中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题25特殊的平行四边形-菱形(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题25特殊的平行四边形-菱形(原卷版+解析)，共53页。

【知识要点】
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：
1）具有平行四边形的所有性质；
2）四条边都相等；
3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。
4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。
菱形的判定：
1）A
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
2）四条边相等的四边形是菱形。
3）一组邻边相等的平行四边形是菱形。
菱形的面积公式：菱形ABCD的对角线是AC、BD，则菱形的面积公式是：S＝底×高，S＝
考查题型一 利用菱形的性质求角度
典例1．(2023·贵州贵阳·统考中考真题）如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则的度数是（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
变式1-1．(2023·西藏·统考中考真题）如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在上，连接．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则的度数为（ ）
A．50°B．60°C．80°D．90°
变式1-2．(2023·湖北黄冈·中考真题）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A．B．C．D．
变式1-3．(2023·甘肃金昌·统考中考真题）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离，若间的距离调节到60，菱形的边长，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
变式1-4．(2023·山东青岛·统考中考真题）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中的度数是__________．
变式1-5．(2023·贵州黔东南·统考中考真题）如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若，则的度数为_________度．
变式1-6．(2023·广东·统考中考真题）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为_________．
考查题型二 利用菱形的性质求线段长
典例2．(2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，A，B两点的坐标分别是（2，2），（﹣1，﹣），点D在第一象限，且AD∥x轴，则点D的坐标是（ ）
A．（6，2）B．（8，2）C．（6，）D．（8，）
变式2-1．(2023·四川自贡·统考中考真题）如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
变式2-2．(2023·四川广安·统考中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（ ）
A．2B．C．1.5D．
变式2-3．(2023·浙江丽水·统考中考真题）如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F， 交于点G，若，则的长是（ ）
A．3B．C．D．
变式2-4．(2023·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
变式2-5．(2023·陕西·统考中考真题）如图，在菱形中，．若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为______．
变式2-6．(2023·浙江台州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为________；当点M的位置变化时，DF长的最大值为________．
变式2-7．(2023·贵州遵义·统考中考真题）将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在，上．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
变式2-8．(2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别是6和8，以AD为直角边向菱形外作等腰直角三角形ADE．连接CE．请用尺规或三角板作出图形，并直接写出线段CE的长．
考查题型三 利用菱形的性质求面积
典例3．(2023·西藏·统考中考真题）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ）
A．6B．10C．12D．24
变式3-1．(2023·海南·统考中考真题）如图，在菱形中，点分别是边的中点，连接．若菱形的面积为8，则的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．5
变式3-2(2023·山东淄博·统考中考真题）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（ ）
A．16B．6C．12D．30
变式3-3．(2023·重庆·统考中考真题）如图，菱形中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为_________．（结果不取近似值）
变式3-4．(2023·重庆·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线，，分别以点A，B，C，D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留）
变式3-5．(2023·四川凉山·统考中考真题）菱形中，对角线，则菱形的高等于___________．
变式3-6．(2023·山东滨州·统考中考真题）如图，菱形的边长为10， ，对角线相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作且边EF与直线DC相交于点F．
(1)求菱形的面积；
(2)求证．
变式3-7．(2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，在格点上，每一个小正方形的边长为1．
（1）以为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．
（2）计算你所画菱形的面积．
考查题型四 添加一个条件证明四边形是菱形
典例4．(2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
变式4-1．(2023·山东德州·中考真题）如图，下列条件中能使成为菱形的是（ ）
A．B．C．D．
变式4-2．(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是______________．（只需写出一个条件即可）
变式4-3．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，补充后使四边形成为菱形，则其选择是___（限填序号）．
30．(2023·浙江舟山·中考真题）小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，求证：四边形是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
