，即，
解得：，
；
故选：．
【变式练3】（2023•宁化县模拟）如图，已知一组平行线，被直线、所截，交点分别为、、和、、，且，，，则
A．7.2B．6.4C．3.6D．2.4
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【解答】解：，
，即，
解得，，
故选：．
【变式练4】（2023•武侯区校级模拟）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为
A．B．C．5D．9
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：，
，
，，，
，
，
解得：，
故选：．
【变式练5】（2023•南明区二模）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，
则，即，
解得：，
．
故选：．
考点2 相似三角形的性质
【例2】（2023•南明区校级模拟）若两个相似三角形的对应高的比为，则它们对应周长的比为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据相似三角形对应高的比，周长的比等于相似比，即可求解．
【解答】解：两个相似三角形的对应高的比为，
两个相似三角形的相似比为，
它们对应周长的比为，
故选：．
【变式练1】（2023•鼓楼区校级模拟）如图，，若，，那么
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由，，根据相似三角形的对应角相等，即可求得的度数，又由三角形的内角和等于，即可求得的度数．
【解答】解：，，
．
在中，
，，
即，
．
故选：．
【变式练2】（2023•大理市模拟）如图，，，，则的长为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：，
，
，
，
或（不符合题意，舍去）
，
．
故选：．
【变式练3】（2023•陇南模拟）两个相似三角形的相似比是，则其面积之比是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用相似三角形的性质分析得出答案．
【解答】解：两个相似三角形的相似比是，
其面积之比是，
故选：．
【变式练4】（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，，若，，，则的长是
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【分析】先根据相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质求出的长．
【解答】解：，
，即，
解得．
故选：．
【变式练5】（2023•西秀区校级模拟）如图，已知，若，，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求解．
【解答】解：，
，
，，
．
故选：．
考点3 相似三角形的判定
【例3】（2023•东明县一模）如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】解：
，，都可判定
选项中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：．
【变式练1】（2021•芜湖模拟）如图，在与中，，要使与相似，还需满足下列条件中的
A．B．C．D．
【答案】
【分析】本题中已知，则对应的夹边比值相等即可使与相似，结合各选项即可得问题答案．
【解答】解：，，
．
故选：．
【变式练2】（2023•永修县三模）如图，在中，，，平分，，连接交于点，则图中与相似的三角形有
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】
【分析】平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可判断；再由两角对应相等的两个三角形相似可判断．
【解答】解：，
．
，，平分，
，，
．
有5个三角形与相似，
故选：．
【变式练3】（2023•双柏县模拟）如图，已知点是的边上的一点，根据下列条件，可以得到的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用相似三角形的判定利用且夹角相等，进而得出答案．
【解答】解：当，
又，
，
即时，可以得到．
故选：．
【变式练4】（2023•余杭区校级模拟）如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是
A．平分B．C．D．
【答案】
【分析】已知，则、选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
【解答】解：在和中，，
如果，需满足的条件有：
①或是的平分线；
②；
故选：．
【变式练5】（2023•成武县校级三模）如图，在中，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论正确的是
A．垂直平分B．C．D．
【答案】
【分析】由“”可证，可得，可证，可得结论．
【解答】解：由题意可得，平分，
垂直平分，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
，
，
故选：．
考点4 相似三角形的判定与性质
【例4】（2023•泉州一模）如图，在正方形中，点、分别在边和上，，垂足为，若，则的值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】设，由，得，可证明，得，则，再证明，得，所以，，即可求得，于是得到问题的答案．
【解答】解：设，
四边形是正方形，
，，
，
，
于点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
【变式练1】（2023•孝义市三模）如图，矩形内接于，过点作的切线分别与的延长线交于点，与的延长线交于点．若，，则的长度为
A．B．C．5D．
【答案】
【分析】根据切线的性质和矩形的性质证明，可得，设，则，利用勾股定理求出，得，，再根据勾股定理求出，进而可求出的长．
【解答】解：四边形是矩形，
，，
如图，连接，
矩形内接于，
是的直径，
是的切线，切点是，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
【变式练2】（2023•平房区二模）如图，点是的边上的一点，过点作的平行线交于点，连接，过点作的平行线交于点，则下列结论错误的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：，，
，，，，，
，
选项、、正确，错误；
故选：．
【变式练3】（2023•南岗区模拟）如图，点是平行四边形边上一点，直线交的延长线于点，则下列结论错误的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据题意知，，可知相应的线段比例关系即可求解．
【解答】解：根据题意知：，，
，，，
，，中的结论正确，中结论错误，
故选：．
【变式练4】（2023•淮阳区三模）如图，在边长为5的正方形中，点在边上，，交于点，则的长为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由正方形的性质得到，，，由等腰直角三角形的性质得到，由，得到，因此，即可求出．
【解答】解：四边形是正方形，
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【变式练5】（2023•金台区模拟）如图，在中，，，延长到点，使得，若点是的中点，则的长为
A．2B．1C．3D．4
【答案】
【分析】根据点是的中点，求得，得到，推出，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
考点5 相似三角形的应用
