专题21 勾股定理（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用）

这是一份专题21 勾股定理（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用），共30页。试卷主要包含了勾股定理，勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，勾股数，互逆命题与互逆定理等内容，欢迎下载使用。
夯实基础
1．勾股定理
勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即： ．
【注意】（1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．
（2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．
2．勾股定理的证明
在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理．
对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构造特殊图形，并根据面积之间的关系进行推导的方法，著名的证法有赵爽“勾股圆方图”（“赵爽弦图”）、刘徽（“青朱出入图”）、加菲尔德总统拼图、毕达哥拉斯拼图等．
3．勾股定理的应用
勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题．其主要应用如下：
（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；
（2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；
（3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题；
（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题．
4．勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，我们称它为勾股定理的逆定理．
【注意】（1）若用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，那么其中最长边所对的角是直角．不能机械地认为c边所对的角必是直角，例如：若a2-b2=c2，则a边所对的角是直角．
（2）勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”，在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”，较短的两边为“直角边”．
5．勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数．
勾股数的求法：
（1）如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有a2=b+c，那么a，b，c为一组勾股数．如3为大于1的奇数，4，5为两个连续自然数，且32=4+5，则3，4，5为一组勾股数，还有：5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，60，61；…．
6．互逆命题与互逆定理
（1）互逆命题的定义
如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．
（2）互逆定理的定义
一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
吃透考点
1．直角三角形性质
①直角三角形的两锐角互余；
②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半；
③直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边长的一半．
2．勾股定理概念
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么
变式：
（1）；（2）．
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形．
3．勾股定理的证明
方法一：，，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为，
大正方形面积为，
所以．
方法三：，
，
化简得证．
4．勾股数
（1）概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
（2）常见的勾股数：如；；；等
（3）扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：
①（为正整数）．
②（为正整数）．
③（，为正整数）．
注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数．
考点1 勾股定理
【例1】（2023•海口二模）如图，在中，，，平分，则等于
A．6B．7C．8D．9
【答案】
【分析】根据等腰三角形的三线合一得到，，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：，平分，
，，
在中，，
故选：．
【变式练1】（2023•梁溪区模拟）如图，在中，已知，，则边上的高为
A．B．C．D．无法确定
【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质，可以得到的长，再根据勾股定理可以得到的长，然后根据等面积法即可求得边上的高．
【解答】解：作于点，作交的延长线于点，如图所示，
，，，
，
，
，
，
解得，
故选：．
【变式练2】（2023•灞桥区模拟）如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，则边长的高为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解答】解：，
，
边长的高，
故选：．
【变式练3】（2023•辽阳模拟）如图，在中，，通过尺规作图得到的直线分别交，于，．连接，若，则的长为
A．2B．3C．D．
【答案】
【分析】如图，连接，根据作图可知为的垂直平分线，从而得到，然后利用勾股定理求出，，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
【解答】解：如图，连接，由尺规作图可知为的垂直平分线，
，
，，
，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
为斜边上的中线，
，
故选：．
【变式练4】（2023•潮阳区一模）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，根据图中数据，可得出正方形的面积是
A．12B．24C．30D．10
【答案】
【分析】利用勾股定理，进行计算即可解答．
【解答】解：由勾股定理可得：
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，
正方形的边长的平方，
正方形的面积，
故选：．
【变式练5】（2023•凤台县校级三模）如图，线段与相交于点，，，，则的最小值是
A．B．5C．D．
【答案】
【分析】过点作，过点作，与相交于点，连接，则四边形为平行四边形，当三点，，在同一条直线上时，最小，由此解答即可．
【解答】解：如图，
过点作，过点作，与相交于点，连接，则四边形为平行四边形，
，
，
，
当三点，，在同一条直线上时，的长就是所求的最小值．
过点作于点．
，，
．
在中，，
．
．
在中，由勾股定理得，
即的最小值是．
故选：．
考点2 勾股定理的证明
【例2】（2023•攀枝花二模）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点、、在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
【答案】证明过程见解答．
【分析】先推出是直角三角形，然后根据，代入字母整理化简，即可证明结论成立．
【解答】证明：由已知可得，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
．
【变式练1】（2023•西区校级一模）如图是我国魏晋时期的数学家赵爽用四个两直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的正方形图形，并用此图证明勾股定理，请你用此“弦图”写出证明勾股定理的过程．
【答案】见解析．
【分析】根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于阴影部分面积个直角三角形的面积）即可得证．
【解答】证明：大正方形的面积等于，小正方形的面积等于，四个直角三角形的面积等于，
大正方形的面积减去小正方形的面积等于阴影部分面积，
即，
整理得．
【变式练2】（2022•启东市二模）如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上．
（1） ．
（2）利用正方形网格，证明（1）中的结论．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【分析】（1）利用网格解答即可；
（2）延长交格点于，连接，利用勾股定理及其逆定理判定为等腰直角三角形，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和解答即可．
【解答】（1）解：，
故答案为：；
（2）证明：延长交格点于，连接，如图，
则，，，
，，
，
为等腰直角三角形，
．
，
．
【变式练3】（2021•宜昌模拟）如图的图形取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，试求的值．
【分析】先利用正方形的面积得到直角三角形的斜边的平方为13，则，则利用大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积得到，所以．
【解答】解：大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，
直角三角形的斜边的平方为13，
直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，
，
大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积，
，即，
．
【变式练4】（2015•温州模拟）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现；当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：
证明：连接，过点作边上的高，
则．
．
又
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中．
求证：．
证明：连接 ，过点作边上的高