变式4-4．(2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，点，分别在的边，上，，连接，．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形．
(1)你添加的条件是______（填序号）；
(2)添加了条件后，请证明为菱形．
考查题型五 菱形的证明
典例5．(2023·辽宁·统考中考真题）如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是_______．
变式5-1．(2023·四川广元·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE．
(1)求证：四边形AECD为菱形；
(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
变式5-2．(2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值．
变式5-3．(2023·吉林长春·统考中考真题）如图，在Rt中，，．点D是的中点，过点D作交于点E.延长至点F，使得，连接、、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，则的值为_______．
变式5-4．(2023·江苏南通·统考中考真题）【阅读材料】
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形是菱形．
变式5-5．(2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且，连接BF．FD，DE，EB．
求证：四边形DEBF是菱形．
变式5-6．(2023·山东临沂·统考中考真题）如图，已知在⊙O中， ，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．
变式5-7．(2023·广西贺州·统考中考真题）如图，在四边形中，，，，交于点，过点作，垂足为，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的面积．
变式5-8．(2023·贵州遵义·统考中考真题）在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：
①画线段AB；
②分别以点A，B为圆心，大于AB长的一半为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点O；
③在直线MN上取一点C（不与点O重合），连接AC、BC；
④过点A作平行于BC的直线AD，交直线MN于点D，连接BD．
（1）根据以上作法，证明四边形ADBC是菱形；
（2）该同学在图形上继续探究，他以点O为圆心作四边形ADBC的内切圆，构成如图所示的阴影部分，若AB＝2，∠BAD＝30°，求图中阴影部分的面积．
变式5-9．(2023·安徽·统考中考真题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
(1)如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形；
(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
老师的问题：
已知：如图，．
求作：菱形，使点C，D分别在上．
小明的作法：
（1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点D；
（2）以B为圆心，长为半经画弧，交于点C；
（3）连接．
四边形就是所求作的菱形，
专题25 特殊的平行四边形-菱形
【考查题型】
【知识要点】
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：
1）具有平行四边形的所有性质；
2）四条边都相等；
3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。
4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。
菱形的判定：
1）A
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
2）四条边相等的四边形是菱形。
3）一组邻边相等的平行四边形是菱形。
菱形的面积公式：菱形ABCD的对角线是AC、BD，则菱形的面积公式是：S＝底×高，S＝
考查题型一 利用菱形的性质求角度
典例1．(2023·贵州贵阳·统考中考真题）如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则的度数是（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
答案:C
分析：根据两直线平行，内错角相等可得出答案．
【详解】解：∵纸片是菱形
∴对边平行且相等
∴（两直线平行，内错角相等）
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是要知道两直线平行，内错角相等．
变式1-1．(2023·西藏·统考中考真题）如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在上，连接．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则的度数为（ ）
A．50°B．60°C．80°D．90°
答案:C
分析：由翻折的性质知∠BAE==50°，=AB，再由菱形的性质得∠BAD=120°，=AD，最后利用三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠C=120°，
∴∠BAD=∠C=120°，AB=AD，
∵将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在上，
∴∠BAE==50°，=AB，
∴=100°，=AD，
∴=20°，
∴==（180°-20°）÷2=80°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，求出=20°是解题的关键．
变式1-2．(2023·湖北黄冈·中考真题）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性质得到AB＝4，利用正弦的定义得到∠B＝30°，则∠C＝150°，从而得到∠C：∠B的比值．
【详解】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，
∵菱形的周长为16，
∴AB＝4，
在Rt△ABH中，sinB＝＝，
∴∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝150°，
∴∠C：∠B＝5：1．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了正弦的定义及应用．
变式1-3．(2023·甘肃金昌·统考中考真题）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离，若间的距离调节到60，菱形的边长，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：如图（见解析），先根据菱形的性质可得，再根据全等的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，最后根据平行线的性质即可得．
【详解】如图，连接AC
四边形ABCD是菱形
如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，
是等边三角形
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
变式1-4．(2023·山东青岛·统考中考真题）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中的度数是__________．
答案:60
分析：先确定∠BAD的度数，再利用菱形的对边平行，利用平行线的性质即可求出∠ABC的度数．
【详解】如图，∵∠BAD=∠BAE=∠DAE，∠BAD+∠BAE+∠DAE=360°，
