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    2023届北京市中关村中学高三上学期10月月考数学试题含解析

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    这是一份2023届北京市中关村中学高三上学期10月月考数学试题含解析,共17页。试卷主要包含了单选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2023届北京市中关村中学高三上学期10月月考数学试题

     

    一、单选题

    1.已知集合,且,则可以是

    A B C D

    【答案】A

    【分析】利用子集概念即可作出判断.

    【详解】

    故选A

    【点睛】本题考查了子集的概念,考查了元素与集合的关系,属于基础题.

    2.下列函数中,图像关于坐标原点对称的是(    

    A B

    C D

    【答案】D

    【分析】根据指数函数,对数函数,三角函数,幂函数的解析式直接判断即可.

    【详解】解:对于A选项,函数定义域为,不满足;

    对于B选项,函数为偶函数,关于轴对称,不关于原点对称,不满足;

    对于C选项,函数图像不关于原点对称,不满足;

    对于D选项,定义域为,是奇函数,故图像关于原点对称.

    故选:D

    3.如图,角为始边,它的终边与单位圆相交于点,且点的横坐标为,则的值为(  

    A B C D

    【答案】B

    【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义,求得的值.

    【详解】为始边,它的终边与单位圆相交于点,且点的横坐标为,所以; 故选:B

    【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.

    4.记为等差数列的前项和,若,则    

    A36 B45 C63 D75

    【答案】B

    【分析】由等差数列的前项和性质可得成等差数列,进而可得结果.

    【详解】因为为等差数列的前项和,

    所以成等差数列,即成等差数列,

    所以,解得

    故选:B.

    5.已知复数za+iaR),则下面结论正确的是(    

    A

    B|z|≥1

    Cz一定不是纯虚数

    D.在复平面上,z对应的点可能在第三象限

    【答案】B

    【分析】利用复数基本概念逐一核对四个选项得答案.

    【详解】解:,故错误;

    ,故正确;

    时,为纯虚数,故错误;

    虚部为1大于0在复平面上,对应的点不可能在第三象限,故错误.

    故选:

    【点睛】本题考查复数的基本概念,是基础题.

    6.设是公比为的等比数列,且,则对任意成立

    A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

    C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

    【答案】C

    【分析】根据等比数列的定义和性质,结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论.

    【详解】解:,因为,所以对任意成立,必有

    反过来,若,又因为,所以,1对任意成立,

    所以是充分必要条件,

    故选C

    【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用好等比数列的性质是解决本题的关键.

    7.已知函数,那么下面结论正确的是(    

    A上是减函数 B上是减函数

    C D

    【答案】B

    【分析】利用导函数研究的单调性最值即可.

    【详解】由题意得,因为

    所以当单调递增,当单调递减,

    上是增函数,在上是减函数,A错误,B正确;

    处取得最大值,即CD错误.

    故选:B.

    8.已知函数.若存在实数,使得成立,则实数的取值范围是(  

    A B C D

    【答案】A

    【分析】根据题意将存在实数,使得成立转化为有根,再根据方程变形可得,原问题转化为有根,进而转化为的图象有交点,根据数形结合即可求出结果.

    【详解】

    整理得

    原问题转化为的图象有交点, 画出的图象如下:

    时,,由图可知,. 故选:A

    【点睛】本题考查了转化思想和数形结合思想,属于基础题.

    9.在中,.所在平面内的动点,且,则的取值范围是(    

    A B

    C D

    【答案】B

    【分析】由已知,根据题意,以为坐标原点,建立平面直角坐标系,分别表示出各点坐标,设出点坐标,利用坐标表示出,再根据,利用三角换元即可完成范围求解.

    【详解】

    由已知,以为坐标原点,分别以轴,轴的正方向,建立平面直角坐标系,则

    ,由可知,

    所以

    因为,可令

    所以

    其中

    因为

    所以的取值范围为:.

    故选:B.

    10.按照碳达峰碳中和的实现路径,2030年为碳达峰时期,2060年实现碳中和,到2060年,纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%,新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert1898年提出蓄电池的容量C(单位:),放电时间t(单位:)与放电电流I(单位:)之间关系的经验公式:,其中nPeukert常数,为了测算某蓄电池的Peukert常数n,在电池容量不变的条件下,当放电电流时,放电时间;当放电电流时,放电时间.则该蓄电池的Peukert常数n大约为(    )(参考数据:

    A B C D2

    【答案】B

    【分析】根据题意可得,两式相比结合对数式与指数式的互化及换底公式即可得出答案.