【例5】（2023•城关区一模）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图2中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为1，为0.5，实地测得为2.5．则井深为
A．4B．5C．6D．7
【答案】
【分析】根据正方形的性质可得，再根据矩形的性质可得，，从而可得，然后证明8字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：四边形是正方形，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【变式练1】（2023•雄县一模）图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点，，根据图2中的数据可得的值为
A．0.8B．0.96C．1D．1.08
【答案】
【分析】由，可得出，进而得出，解出即可得出结论．
【解答】解：，
，
，
，
，
故选：．
【变式练2】（2023•小店区校级模拟）如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形 象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，，拉杆，，米，则两梯杆跨度、之间距离为
A．2米B．2.1米C．2.5米D． 米
【答案】
【分析】证得，根据相似三角形的性质即可求出．
【解答】解：，
，
，米，
，
，
即两梯杆跨度、之间距离为2.1米，
故选：．
【变式练3】（2023•莲池区校级三模）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时，相关数据如图（单位：．从图2闭合状态到图3打开状态，点，之间的距离减少了
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：连接，如图所示：
由题意得，，，
，
，
，
，
点，之间的距离减少了，
故选：．
【变式练4】（2023•裕华区校级模拟）如图，某同学在处看见河对岸有一大树，想测得与的距离，他先从向正西走90米到达的正南方处，再回到向正南走30米到处，再从处向正东走到处，使得，、三点恰好在一条直线上，测得米，则与的距离为
A．112.5米B．120米C．135米D．150米
【答案】
【分析】根据题意得出，进而利用相似三角形的性质进而求出即可．
【解答】解：由题意可得：，，
则，
故，
，，，
，
．
答：与的距离为．
故选：．
【变式练5】（2023•思明区模拟）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应
A．减少米B．增加米C．减少米D．增加米
【答案】
【分析】设米，米，根据题意可得：米，米，米，，，根据垂直定义可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质可得米，再证明，从而利用相似三角形的性质可得米，最后进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
设米，米，
由题意得：（米，米，米，，，
，
，
，
，
，
解得：，
米，
，
，
，
，
解得：，
（米，
在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应减少米，
故选：．
考点6 作图-相似变换
【例6】（2023•白山模拟）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形：
（1）在图1中画△，使得△，且相似比为．
（2）在图2中画，使得，且面积比为．
【分析】（1）根据相似比进而得出各边扩大2倍得出答案；
（2）根据相似比进而得出各边扩大倍得出答案．
【解答】解：（1）如图1所示：△，即为所求；
（2）如图2所示：，即为所求；
【变式练1】（2023•防城区二模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出绕原点逆时针方向旋转后得到的△；
（2）连接，的度数为 45 ；
（3）以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内将缩小得到△，画出△，直接写出点的坐标．
【答案】（1）△见解答；
（2）45；
（3）△见解答，．
【分析】（1）将点、分别绕点逆时针旋转得到其对应点，再与点首尾顺次连接即可得出答案；
（2）根据旋转的性质、等腰直角三角形的性质可得答案；
（3）根据位似变换的概念作出点、的对应点，再与点首尾顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图，△即为所求；
（2），且，；
故答案为：45；
（3）如图，△即为所求，．
【变式练2】（2023•靖江市二模）在中，为钝角，、是边上不重合的两点．
（1）如图，用不含刻度的直尺和圆规在边上找两点、，其中在的左侧，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，探索与之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法即可得到结论；
（2）由作图知，，，根据三角形的内角和定理和三角形外角的性质得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，；
（2）．
理由：由作图知，，，
，
，
，
．
即．
【变式练3】（2023•安徽模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）请画出绕点逆时针方向旋转后得到的图形△（点，，的对应点分别为点，，；
（2）请画一个格点△，使△△，且相似比为2．
【答案】（1）（2）作图见解析部分．
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）把边长扩大两倍，作出三角形即可．
【解答】解：（1）如图，△即为所求；
（2）如图，△即为所求．
【变式练4】（2023•肃州区三模）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．
要求：
①根据给出的及线段，，以线段为一边，在给出的图形上用尺规作出△，使得△，不写作法，保留作图痕迹；
②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）作，即可得到△；
（2）依据是的中点，是的中点，即可得到，根据△，即可得到，，进而得出△，可得．
【解答】解：（1）如图所示，△即为所求；
（2）已知，如图，△，，是的中点，是的中点，
求证：．
证明：是的中点，是的中点，
，，
，
△，
，，
，，
△，
．
【变式练5】（2023•碑林区校级模拟）如图，在中，．请用尺规作图法，在上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析．
【分析】过点作直线的垂线交于一点，点即为所求．证明出，然后利用相似三角形的性质可得．
【解答】解：点如图所示：
理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
即，
．
方
法
技
巧
点
拨
1．判定定理
判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
判定定理2：三边成比例的两个三角形相似．
判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似．
2．判定三角形相似的几条思路：
（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定定理1；
（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定定理1]或再找夹边成比例[用判定定理2]；
（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
3．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，这里要特别注意“对应”，在应用时，要注意找准对应线段．