∴∠BAD=∠BAE=∠DAE=120°，
∵BC∥AD，
∴∠ABC=180°-120°=60°，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了菱形的性质与学生读题审题的能力，解题关键是理解题意，求出∠BAD的度数．
变式1-5．(2023·贵州黔东南·统考中考真题）如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若，则的度数为_________度．
答案:64
分析：根据菱形的性质可以求得和，再应用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵BD是菱形ABCD的一条对角线，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：64．
【点睛】本题考查菱形的性质和三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键．
变式1-6．(2023·广东·统考中考真题）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为_________．
答案:45°
分析：根据题意知虚线为线段AB的垂直平分线，得AE=BE，得；结合°，，可计算的度数．
【详解】
∵
∴
∴
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了菱形的性质，及垂直平分线的性质，熟知以上知识点是解题的关键．
考查题型二 利用菱形的性质求线段长
典例2．(2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，A，B两点的坐标分别是（2，2），（﹣1，﹣），点D在第一象限，且AD∥x轴，则点D的坐标是（ ）
A．（6，2）B．（8，2）C．（6，）D．（8，）
答案:B
分析：由A，B两点的坐标可得AB的长，即AD的长，进而可得点D的横坐标，点D的纵坐标则与点A的纵坐标相等，可得点D的坐标．
【详解】解：∵A，B两点的坐标分别是（2，2），（﹣1，﹣），
∴AB＝＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB=6，
∴点D的横坐标为2+6＝8，
∵AD∥x轴，
∴点D的纵坐标与点A的纵坐标相等，为2，
故点D的坐标是（8，2）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，坐标与图形的性质，关键是能够熟练求解坐标与图形的结合问题．
变式2-1．(2023·四川自贡·统考中考真题）如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根据菱形的中心对称性，A、C坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可．
【详解】∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，
∴A、C坐标关于原点对称，
∴C的坐标为，
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点对称点的坐标特点是解题的关键．
变式2-2．(2023·四川广安·统考中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（ ）
A．2B．C．1.5D．
答案:A
分析：取AB中点G点，根据菱形的性质可知E点、G点关于对角线AC对称，即有PE=PG，则当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，再证明四边形AGFD是平行四边形，即可求得FG=AD．
【详解】解：取AB中点G点，连接PG，如图，
∵四边形ABCD是菱形，且边长为2，
∴AD=DC=AB=BC=2，
∵E点、G点分别为AD、AB的中点，
∴根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线AC轴对称，
∴PE=PG，
∴PE+PF=PG+PF，
即可知当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，且为线段FG，
如下图，G、P、F三点共线，连接FG，
∵F点是DC中点，G点为AB中点，
∴，
∵在菱形ABCD中，，
∴，
∴四边形AGFD是平行四边形，
∴FG=AD=2，
故PE+PF的最小值为2，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质等知识，找到E点关于AC的对称点是解答本题的关键．
变式2-3．(2023·浙江丽水·统考中考真题）如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F， 交于点G，若，则的长是（ ）
A．3B．C．D．
答案:B
分析：过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，由题干所给条件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cs∠AGP=，即可得到FG的长；
【详解】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，
由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点，
∴BE=2，
又∵，
∴BH=1，即H是BE的中点，
∴AB=AE=4，
又∵AF是∠DAE的角平分线，，
∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG，
又∵，，
∴PF=AD=4，
设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，
∵，
∴∠AGP=∠AEB=∠B，
∴cs∠AGP===，
解得x=；
故选B．
【点睛】本题考查菱形的性质、角平分线的性质、平行线的性质和解直角三角形，熟练掌握角平分线的性质和解直角三角形的方法是解决本题的关键．
变式2-4．(2023·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
答案:C
分析：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函数即可求解．
【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵
∴F是BC的中点，
∴AF⊥BC．
则AF＝AB•sin60°＝2．
即的最小值是．
故选：C
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形以及三角函数，确定AF的长就是的最小值是关键．
变式2-5．(2023·陕西·统考中考真题）如图，在菱形中，．若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为______．
答案:
分析：连接AC交BD于点O，过点M作MG//BD交AC于点G，则可得四边形MEOG是矩形，以及，从而得NF=AG，ME=OG，即NR+ME=AO，运用勾股定理求出AO的长即可．
【详解】解：连接AC交BD于点O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=，AD//BC，
∴
在Rt中，AB=4，BO=，
∵，
∴
过点M作MG//BD交AC于点G，
∴,
∴
又
∴，
∴四边形MEOG是矩形，
∴ME=OG，
又
∴
∴
在和中，
,
∴≌
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
变式2-6．(2023·浙江台州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为________；当点M的位置变化时，DF长的最大值为________．
答案:
分析：当点M与点B重合时，EF垂直平分AB，利用三角函数即可求得EF的长；根据折叠的性质可知，AF=FM,若DF取最大值，则FM取最小值，即为边AD与BC的距离DG，即可求解.