又

．
【分析】首先连接，过点作边上的高，则，两种方法表示出，两者相等，整理即可得证．
【解答】证明：如图2，连接，过点作边上的高
又
．
故答案为：，过点作边上的高，，，．
【变式练5】（2012•拱墅区校级模拟）（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ；在推得这个公式的过程中，主要运用了
．分类讨论思想 ．整体思想 ．数形结合思想 ．转化思想
（2）如图2，，，且，，在同一直线上．
求证：；
（3）伽菲尔德年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你尝试该证明过程．
【分析】（1）利用大正方形面积等于两个小正方形面积与两矩形面积之和得出即可，利用数形结合得出答案；
（2）利用，得出，进而得出，即可得出答案；
（3）利用图形面积即可证出勾股定理．
【解答】解：（1）利用大正方形面积等于两个小正方形面积与两矩形面积之和得出：
；
利用数形结合得出：在推得这个公式的过程中，主要运用了数形结合思想；
故答案为：；；
（2），
．
，
，
，
即．
（3），，
，
，
即．
考点3 勾股定理的逆定理
【例3】（2023•广陵区一模）如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是

A．B．
C．D．
【答案】
【分析】过作于，依据，，可得，进而得到当与重合时，最长为8，此时，，的面积最大．
【解答】解：如图，过作于，
，，
，
当与重合时，最长为8，
此时，，的面积最大，
，
四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10，
故选：．
【变式练1】（2023•襄阳模拟）如图，在中，，，边上的中线，则的面积为
A．30B．24C．20D．48
【分析】延长到，使，连接，如图所示，由为的中点，得到，再由一对对顶角相等，利用得出与全等，由全等三角形的对应边相等得到，由，的长，利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，即垂直于，利用垂直定义得到一对直角相等，的面积等于的面积，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：延长到，使，连接，
为的中点，
，
在与中，
，
，
．
又，，，
，
，
则．
故选：．
【变式练2】（2023•日喀则市模拟）有一个三角形两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边长为
A．3B．C．3或D．3或
【答案】
【分析】要使三角形为直角三角形，则该三角形其中两边的平方和等于第三边的平方．此题考虑两种情况：第三边是直角边或斜边．
【解答】解：当要求的边是斜边时，则第三边的长是；
当要求的边是直角边时，则第三边的长是．
故选：．
【变式练3】（2023•遵义模拟）小华想用老师提供的三条线段首尾相连围成一个直角三角形，则他应该选择的三条线段长度是
A．2、3、4B．3、4、5C．4、5、6D．5、6、7
【答案】
【分析】根据三边的长，运用勾股定理的逆定理进行分析解答即可．
【解答】解：，故选项不符合题意；
，故选项符合题意；
，故选项不符合题意；
，故选项不符合题意；
故选：．
【变式练4】（2023•雁塔区校级模拟）下列条件中不能判断是直角三角形的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据勾股定理的逆定理和题意，可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：，故是直角三角形，选项不符合题意；
，
，故是直角三角形，选项不符合题意；
，
是直角三角形，选项不符合题意；
，
最大角，故不是直角三角形，选项符合题意；
故选：．
【变式练5】（2023•邵阳县一模）下列长度的三条线段首尾相接不能构成直角三角形的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看是否相等即可．
【解答】解：．因为，所以以，，为边组成的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
．因为，所以以，，为边组成的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
．因为，所以以，，为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
．因为，所以以，，为边组成的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
考点4 勾股数
【例4】（2023•茅箭区校级模拟）观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： 11，60，61 ．
【答案】11，60，61．
【分析】先根据给出的数据找出规律，再根据勾股定理进行求解即可．
【解答】解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第6组勾股数的第一个数是13，
又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1，故设第二个数为，第三个数为，
根据勾股定理的逆定理，得：，
解得．
则得第5组数是：11，60，61．
故答案为：11，60，61．
【变式练1】（2021•饶平县校级模拟）在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是
A．5，6，7B．1，4，8C．5，12，13D．5，11，12
【答案】
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：、因为，所以不能组成直角三角形；
、因为，所以不能组成直角三角形；
、因为，所以能组成直角三角形；
、因为，所以不能组成直角三角形．
故选：．
【变式练2】（2022•石家庄三模）已知：整式，，，整式．
（1）当时，写出整式的值 （用科学记数法表示结果）；
（2）求整式；
（3）嘉淇发现：当取正整数时，整式、、满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）嘉淇的发现正确．证明过程见解析．
【分析】（1）根据题意可得，，把代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案；
（2）把，，代入中，可得，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案；