    【详解】解:根据题意可得

    两式相比得,即

    所以.

    故选:B.

     

    二、填空题

    11.已知向量,若,则实数t的值是___________.

    【答案】

    【分析】根据平行向量坐标公式即可求解参数.

    【详解】因为,所以,解得t =-4

    故答案为:

    12.能使命题,则为等腰三角形为假命题的一组AB的值是___________.

    【答案】(不唯一)

    【分析】根据题意得,进而只需使得即可.

    【详解】解:因为在中,

    所以

    所以

    所以要使,则为等腰三角形为假命题,则需.

    所以的值可以是:,此时满足,但不为等腰三角形

    故答案为:

    13.北京2022年冬奥会将于202224日开幕.某社区为了宣传冬奥会,决定在办公楼外墙建一个面积为8的矩形展示区,并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏(如图所示).要求上下各空0.25,左右各空0.25,相邻宣传栏之间也空0.25.设三个宣传栏的面积之和为S(单位:),则S的最大值为___________.

    【答案】

    【分析】根据题意设矩形展示区的长为,则宽为,进而结合题意得,再根据基本不等式求解即可.

    【详解】解:设矩形展示区的长为,则宽为

    因为该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏,要求上下各空0.25,左右各空0.25,相邻宣传栏之间也空0.25

    所以

    当且仅当,即时等号成立,

    所以S的最大值为

    故答案为:

    14.已知函数,给出下列三个结论:

    时,函数的单调递减区间为

    若函数无最小值,则的取值范围为

    ,则,使得函数.恰有3个零点,且

    其中,所有正确结论的序号是______

    【答案】②③

    【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断;画出函数的图象数形结合即可判断;由题意结合函数图象不妨设,进而可得,令验证后即可判断;即可得解.

    【详解】对于,当时,由,所以函数在区间不单调递减,故错误;

    对于,函数可转化为

    画出函数的图象,如图:

    由题意可得若函数无最小值,则的取值范围为,故正确;

    对于,令,结合函数图象不妨设

    所以,所以

    时,存在三个零点,且,符合题意;

    时,存在三个零点,且,符合题意;

    正确.

    故答案为:②③.

    【点睛】本题考查了分段函数单调性、最值及函数零点的问题,考查了运算求解能力与数形结合思想,合理使用函数的图象是解题的关键,属于中档题.

     

    三、双空题

    15.在ABC中,,点D在边BC上,CD=2,则AD=___ACD的面积为____.

    【答案】         

    【解析】在中用正弦定理求解,在用面积公式可得.

    【详解】

    中由正弦定理得:

    .

    中,

    故答案为: ;.

    【点睛】本题考查平面几何中解三角形问题.

    其求解思路:(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理、勾股定理求解;

    (2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.

     

    四、解答题

    16.设函数

    I)求曲线在点处的切线方程;

    II)设,若函数有三个不同零点,求c的取值范围

    【答案】12

    【详解】试题分析:(1)由导数几何意义得切线斜率为,再根据点斜式写切线方程;(2)由函数图像可知,极大值大于零且极小值小于零,解不等式可得c的取值范围

    试题解析:解:(I)由,得

    因为

    所以曲线在点处的切线方程为

    II)当时,

    所以

    ,得,解得

    在区间上的情况如下:

     

    所以,当时,存在

    ,使得

    的单调性知,当且仅当时,函数有三个不同零点.

    17.已知函数.的最大值为2的图像上相邻两条对称轴之间的距离为.

    (1)求函数的解析式;

    (2)在区间上有且只有一个零点,求的取值范围.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)由已知,先对函数进行化简,然后根据的最大值为2,即可确定的值,再根据相邻两条对称轴之间的距离为,即可确定周期,从而求得,最终得到函数解析式;

    2)由第(1)问求解出的函数解析式,根据题中给的区间范围,先求解出满足的范围,然后根据已知条件列出不等关系,求解即可.

    【详解】(1)由已知,

    所以

    的最大值为2,即

    的图像上相邻两条对称轴之间的距离为

    (2)时,

    在区间上有且只有一个零点,

    ,所以.

    18.已知数列的前n项和为.

    (1)

    (2)若数列是等差数列,且,求数列的通项公式;

    (3),求.