【详解】解：当点M与点B重合时，由折叠的性质知EF垂直平分AB，
∴AE=EB=AB=3，
在Rt△AEF中，∠A=60°，AE=3，
tan60°=，
∴EF=3；
当AF长取得最小值时，DF长取得最大值，
由折叠的性质知EF垂直平分AM，则AF=FM，
∴FM⊥BC时，FM长取得最小值，此时DF长取得最大值，
过点D作DG⊥BC于点C，则四边形DGMF为矩形，
∴FM=DG，
在Rt△DGC中，∠C=∠A=60°，DC=AB=6，
∴DG=DCsin60°=3，
∴DF长的最大值为AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-3，
故答案为：3；6-3．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
变式2-7．(2023·贵州遵义·统考中考真题）将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在，上．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
答案:(1)见解析
(2)
分析：（1）根据正方形和菱形的性质可得，根据即可得证；
（2）连接交于点，勾股定理求得，，根据菱形的性质可得，进而求得正方形和菱形的对角线的长度，根据即可求解．
（1）
证明：正方形和菱形，
，
在与中
（）
（2）
如图，连接交于点，
，即AB=4，
，
在中，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，，掌握以上知识是解题的关键．
变式2-8．(2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别是6和8，以AD为直角边向菱形外作等腰直角三角形ADE．连接CE．请用尺规或三角板作出图形，并直接写出线段CE的长．
答案:作图见解析；或
分析：分和两种情况，利用三角形全等及菱形的性质，求出相应线段长度，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）如下图所示，当时，．
作图方法：利用三角板以AD为直角边，作，取，作交CA的延长线于点F．
∵ 在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别是6和8，
∴，，，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）如下图所示，当时，．
作图方法：利用三角板以AD为直角边，作，取，作交BD的延长线于点F，作交EF的延长线于点G．
同（1）可证，
∴，，
∴，
∵ ，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴．
综上，或．
【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理解直角三角形等，解题的关键是注意存在和两种情况，避免漏解．
考查题型三 利用菱形的性质求面积
典例3．(2023·西藏·统考中考真题）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ）
A．6B．10C．12D．24
答案:C
分析：利用因式分解法求出已知方程的解确定出菱形两条对角线长，进而求出菱形面积即可．
【详解】解：方程x2﹣10x＋24＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形两对角线长为4和6，
则这个菱形的面积为×4×6＝12．
故选：C．
【点睛】此题考查了求解一元二次方程和菱形的面积公式，难度一般．
变式3-1．(2023·海南·统考中考真题）如图，在菱形中，点分别是边的中点，连接．若菱形的面积为8，则的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案:B
分析：连接，相交于点，交于点，先根据菱形的性质可得，再根据三角形中位线定理可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，最后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，连接，相交于点，交于点，
四边形是菱形，且它的面积为8，
，
点分别是边的中点，
，
，，
，
，
，
则的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
变式3-2(2023·山东淄博·统考中考真题）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（ ）
A．16B．6C．12D．30
答案:B
分析：连接AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得到，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，证明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝4，则BD＝6，所以OB＝OD＝3，接着利用勾股定理计算出OC，从而得到AC＝，然后根据菱形的面积公式计算它的面积．
【详解】解：连接AC交BD于O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，
∵E为AD边的中点，
∴DE＝2，
∵∠DEF＝∠DFE，
∴DF＝DE＝2，
∵，
∴∠DEF＝∠BCF，
∵∠DFE＝∠BFC，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BF＝BC＝4，
∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，
∴OB＝OD＝3，
在Rt△BOC中，，
∴AC＝2OC＝，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）．
变式3-3．(2023·重庆·统考中考真题）如图，菱形中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为_________．（结果不取近似值）
答案:
分析：连接BD交AC于点G，证明△ABD是等边三角形，可得BD＝2，然后根据菱形的性质及勾股定理求出AC，再由S阴影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF得出答案．
【详解】解：连接BD交AC于点G，
∵四边形是菱形，
∴AB＝AD＝2，AC⊥BD，
∵，
∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BCA＝30°，
∴BD＝2，
∴BG＝，
∴，
∴AC＝，
∴S阴影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式等，在求阴影部分面积时，能够将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键．
变式3-4．(2023·重庆·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线，，分别以点A，B，C，D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留）
