中考数学一轮复习考点（全国通用）考向25 特殊的平行四边形专题特训（含答案）

这是一份中考数学一轮复习考点（全国通用）考向25 特殊的平行四边形专题特训（含答案），共80页。
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
2.矩形的性质： 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线互相平分且相等；矩形是轴对有两称图形，即经过对边中点的两条直线是对称轴。（也是中心对称图形）
3.矩形判定定理：
eq \\ac(○,1).有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
eq \\ac(○,2).对角线相等的平行四边形是矩形。
.有三个角是直角的四边形是矩形。
4菱形的定义 ：邻边相等的平行四边形。
5.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是对称轴。（也是中心对称图形）
6.菱形的判定定理：
eq \\ac(○,1).一组邻边相等的平行四边形是菱形。
eq \\ac(○,2.)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
eq \\ac(○,3.)四条边相等的四边形是菱形。
7.（a、b为两条对角线）=底×高
8.正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
9.正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。 正方形既是矩形，又是菱形。
10.正方形判定定理：
（1）邻边相等的矩形是正方形。
（2）有一个角是直角的菱形是正方形。
或者先证一个四边形是矩形，再证一个四边形是菱形。反过来证也行
技巧、（1)顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的中点四边形是矩形；
（2）顺次连接对角线互相等的四边形四边中点所得的中点四边形是菱形。
【题型探究】
题型一：矩形的性质
1．（2023·广东深圳·校考一模）如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·广东佛山·校考一模）如图，在矩形中，，点E为的中点，点F为边上一点，，将线段绕点E顺时针旋转得到，点H恰好在线段上，过H作直线于点M，交于点N，则的长为（ ）
A．2B．5C．6D．8
3．（2022·山东菏泽·统考二模）如图，已知矩形中，点E是边上的点，，垂足为F下列结论：①；②；③平分；④其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型二：矩形的判定
4．（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）如图，中的对角线相交于点O，点E、F在上，且，连接，下列条件能判定四边形为矩形的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
6．（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ）
A．当时，四边形ABMP为矩形
B．当时，四边形CDPM为平行四边形
C．当时，
D．当时，或6s
题型三：矩形的判定和性质综合问题
7．（2023·全国·九年级专题练习）如图，菱形中，、相交于点，过点作，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，当，，求的值．
8．（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．
(1)直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；
(2)若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；
(3)当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？
9．（2022·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴重合，与y轴重合，，D是上一点，且，的长是一元二次方程的两个根（）
(1)求线段，，的长；
(2)在线段上有一动点P（不与A、B重合），点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向匀速运动，到终点B停止，设运动的时间为t秒，过P点作交于E，交于F，求四边形的面积S与时间t的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，在点P运动的过程中，x轴上是否存在点Q，使以A、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Ｑ的坐标，若不存在，请说明理由．
题型四;菱形的性质
10．（2022·贵州铜仁·校考模拟预测）如图，菱形的面积为，正方形的面积为，则菱形的边长是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·广东佛山·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点O在坐标原点，一边在x轴的正半轴上，，反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与交于点F，则的面积等于（ ）
A．30B．40C．60D．80
12．（2022·山东济南·校考一模）如图，菱形的边长为，、分别是、上的点，连接、、，与相交于点，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
题型五：菱形的判定
13．（2022·河南信阳·统考模拟预测）关于菱形的判定，以下说法不正确的是（ ）
A．两组对边分别平行且相等的四边形是菱形B．四条边相等的四边形是菱形
C．对角线垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
14．（2023·全国·九年级专题练习）如图，平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连接EC，CD，若AB=BC，那么在以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BDEC是菱形；③；④DC平分∠BDE，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