（3）先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案．
【解答】解：（1），
当时，
原式
；
故答案为：；
（2）
；
（3）嘉淇的发现正确，理由如下：
，
，
当取正整数时，整式、、满足一组勾股数．
【变式练3】（2022•南岸区校级模拟）我们知道，三个正整数、、满足，那么，、、成为一组勾股数；如果一个正整数能表示成两个非负整数、的平方和，即，那么称为广义勾股数，则下面的结论：
①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；
④两个广义勾股数的积是广义勾股数；⑤若，，，其中，，，，是正整数，则，，是一组勾股数．
其中正确的结论是
A．①③④⑤B．②④C．②③⑤D．②④⑤
【答案】
【分析】根据广义勾股数的定义进行判断即可．
【解答】解：①不能表示为两个正整数的平方和，
不是广义勾股数，故①结论错误；
②，
是广义勾股数，故②结论正确；
③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；
④，，，65是广义勾股数，两个广义勾股数的积是广义勾股数，
如2和2都是广义勾股数，但，4不是广义勾股数，故④结论正确；
⑤，
，
，
又知，，，，是正整数，则，，是一组勾股数．
故⑤结论正确；
依次正确的是②④⑤．
故选：．
【变式练4】（2020•鼓楼区一模）已知：整式，整式．尝试化简整式．发现．求整式．
联想由上可知，，当时，，，为直角三角形的三边长，如图，填写下表中的值；
【分析】先根据整式的混合运算法则求出，进而求出，再把的值代入即可解答．
【解答】解：，
，，
，
当时，，，；
当时，（负值舍去），，．
故答案为：15，17；12，37．
【变式练5】（2020•邢台一模）已知：整式，整式．
尝试：化简整式；
发现：，求整式；
应用：利用，填写下列表格：
【答案】尝试：；
发现：；
应用：；8．
【分析】根据整式的混合计算和一元二次方程解答即可．
【解答】解：．
，，
．
，
当时，解得：，
，
当时，解得：，（舍去），
，
故答案为：；8．
考点5 勾股定理的应用
【例5】（2023•郧阳区模拟）小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】运用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图：
根据勾股定理：，，
故，
故选：．
【变式练1】（2023•竹山县模拟）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有
A．B．C．D．
【答案】
【分析】画出长为的细木筷斜放在杯子内的示意图，即，根据勾股定理求得，可知细木筷在杯子内的部分最长为，所以木筷露在杯子外面的部分至少．
【解答】解：如图是长为的细木筷斜放在杯子内的示意图，
在中，，，
，
细木筷在杯子内的部分最长为，
，
木筷露在杯子外面的部分至少，
故选：．
【变式练2】（2023•龙华区校级模拟）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它沿水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为
A．1米B．1.5米C．2米D．4米
【答案】
【分析】过点作于点，易得米，再利用勾股定理求出的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点作于点，
则，四边形为矩形，米．
米，
（米，
（米，
即此时木马上升的高度为1米，
故选：．
【变式练3】（2023•花溪区模拟）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】设绳索的长是，则，求出，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设绳索的长是，则，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，解得：，
即绳索的长是，
故选：．
【变式练4】（2023•定西模拟）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杆折断之前的高度是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】旗杆的长，利用勾股定理求出即可解决问题．
【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，，
所以旗杆折断之前高度为．
故选：．
【变式练5】（2023•宝鸡一模）如图，，，，一机器人在点处看见一个小球从点出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是
A．12米B．13米C．14米D．15米
【答案】
【分析】设，则，再利用在中，列出方程解答即可．
【解答】解：设，则，
依题意知，
在中，，
即，解得，
米．
故选：．
方
法
技
巧
点
拨
1．已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先明确所求边是斜边还是直角边，再决定用勾股定理的原式还是变式．
2．勾股定理的证明是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积关系，将“形”的问题转化为“数”的问题．
3．利用勾股定理解应用题的关键是寻找直角三角形，若不存在直角三角形，可通过添加辅助线构造出直角三角形．
4．利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形的一般步骤：
①确定三角形的最长边；
②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；
③通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等；
④作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形．
5．常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15．常见的勾股数需牢记，平时在解决问题时常用，有利于打开思路．
6．互逆命题与互逆定理的关系
（1）命题有真有假，而定理都是真命题；
（2）每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都是逆定理；
（3）互逆的两个命题不一定同真或同假，互逆的两个定理都是真命题．
直角三角形三边
勾股数组Ⅰ
15
8

勾股数组Ⅱ
35


直角三角形三边
勾股数组Ⅰ
15
8
17
勾股数组Ⅱ
35
12
37

40