答案:
分析：先根据菱形的性质得出AB的长和菱形的面积，再根据扇形的面积公式求出四个扇形的面积和即可得出答案
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，，，
∴AC⊥BD，AO=6，BO=8；
∴；
∴菱形ABCD的面积=
∵四个扇形的半径相等，都为，且四边形的内角和为360°，
∴四个扇形的面积=，
∴阴影部分的面积=；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
变式3-5．(2023·四川凉山·统考中考真题）菱形中，对角线，则菱形的高等于___________．
答案:
分析：过A作AE⊥BC，垂足为E，根据菱形的性质求出菱形边长，再利用菱形的面积公式得到方程，解之可得AE．
【详解】解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高，
∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，
∴OB=BD=12，OA=AC=5，
在Rt△ABO中，AB=BC==13，
∵S菱形ABCD=，
∴，
解得：AE=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理的应用，能熟记菱形的性质是解此题的关键，注意：菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相平分且垂直．
变式3-6．(2023·山东滨州·统考中考真题）如图，菱形的边长为10， ，对角线相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作且边EF与直线DC相交于点F．
(1)求菱形的面积；
(2)求证．
答案:(1)
(2)见解析
分析：（1）根据菱形的性质可得AC⊥BD且AO=CO，BO=DO，再根据题意及特殊角的三角函数值求出AC和BD的长度，根据菱形的面积＝对角线乘积的一半即可求解．
（2）连接EC，设∠BAE的度数为x，易得EC=AE，利用三角形的内角和定理分别表示出∠EFC和∠ECF的度数，可得∠EFC=∠ECF，即EC=EF，又因为EC=AE，即可得到AE=EF．
(1)
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD且AO=CO，BO=DO，
∵
∴
∵AB=10，
∴，
∴，
∴菱形的面积=
(2)
证明：如图，连接EC，
设∠BAE的度数为x，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，∠AED=∠CED，∠EAC=∠ECA=60°-x，
∵∠ABD=30°，
∴∠AED=∠CED =30°+x，
∴∠DEF=∠AEF-∠AED=120°-（30°+x）=90°-x
∵∠BDC=∠ADC=30°
∴∠EFC=180°-（∠DEF+∠BDC）=180°-（90°-x+30°）= x+60°，
∵∠CED =30°+x，
∴∠ECD =180°-（∠CED+∠BDC）=180°-（30°+x+30°）=120°- x，
∴∠ECF =180°-∠ECD =180°-（120°- x）= x+60°，
∴∠EFC=∠ECF，
∴EF=EC，
∵AE=CE，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质、菱形面积的求解、特殊角的三角函数值以及三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
变式3-7．(2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，在格点上，每一个小正方形的边长为1．
（1）以为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．
（2）计算你所画菱形的面积．
答案:（1）答案不唯一，见解析；（2）6或8或10（答案不唯一）
分析：（1）根据菱形的定义并结合格点的特征进行作图；
（2）利用菱形面积公式求解．
【详解】解：（1）根据题意，菱形ABCD即为所求
（2）图1中AC=2，BD=6
∴图1中菱形面积．
图2中，AC=，BD=
∴图2中菱形面积．
图3中，
∴图3菱形面积．
【点睛】本题考查菱形的性质，掌握菱形的概念准确作图是关键．
考查题型四 添加一个条件证明四边形是菱形
典例4．(2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
答案:D
分析：由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
变式4-1．(2023·山东德州·中考真题）如图，下列条件中能使成为菱形的是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：根据菱形的判定定理可得．
【详解】解：A、AB=CD不能判定▱ABCD是菱形，故不符合题意；
B、AC=BD只能判定▱ABCD是矩形，故不符合题意；
C、∠BAD=90°只能判定▱ABCD是矩形，故不符合题意；
D、AB=BC能判定▱ABCD是菱形，故符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了菱形的判定，熟练地掌握菱形的判定定理是解决问题的关键．
变式4-2．(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是______________．（只需写出一个条件即可）
答案:AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等（只需写出一个条件即可）
分析：由菱形的判定方法进行判断即可．
【详解】解：可以添加的条件是：AB＝CD，理由如下：
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
也可以添加条件是：，理由如下：
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
也可以添加的条件是OA=OC，理由如下：
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
也可以添加的条件是OB=OD，理由如下：
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等．（只需写出一个条件即可）
【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，熟记“对角线互相垂直的平行四边形为菱形”，是解题的关键．
变式4-3．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，补充后使四边形成为菱形，则其选择是___（限填序号）．
答案:①
分析：根据菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质即可得．
【详解】解：①时，平行四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
②时，平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