15．（2022·河南南阳·统考一模）如图（1），点P从平行四边形ABCD的顶点A出发，以1cm/s的速度沿A－B－C－D路径匀速运动到D点停止. 图（2）是△PAD的面积S (cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系图象.下列说法：①平行四边形ABCD是菱形；②；③BC上的高；④当时，.其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型六：菱形的判定和性质的综合问题
16．（2022·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）如图，在中，平分，的垂直平分线分别交，，于点，F，G，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求的长．
17．（2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）已知，如图（1）在平行四边形中，点分别在上，且．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)如图（2），若，延长交于点G，求证：．
(3)在第（2）小题的条件下，连接，交于点H，若，求的长．
题型七：正方形的性质
18．（2023·广东深圳·校考一模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（ ）
A．B．C．1D．
19．（2023·全国·九年级专题练习）如图，正方形的边长为，点、分别为边、上的点，点分别为边、上的点，线段与的夹角为则（ ）
A．B．C．D．
20．（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）如图，已知正方形的边长为，为边上一点（不与端点重合），将沿翻折至，延长交边于点，连接，．则下列给出的判断：①；②若，则；③若为的中点，则的面积为；④若，则，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
题型八：正方形的判定
21．（2022秋·九年级课时练习）四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD＝BC，使四边形ABCD为正方形，下列条件中：①AC＝BD；②AB＝AD； ③AB＝CD；④AC⊥BD．需要满足（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①②或①④
22．（2021·安徽马鞍山·统考三模）已知，在□ABCD中，∠BAC=90°，AC的中点为O，点E，F是对边BC，AD上的点，则下列判断不正确的是（ ）
A．当BE=DF时，EF经过点O
B．当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形
C．当AE⊥BC，EF经过点O时，四边形AECF是矩形
D．当E，F是BC，AD的中点，且EF=AC时，四边形AECF是正方形
23．（2022秋·辽宁辽阳·九年级校考阶段练习）如图，以的三边为边分别作等边、、，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．四边形为矩形
C．四边形为菱形
D．当，时，四边形是正方形
24．（2022·广东东莞·可园中学校考一模）如图1，的边长，对角线平分，点从点出发沿方向以1个单位秒的速度运动，点从点出发沿方向以2个单位秒的速度运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若对角线，当为多少秒时，为等腰三角形；
(3)如图2，若，点是是中点，作交于．点在边上运动过程中，线段存在最小值，请你直接写出这个最小值．
题型九：正方形的性质和判定综合
25．（2022·四川德阳·模拟预测）已知：四边形是正方形，点在边上，点在边上，且．

(1)如图，与有怎样的关系．写出你的结果，并加以证明；
(2)如图，对角线与交于点．，分别与，交于点，点．
①求证：；
②连接，若，，求的长．
26．（2022·吉林长春·统考模拟预测）在四边形ABCD中，，，点E为BC上一点（不与点B，点C重合），连接AE，将沿AE翻折得到，延长交CD于点F．
(1)如图①，当时，四边形ABCD的形状为______；
(2)在（1）的条件下，随着点E位置的变化，的周长是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出它的值；
(3)如图②，当时，请直接写出的周长．
27．（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且．
(1)当时，求证：；
(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，，垂足为K，交AC于点H且．若，，请用含a，b的代数式表示EF的长．
题型十：特殊平行四边形的综合
28．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，在矩形中，，，是上一点，．是上的动点，连接，是上一点且（为常数，），分别过点，作，的垂线，交点为．设的长为，的长为．
(1)若，，则的值是__________．
(2)若时，求的最大值．
(3)在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点，求此时的值．
29．（2023·江苏徐州·徐州市第十三中学校考一模）如图，矩形中，，点E是的中点，P是射线上一点，延长交直线于F，过P作，分别交射线、直线于G、H．
(1)①当时，= ；
②点P在上取不同位置，的值是否变化？若不变，求出它的值，若改变，请说明理由；
(2)连接，当是等腰直角三角形时，求的长；
(3)直接写出的最小值 ．
30．（2023·山东泰安·东平县实验中学校考二模）在正方形中，是边上一点（点不与点、重合），连结．
感知：如图①，过点作交于点．求证．
探究：如图②，取的中点，过点作交于点，交于点．
（1）求证：．
（2）连结，若，求的长．
应用如图③，取的中点，连结．过点作交于点，连结、．若，求四边形的面积．
【必刷基础】
一、单选题
31．（2023·四川成都·统考一模）下列说法中，正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
32．（2023·云南·校考一模）如图，菱形对角线交点与坐标原点O重合，点，则点C的坐标是（ ）
A．B．C．D．
33．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ）
