2024届北京市第十九中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届北京市第十九中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由复数的乘除运算化简，再由复数的几何性质得到其点的坐标即可.
【详解】由题意，，
所以对应的点的坐标为.
故选：B.
2．已知向量．若，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据向量共线的坐标表示，列式计算，即得答案.
【详解】由题意知向量，，
故，
故选：D
3．已知全集，集合，，则集合可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据集合的定义和运算规律求解即可.
【详解】∵，
∴
又∵
∴
故选：C.
4．已知命题，则是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定是存在性量词命题即可选出答案.
【详解】解：由题意得：
全称量词命题的否定是存在性量词命题：
故，则
故选：C
5．下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件逐一分析各选项即可判断作答.
【详解】对于A，函数是奇函数，但在其定义域上不单调，A不正确；
对于B，函数定义域是R，是奇函数，当时，在上单调递增，当时，在上也单调递增，
即函数在其定义域R上单调递增，B正确；
对于C，函数是奇函数，但在其定义域上不单调，C不正确；
对于D，函数定义域是，它是奇函数，在和上单调递增，但在其定义域上不单调，D不正确.
故选：B
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分条件、必要条件的定义直接判断即可得解.
【详解】若，则当时，有，即推不出，
若，则当时，有，即也推不出，
“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
7．已知是递增的等比数列，且，则其公比满足（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先确定,由得,根据的单调性确定的取值范围.
【详解】是等比数列，故，当时， 各项正负项间隔,为摆动数列,故,显然，
由得，又是递增的等比数列，故为递减数列,由指数函数的单调性知.
故选:D
8．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是函数的图象的一条对称轴
C．在上是减函数D．在上是增函数
【答案】D
【分析】根据平移变换求出的解析式可判断A；利用正弦函数的对称轴可判断B；求的单调区间可判断C，D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：因为将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，
所以，故选项A不正确；
对于B：，可得，所以不是函数的图象的一条对称轴，故选项B不正确；
对于C：令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，故选项C不正确；
对于D：由C知：当时，，所以在上是增函数，故选项D正确；
故选：D.
9．下列不等关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】对于A，作差变形，借助对数函数单调性判断；对于C，利用均值不等式计算即可判断；对于B，D，根据给定条件构造函数，借助导数探讨函数单调性判断作答.
【详解】对于A，，而函数在单调递增，显然，
则，A不正确；
当时，令，，当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，都有， 则，成立
取，则，取，则，即，
于是得，B正确；
对于C，显然，，，C不正确；
当时，令，，则在上单调递减，，于是得，
所以，D不正确.
故选：B
10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果.
【详解】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为 ，
所以，单位圆的内接正边形的周长为，
单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，
，
则.
故选：A.
【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
二、填空题
11．已知Sn是数列{an}的前n项和．若Sn＝2n，则 ．
【答案】2
【分析】根据求解即可．
【详解】解：∵ Sn＝2n，
∴ ，，
∴ ，
故答案为：2．
12．已知函数，则函数的零点个数为 .
【答案】2
【分析】根据给定条件直接解方程即可得函数的零点个数.
【详解】解方程，当时，，而，于是得，即，
当时，，解得，
所以函数的零点个数为2.
故答案为：2
三、双空题
13．已知中，，，，则 ， .
【答案】
【分析】根据数量积的定义可计算的值，由利用数量积的定义计算即可求解.
【详解】因为，，，
所以；
，
故答案为：；.
14．已知命题：若满足，则是直角三角形.能说明为假命题的一组角为 ，B= .
【答案】
【分析】答案不唯一，找到反例，即可说明
【详解】当，时，，但，此时不是直角三角形，说明为假命题.
故答案为：，
四、填空题
15．函数图象上不同两点，处切线的斜率分别是，规定（为线段的长度）叫做曲线在点与之间的“平方弯曲度”，给出以下命题：
①函数图象上两点与的横坐标分别为1和2，则；
②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“平方弯曲度”为常数；
③设点，是抛物线上不同的两点，则；
④设曲线（是自然对数的底数）上不同两点，，且，则的最大值为.
其中真命题的序号为 （将所有真命题的序号都填上）
【答案】①②④
【分析】①.根据新定义利用导数求出函数的“弯曲度”即可判断.②.举例判断.③.根据新定义利用导数求出函数的“弯曲度”即可判断.④根据新定义利用导数求出函数的“弯曲度”即可判断.
【详解】①由得，故，，又，，故，∴.故①正确.
②常数函数满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，故②正确；
③设，，又，∴，，∴，取，，则，故③错误.
④因为，所以，由题意可得，令，则，当且仅当，即时，取等号.故④正确.
故答案为：①②④
【点睛】本题主要考查新定义问题，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于难题.