③由平行四边形的性质可知，，则不能作为构成菱形的条件；
故答案为：①．
【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．
30．(2023·浙江舟山·中考真题）小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，求证：四边形是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
答案:赞成小洁的说法，补充，见解析
分析：赞成小洁的说法，补充：，由四边相等的四边形是菱形即可判断．
【详解】赞成小洁的说法，补充：．
证明：，，
，．
又∵．
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查菱形的判定以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
变式4-4．(2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，点，分别在的边，上，，连接，．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形．
(1)你添加的条件是______（填序号）；
(2)添加了条件后，请证明为菱形．
答案:(1)①
(2)见解析
分析：（1）添加合适的条件即可；
（2）证，得，再由菱形的判定即可得出结论．
(1)
解：添加的条件是．
故答案为：①．
(2)
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
考查题型五 菱形的证明
典例5．(2023·辽宁·统考中考真题）如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是_______．
答案:16
分析：连接EF交CD于O，先证明四边形CFDE为菱形，从而求出CO的长度，然后根据余弦定义求出CE即可得出答案．
【详解】解：连接EF交CD于O，如图：
∵DEAC，DFBC，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠FCD＝∠ECD，
∵DEAC，
∴∠FCD＝∠CDE，
∴∠ECD＝∠CDE，
∴CE＝DE，
∴四边形CEDF是菱形，
∴CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝，
在Rt△COE中，
CE＝＝＝4，
∴四边形CEDF的周长是4CE＝4×4＝16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，余弦的定义等知识，解题的关键是判断出四边形CEDF为菱形．
变式5-1．(2023·四川广元·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE．
(1)求证：四边形AECD为菱形；
(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
答案:(1)见详解
(2)△ABC的面积为
分析：（1）由题意易得CD=AE，∠DAC=∠EAC=∠DCA，则有四边形AECD是平行四边形，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得，则有△BCE是等边三角形，然后可得△ACB是直角三角形，则，进而问题可求解．
（1）
证明：∵ABCD，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠EAC，∠EAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∵AB＝2CD，E为AB中点，
∴，
∵，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵DA=DC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）
解：由（1）知：，
∵∠D＝120°，
∴，
∵E为AB中点，
∴，
∴△BCE是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键．
变式5-2．(2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值．
答案:(1)证明见解析
(2)
分析：（1）先根据四边形为平行四边形的性质和证明四边形为平行四边形，再根据，即可得证；
（2）先根据菱形对称性得，得到，进一步说明的最小值即为菱形的高，再利用三角函数即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
又∵点在的延长线上，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形．
（2）解：如图，由菱形对称性得，点关于的对称点在上，
∴，
当、、共线时，
，
过点作，垂足为，
∵，
∴的最小值即为平行线间的距离的长，
∵是边长为2的等边三角形，
∴在中，，，，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了最值问题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角函数等知识，运用了转化的思想方法．将最值问题转化为求菱形的高是解答本题的关键．
变式5-3．(2023·吉林长春·统考中考真题）如图，在Rt中，，．点D是的中点，过点D作交于点E.延长至点F，使得，连接、、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，则的值为_______．
答案:(1)见解析
(2)
分析：（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证；
（2）设，则，根据菱形的性质可得，，勾股定理求得，根据，，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
四边形是菱形；
（2）解：，
设，则，
四边形是菱形；
，，
，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，求正切，掌握以上知识是解题的关键．
变式5-4．(2023·江苏南通·统考中考真题）【阅读材料】
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形是菱形．
答案:见解析
分析：由作图可知AD＝AB＝BC，然后根据可得四边形ABCD是平行四边形，再由AD＝AB可得结论．
【详解】解：由作图可知AD＝AB＝BC，
∵，即，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点睛】本题考查了尺规作线段，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．
变式5-5．(2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且，连接BF．FD，DE，EB．
求证：四边形DEBF是菱形．
答案:见解析
分析：先证明四边形DEBF是平行四边形，再结合可得结论．
【详解】连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是茥形，