A．B．C．D．
34．（2023·河南·校考模拟预测）如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是，边的中点，连接．若，，则菱形的周长为（ ）
A．4B．C．D．28
35．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，D、E、F分别是各边中点，则以下说法中不正确的是（ ）
A．和的面积相等B．四边形是平行四边形
C．若，则四边形是矩形D．若，则四边形是菱形
36．（2022·广东佛山·校考一模）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边AB，BC，CD，DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（ ）
A．不一定是平行四边形B．当AC＝BD时，它为菱形
C．一定是轴对称图形D．不一定是中心对称图形
37．（2023·广东江门·江门市华侨中学校考一模）如图，已知四边形的对角线，交于点O，O是的中点，E，F是上的点，且，．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形ABCD是矩形．
38．（2023·四川成都·统考一模）如图，在中，，点O、C分别是、边的中点．过点D作交的延长线于点A，连接、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的面积．
39．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）如图（1），已知正方形，对角线交于点O，点E是线段上的点，以为边作等边（点F在点E上方），连接．
(1)求的度数；
(2)如图（2），当时，设分别交于点G、H．
①求证：；
②求的值
【必刷培优】
一、单选题
40．（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）如图，矩形 的边 上有一点E， ， 垂足为F，将 绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接 ．下列结论：① ；②四边形 是正方形；③ ；④ ．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．③④
41．（2022·辽宁营口·校考模拟预测）如图，在正方形中，E是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接，，现在有如下4个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
42．（2022·内蒙古包头·模拟预测）如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足，连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点．在下列结论中：①；②；③；④平分．其中不正确的结论有（ ）
A．个B．个C．个D．个
43．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在正方形中，，与直线所夹锐角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，依次规律，则线段（ ）
A．B．C．D．
二、解答题
44．（2023·湖南衡阳·衡阳市华新实验中学校考一模）已知：如图，矩形中和中，点C在上，，，，连接，点M从点D出发，沿方向匀速运动，速度为，同时，点N从点E出发，沿方向匀速运动，速度为，过点M作交于点H，交于点G．设运动时间t（s）为（）．
解答下列问题：
(1)当t为何值时，？
(2)连接，作交于Q，当四边形为矩形时，求t的值；
(3)连接，，设四边形的面积为S（），求S与t的函数关系式．
45．（2023·湖南湘潭·湘潭县云龙中学校考一模）如图，将矩形沿折叠，使点D落在对角线上的点E处．过点E作交于点G，连接．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)探究线段、、之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，，求的长．
46．（2023·陕西西安·校考一模）（1）如图1，的半径为，，点为上任意一点，则的最小值为 ．
（2）如图2，已知矩形，点为上方一点，连接，，作于点，点是的内心，求的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，若矩形的边长，，，求此时的最小值．
三、填空题
47．（2023·山东东营·校考一模）如图，在边长为4的菱形中，，M是边上的一点，且，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是 ___________．
48．（2023·山东泰安·校考一模）如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，把矩形沿折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为_____．
49．（2023·江苏徐州·徐州市第十三中学校考一模）如图，在菱形中，M、N分别为、的中点，若，则菱形的周长为_____．
50．（2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）已知菱形的边长为1，，为上的动点，在上，且，设的面积为，，当点运动时，则与的函数关系式是__________．
51．（2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）如图，把一个矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴，y轴上，连接，将纸片沿翻折，点A落在点位置，若，，直线与y轴交于点F，则点F的坐标为__________．
52．（2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形，以此类推…、则正方形的顶点的坐标是__．
53．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，正方形中，P为边上一点，点E与B关于直线对称，射线与的延长线相交于点F．若，，则的长为 _____．
54．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，E为边上一点，将沿折叠，使点A的对应点F恰好落在边上，连接交于点G．若，则的长度为___