    【答案】(1)

    (2)

    (3)

     

    【分析】1)直接令求解即可;

    2)结合(1)令,进而求得的公差为,再根据通项公式求解即可;

    3)根据得数列的通项公式,再结合(2)得,进而根据等比数列前项和公式求解即可.

    【详解】(1)解:令,则,解得

    ,则,解得.

    所以

    (2)解:由(1)知

    所以令,则,解得.

    所以

    设等差数列的公差为,则,解得

    所以数列的通项公式为

    (3)解:由(1)知,时,

    时,,整理得

    所以数列是等比数列,公比为,首项为

    所以.

    由(2)知

    所以

    所以,即数列是等比数列,公比为,首项为

    所以

    19.在中,角的对边分别为.

    (1)的大小;

    (2)再从条件、条件、条件这三个条件选择一个作为已知,使得存在且唯一确定,求边上高线的长.

    条件;条件;条件.

    注:如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答给分.

    【答案】(1).

    (2)条件;条件.

     

    【分析】1)利用正弦定理,边化角,再利用三角恒等变换求解即可.

    2)根据三角形全等条件可知①③满足条件,条件由余弦定理可得不满足条件,条件:根据,结合等面积求解即可;条件:利用余弦定理结合等面积求解即可.

    【详解】(1)中因为

    由正弦定理得

    所以,即

    又因为,所以.

    (2)边上的高为

    条件:因为,所以

    所以,根据三角形全等(角角边)可知存在且唯一确定.

    所以

    ,解得,即边上的高为.

    条件:由余弦定理得,即

    解得,此时满足条件的的三角形有两个,条件不符合题意.

    条件:根据三角形全等(边角边)可得存在且唯一确定,

    由余弦定理得,即,解得

    ,解得,即边上的高为.

    20.已知函数

    (1)恒成立,求的取值范围

    (2)证明:当时,曲线总在曲线的上方

    【答案】(1)

    (2)证明见解析

     

    【分析】1)对函数求导后,分讨论求函数最小值,使其大于等于0,从而可求出结果,

    2)令,利用导数求出其单调区间和极小值,可得其极小值大于零即可.

    【详解】(1),得

    时,符合题意;

    时,取,则,不符合题意.

    时,令,得.

    时,时,.

    所以上单调递减,在上单调递增

    所以当时,有最小值

    恒成立等价于的最小值大于等于0”

    因为,所以

    综上,若恒成立,则的取值范围是

    (2)证明:当时,令,可求

    因为,且上单调递增,

    所以在上存在唯一的,使得

    ,且

    变化时,上的情况如下表.

    0

    极小值

     

    则当时,存在最小值

    因为

    所以

    所以当时,

    所以当时,曲线总在曲线的上方.

    【点睛】关键点点睛:此题考查导数的综合应用,考查利用导数解决不等式恒成立问题,第(2)问解题的关键是构造函数,然后利用导数求得其最小值大于零即可,考查数学转化思想,属于较难题.

    21.给定整数,数列每项均为整数,在中去掉一项,并将剩下的数分成个数相同的两组,其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为. 中的最小值称为数列的特征值.

    )已知数列,写出的值及的特征值;

    )若,当,其中时,判断的大小关系,并说明理由;

    )已知数列的特征值为,求的最小值.

    【答案】.的特征值为;(,理由见解析;()最小值为.

    【解析】()根据题中的定义可求出的值及的特征值;

    )分两种情况讨论,结合题中定义可证明出

    )设,利用()中的结论,结合数列的特征值为,可得出,并证明出,即可求出的最小值.

    【详解】)由题知:

    的特征值为

    .

    理由如下:由于,可分下列两种情况讨论:

    时,

    根据定义可知:

    同理可得:.

    所以,所以.  

    时,同理可得:

    所以,所以.              

    综上有:

    )不妨设

    显然,

    .

    当且仅当时取等号;.

    当且仅当时取等号;

    由()可知的较小值为

    所以.

    当且仅当时取等号,

    此时数列为常数列,其特征值为,不符合题意,则必有

    .

    下证:若,总有.

    证明:

    .

    所以.

    因此

    .

    时,可取到最小值,符合题意.

    所以的最小值为.

    【点睛】本题考查数列中的新定义,涉及数列中不等式的综合问题,解题的关键就是充分利用题中的新定义进行求解,考查推理能力,属于难题.

     

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