∴，，，
又∵，
∴，即，
∴四边形DEBF是平行四边形．
又∵，即，
∴四边形DEBF是菱形．
【点睛】本题主要考查了证明四边形是菱形，证明四边形DEBF是平行四边形是解题的关键．
变式5-6．(2023·山东临沂·统考中考真题）如图，已知在⊙O中， ，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．
答案:（1）见解析；（2）见解析
分析：（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD，根据平行线的判定可得结论；
（2）证明△DEF≌△BCF，得到DE=BC，证明四边形BCDE为平行四边形，再根据得到BC=CD，从而证明菱形．
【详解】解：（1）连接BD，
∵，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）连接CD，
∵AD∥BC，
∴∠EDF=∠CBF，
∵，
∴BC=CD，
∴BF=DF，又∠DFE=∠BFC，
∴△DEF≌△BCF（ASA），
∴DE=BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，又BC=CD，
∴四边形BCDE是菱形．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF．
变式5-7．(2023·广西贺州·统考中考真题）如图，在四边形中，，，，交于点，过点作，垂足为，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的面积．
答案:（1）见解析；（2）
分析：（1）先利用角平分线判定定理证得，再由已知角的等量关系推出，并可得，则可证明四边形是平行四边形，最后由得，即可证得结论；
（2）由菱形的性质可得，再根据角的等量关系求出，则可利用三角函数求得，此题得解．
【详解】（1）证明：如图，
∵，
∴，
又∵，且，
∴为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：由（1）得四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了菱形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．
变式5-8．(2023·贵州遵义·统考中考真题）在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：
①画线段AB；
②分别以点A，B为圆心，大于AB长的一半为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点O；
③在直线MN上取一点C（不与点O重合），连接AC、BC；
④过点A作平行于BC的直线AD，交直线MN于点D，连接BD．
（1）根据以上作法，证明四边形ADBC是菱形；
（2）该同学在图形上继续探究，他以点O为圆心作四边形ADBC的内切圆，构成如图所示的阴影部分，若AB＝2，∠BAD＝30°，求图中阴影部分的面积．
答案:（1）见解析；（2）
分析：（1）根据作法可得AC=BC，证明△ADO≌△BCO，根据对角线垂直平分的四边形ADBC是菱形即可证明结论；
（2）结合（1）四边形ADBC是菱形，根据AB=2，∠BAD=30°，先求出圆O的半径，进而可以求图中阴影部分的面积．
【详解】解：（1）证明：根据作法可知：直线MN是AB的垂直平分线，
∴AC=BC，OA=OB，MN⊥AB，
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠BCO，
在△ADO和△BCO中，
，
∴△ADO≌△BCO（AAS），
∴OD=OC，
∵OA=OB，MN⊥AB，
∴四边形ADBC是菱形；
（2）∵四边形ADBC是菱形，
∴，
∵∠BAD=30°，
设圆O切AD于点H，连接OH，
则OH⊥AD，
∴，
∴S圆O=，
在Rt△AOD中，∠DOA=30°，OA=，
∴，
∴CD=2OD=2，
∴S菱形ADBC=，
∴图中阴影部分的面积=S菱形ADBC-S圆O=．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，菱形的判定与性质，三角形内切圆与内心，切线的性质，圆的面积计算，解决本题的关键是证明四边形ADBC是菱形．
变式5-9．(2023·安徽·统考中考真题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
(1)如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形；
(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
答案:(1)见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）见解析
分析：（1）先根据DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根据“AAS”证明，得出DE=BC，得出四边形BCDE为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，得出四边形BCDE为菱形；
（2）（ⅰ）根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一，证明∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根据∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出；
（ⅱ）连接EF，根据已知条件和等腰三角形的性质，算出，得出，证明，再证明，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵DC=BC，CE⊥BD，
∴DO=BO，
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵CE⊥BD，
∴四边形BCDE为菱形．
（2）（ⅰ）根据解析（1）可知，BO=DO，
∴CE垂直平分BD，
∴BE=DE，
∵BO=DO，
∴∠BEO=∠DEO，
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠DEO，
∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，
∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，
∴．
（ⅱ）连接EF，
∵EG⊥AC，
∴，
∴，
∵
∵AE=AF，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴，
，
∴（AAS），
．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，作出辅助线，得出，得出，是解题的关键．
老师的问题：
已知：如图，．
求作：菱形，使点C，D分别在上．
小明的作法：
（1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点D；
（2）以B为圆心，长为半经画弧，交于点C；
（3）连接．
四边形就是所求作的菱形，