参考答案：
1．C
【分析】根据矩形的性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵矩形的对角线，相交于点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
2．C
【分析】过H点作，则，设．先证明，则，得到，则，证明，即可得到答案．
【详解】解：过H点作，则，设．
∵，，E为边的中点，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即
解得，
∴的长是6，
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握相似三角形和全等三角形的判定和性质是解题的关键．
3．B
【分析】根据矩形的性质证明≌，，利用勾股定理求出，然后逐一进行判断即可解决问题．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
≌，
，，故①②正确，
不妨设平分，则是等腰直角三角形，这个显然不可能，故③错误，
，，
，
，
，故④错误，
正确的结论有①②共个．
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．B
【分析】先证四边形是平行四边形，再根据矩形的判定、菱形的判定分别对各个选项进行推理论证即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
四边形是平行四边形，
A、时，不能判定四边形为矩形；故选项不符合题意；
B、时，，
四边形为矩形；故选项符合题意；
C、时，四边形为菱形；故选项不符合题意；
D、时，四边形为菱形；故选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
5．D
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
6．D
【分析】计算AP和BM的长，得到AP≠BM，判断选项A；计算PD和CM的长，得到PD≠CM，判断选项B；按PM=CD，且PM与CD不平行，或PM=CD，且PM∥CD分类讨论判断选项C和D．
【详解】解：由题意得PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，∠A=∠B=90°，
A、当时，AP=10-t=6 cm，BM=4 cm，AP≠BM，则四边形ABMP不是矩形，该选项不符合题意；
B、当时，PD=5 cm，CM=8-5=3 cm，PD≠CM，则四边形CDPM不是平行四边形，该选项不符合题意；
作CE⊥AD于点E，则∠CEA=∠A=∠B=90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴BC=AE=8 cm，
∴DE=2 cm，
当PM=CD，且PM与CD不平行时，作MF⊥AD于点F，CE⊥AD于点E，
∴四边形CEFM是矩形，
∴FM=CE；
∴Rt△PFM≌Rt△DEC（HL），
∴PF=DE=2，EF=CM=8-t，
∴AP=10-4-(8-t)=10-t，
解得t=6 s；
当PM=CD，且PM∥CD时，
∴四边形CDPM是平行四边形，
∴DP=CM，
∴t=8-t，
解得t=4 s；
综上，当PM=CD时，t=4s或6s；选项C不符合题意；选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，应注意分类讨论，求出所有符合条件的t的值．
7．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证，再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论；
（2）由锐角三角函数定义得，则，再由勾股定理得，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；
（2）解：如图，
四边形是菱形，
，，，
在中，，，
，
，
，
由（1）可知，四边形是矩形，
，，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键．
8．(1)答案不唯一，如△AFB∽△BCE
(2)CE＝7.5
(3)当CE的长为长为或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形
【分析】（1）因为△AFB是直角三角形，所以和它相似的三角形都是直角三角形，有三个直角三角形和△AFB相似，解答时任意写出一个即可；
（2）根据△AFB∽△BGC，得，即，设AF＝5x，BG＝3x，根据△AFB∽△BCE∽△BGC，列比例式可得CE的长；
（3）分两种情况：①当C'F＝BC'时，如图2，②当C'F＝BF时，如图3，根据三角形相似列比例式可得结论．
【详解】（1）解：（任意回答一个即可）；
①如图1，△AFB∽△BCE，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠BCE＝∠ABC＝90°，
∴∠BEC＝∠ABF，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠BCE＝90°，
∴△AFB∽△BCE；
②△AFB∽△CGE，理由如下：
∵CG⊥BE，
∴∠CGE＝90°，
∴∠CGE＝∠AFB，
∵∠CEG＝∠ABF，
∴△AFB∽△CGE；
③△AFB∽△BGC，理由如下：
∵∠ABF+∠CBG＝∠CBG+∠BCG＝90°，
∴∠ABF＝∠BCG，
∵∠AFB＝∠CGB＝90°，
∴△AFB∽△BGC；
（2）∵四边形AFCC'是平行四边形，
∴AF＝CC'，
由（1）知：△AFB∽△BGC，
∴ ，即，
设AF＝5x，BG＝3x，
∴CC'＝AF＝5x，
∵CG＝C'G，
∴CG＝C'G＝2.5x，
∵△AFB∽△BCE∽△BGC，
∴ ，即，
∴CE＝7.5；
（3）分两种情况：
①当C'F＝BC'时，如图2，
∵C'G⊥BE，
∴BG＝GF，
∵CG＝C'G，
∴四边形BCFC'是菱形，
∴CF＝CB＝9，
由（2）知：设AF＝5x，BG＝3x，
∴BF＝6x，
∵△AFB∽△BCE，
∴ ，即，
∴，
∴CE＝；
②当C'F＝BF时，如图3，
由（1）知：△AFB∽△BGC，
∴ ，
设BF＝5a，CG＝3a，
∴C'F＝5a，
∵CG＝C'G，BE⊥CC'，
∴CF＝C'F＝5a，
∴FG＝＝4a，
∵tan∠CBE＝，
∴，
∴CE＝3；
综上，当CE的长为长为或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
9．(1)4，5，；
(2)S四边形DEPF=（0