五、解答题
16．已知等差数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求数列的前n项和Sn，
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为d，则由已知条件结合等差数列的通项公式可求出，从而可求出数列的通项公式；
（2）结合等比数列的通项公式和（1），可求得，然后利用分组求和法求解即可
【详解】（1）设等差数列的公差为d．
由，可得，
即，解得．
所以
（2）若数列是公比为3的等比数列，且，
则．
由（1）可得，
．
17．已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知．条件①：；条件②：的最小正周期为；条件③：的图象经过点．
(1)求的解析式并求的单调递增区间；
(2)若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简为只含一个三角函数形式，若选①②，则可先确定a的值，再确定，即得答案；若选②③：则可先确定的值，再确定a，即得答案；若选①③，则可先确定a的值，再利用点的坐标代入确定，即得答案；
（2）根据x的范围，确定的范围，结合在区间上有且只有一个零点。列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得
，
若选①②，由得；
由的最小正周期为得，
即；
若选②③，由的最小正周期为，得，
由的图象经过点，得，
故；
若选①③，由得；
由的图象经过点，得，
故，则，
由于，故，则；
令，则，
故的单调递增区间为.
（2）当时，，
因为在区间上有且只有一个零点，
故，即.
18．已知函数，
(1)直接写出曲线与曲线的公共点坐标，并求曲线在公共点处的切线方程；
(2)已知直线分别交曲线和于点，.当时，设的面积为，其中O是坐标原点，求的最大值.
【答案】(1)公共点坐标为，公共点处的切线
(2)
【分析】（1）联立与的解析式可得公共点坐标，由导数的几何意义可得切线的斜率，结合公共点坐标由点斜式可得直线方程；
（2）由题意可得，根据化简，利用导数判断单调性即可得最值.
【详解】（1）由即可得，所以，
所以公共点坐标为，
因为，所以在公共点处切线的斜率为，
所以曲线在公共点处的切线方程为，即
（2）的面积为，
因为，所以，，所以，
所以，
，
由即可得；由即可得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以当时，的最大值为.
19．如图，在平面四边形中，已知，，，点在上且，，.

(1)求的值：
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）中利用正弦定理即可求得的值，利用余弦定理求得，再求出，从而求出；
（2）依据两角和公式求得，再求出，在中求出，即可求出的面积．
【详解】（1）因为，点在上且，所以，，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
即，解得或（舍去），
由余弦定理得，
所以，
所以；
（2）因为
，
显然为锐角，所以，
在中，，，解得，
所以的面积为.
20．设函数，
(1)当时，求函数的单调增区间；
(2)若函数在区间上为减函数，求的取值范围；
(3)若函数在区间内存在两个极值点，，且，求的取值范围.
【答案】(1)，.
(2)
(3)
【分析】(1)把代入求导，再求出导函数大于0的不等式解集即可；
(2)由函数的导函数在上恒小于等于0即可出a的范围；
(3)根据给定条件可得函数在区间内的两个极值一正一负，再列出不等式求解即得.
【详解】（1）当时，，则，由解得：或，
所以函数的单调增区间是，.
（2）函数，则，因函数在区间上为减函数，则，成立，
即，，显然在上单调递减，即，，则，
所以a的取值范围是.
（3）由(2)知，，因函数在区间内存在两个极值点，，则在区间内有两个不等根，，
即有，解得，且有，
不妨令，则，当或时，，当时，，
则在处取得极大值，在取得极小值，显然，，
由两边平方得，
而，即，
整理得：，
把代入上述不等式并整理得：，解得，
综上得，
所以实数a的取值范围是.
【点睛】含有多个变量的处理方法是减少变量的个数，减少变量方法有：
（1）若这些变量之间有关系可以用它们之间的关系消元，如在本题中不等式含有三个变量，可以通过韦达定理代入的办法消去，，只剩下关系的不等式.
（2）若这些变量之间没有关系可以通过构造比值或差值消元，如证明不等式时可变形为后构造消元，只剩下关于的不等式；证明不等式时可变形为后构造消元，只剩下关于的不等式.
21．设正整数，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；.若的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集.
(1)当时，已知集合，.分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；
(2)当时，已知集合.若不是的完美子集，求的值；
(3)已知集合，其中.若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.
【答案】(1)是的完美子集，不是的完美子集
(2)
(3)一定为的完美子集，理由见解析
【分析】（1）根据完美子集得定义，设，列出方程组求得即可判断；
（2）由题意存在，使得，列出方程组，解方程组求出的值即可求解；
（3）假设存在不全为的实数满足，不妨设，则，由结合已知条件即可得出结论.
【详解】（1），
即，
所以
，
所以，
所以是的完美子集，
，
即，
所以
，
所以，解得，
所以不是的完美子集；
（2）由
得，
则
，
因为不是的完美子集，
所以存在，使得，
即，
由集合的互异性可得且且，
所以且，
由，得，
所以，，
所以，
即，
所以，所以或，
当时，，解得，
所以存在，使得，
当时，因为，所以，不符题意，
所以；
（3）一定为的完美子集，
假设存在不全为的实数满足，
不妨设，则，否则与假设矛盾，
由，其中，
得，则，
所以，
这与，即矛盾，
所以假设不成立，
所以，所以，
所以一定为的完美子集.
【点睛】关键点点睛：求解集合新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归和转化思想，将不熟悉的数学问题转化为熟悉的问题求解.