2024届福建省莆田第一中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届福建省莆田第一中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】确定，，再计算交集得到答案.
【详解】，，
故.
故选：C.
2．已知函数，，如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数图象得到对应的函数的定义域为和当时，，再一一判断各个选项即可.
【详解】由图象可得，该图象对应的函数的定义域为，
对于A选项：的定义域为，所以A选项错误；
对于B选项：的定义域为，所以B选项错误；
又知当时，，
对于C选项，的定义域为，
当时，，所以C选项错误；
对于D选项，的定义域为，
当时，，所以D选项符合题意.
故选：D.
3．已知，则的值为（ ）
A．B．5C．4D．3
【答案】D
【分析】确定，得到，根据对数运算法则计算得到答案.
【详解】，则，，
故.
故选：D.
4．，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】变换，，确定，根据指数和对数函数的单调性得到答案.
【详解】，，，
综上所述：.
故选：A
5．“函数在上单调递增”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用对数复合型函数的单调性求参数范围，结合充分、必要条件的定义确定一个充分不必要条件即可.
【详解】由题设，则该函数开口向上且对称轴为，
所以在上递增，又在定义域上递增，
要使在上单调递增，则，即，
还需，
综上，是函数在上单调递增的充要条件，
显然D是充分不必要条件，A、B、C都不是.
故选：D
6．三棱锥中，是边长为的正三角形，为中点且，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知证明面，结合线面垂直模型求外接球半径，进而求其表面积.
【详解】由题设易得，则，即，又，
，面，则面，
若的中心为，则外接球球心在过垂直于面的直线上，
又，结合线面垂直模型知：外接球的半径，
所以，外接球表面积为.
故选：B
7．某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系为：（其中，k是正常数）．已知经过，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（ ）（参考数据：）
A．3hB．4hC．5hD．6h
【答案】A
【分析】由题意可得，进而利用指数与对数的关系可得，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可
【详解】由题意可知，
所以，
又因为，
所以，
所以
，
比较接近3，
故选：A
8．已知函数，方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】画出草图，根据已知，令，数形结合判断的零点分布区间，再由二次函数性质列不等式组求参数范围.
【详解】由题设，图象如下图示，
令，要使原方程有6个不同的实数解，则有两个不同实根且，
若，则，则，此时，，显然此时不合题意，
故由图知：，即的两个零点分别在区间和内，
而开口向上，故.
故选：C
二、多选题
9．若，且.则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】由题设可得，由不等式性质判断A、B；由即可判断C；作差法判断D.
【详解】由题设，故，，A、B对；
又，而，，故，C错；
由，则，D错.
故选：AB
10．已知函数则（ ）
A．是偶函数
B．单调递增
C．曲线在点处切线的斜率为2
D．
【答案】BC
【分析】根据函数奇偶性的定义得到A错误，求导得到B正确，求导计算斜率得到C正确，根据，结合函数的奇偶性和单调性得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：函数定义域为，，为奇函数，错误；
对选项B：，
当时，，，故，
函数单调递增；
当时，，
当时，，，故，
函数单调递增；
故函数单调递增，正确；
对选项C：，，正确；
对选项D：，故，，
错误.
故选：BC.
11．在棱长为4的正方体中，点分别是棱的中点，则（ ）
A．
B．平面
C．平面平面
D．点到平面的距离为
【答案】BD
【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法判断线线、线面、面面的位置关系，并求点面距即可判断各项正误.
【详解】由题设，构建如下图示的空间直角坐标系，则，，
A：，则，故不成立，故A错；
B：，若是面的一个方向向量，
则，令，故，而，
所以，故，而平面，故平面，故B对；
C：，若是面的一个方向向量，
则，令，故，显然不共线，
所以平面平面不成立，故C错；
D：，则点到平面的距离，故D对.
故选：BD
12．已知定义在的函数满足以下条件：
（1）对任意实数恒有；
（2）当时，的值域是
（3）
则下列说法正确的是（ ）
A．值域为
B．单调递增
C．
D．的解集为
【答案】BCD
【分析】计算得到，A错误，根据单调性的定义得到B正确，计算，，得到C正确，题目转化为得到，根据函数的单调性得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：令可得，故，
令可得，，
，当时，，则，
综上所述：，错误；
对选项B：任取且，，，
则，所以函数在上单调递增，正确；
对选项C：取得到；
取得到；
取得到，正确；
对选项D：，，
即，
即，
函数单调递增，且，故，正确；
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据题目信息转化得到，再利用函数的单调性解不等式是解题的关键.
三、填空题
13．命题“”的否定是 .
【答案】
【分析】根据特称命题的否定为全程命题即可求解.
【详解】命题“”的否定是“”,
故答案为：
14．函数值域为 .
【答案】
【分析】确定函数定义域为，变换，利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】函数的定义域为，
，
当且仅当，即时等号成立，故值域为.
故答案为：.
15．若函数是上的减函数.则实数的最大值为 .
【答案】
【分析】根据条件，得到，构造函数，求导得到单调区间，计算最值得到答案.
【详解】是 (0,+∞) 上的减函数，
则在上恒成立，
即在 (0,+∞) 上上恒成立，
设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
故函数，故，即的最大值为.
故答案为：.
四、双空题
16．已知定义在上的奇函数满足，当时，.则当， ；若与的图象交于点､､，则 .
【答案】
【分析】设时，，代入计算得到解析式，确定函数周期为，画出函数图像，根据图像得到答案.
【详解】当时，，故，
当时，，故，
当时，，故，
，则，故函数周期为，
画出函数图像，如图所示：
根据图像知：.
故答案为：；.
五、解答题
17．已知函数为奇函数.
(1)求的值；
(2)若存在实数，使得成立，求的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可.
（2）首先利用根据题意得到，利用单调性定义得到是上的减函数，再利用单调性求解即可.
【详解】（1）因为定义域为，
又因为为奇函数，所以，即，得
当时，， 所以，所以
（2）可化为，
因为是奇函数，所以
又由（1）知，
设，且，则，
因为，所以，，，
所以，即故是上的减函数，
所以（*）可化为.因为存在实数，使得成立，
所以，解得.所以的取值范围为
18．在暑假期间，小明同学到某乡镇参加社会调查活动.小明利用所学知识帮一苹果农户解决年利润最大问题.经小明调查，对苹果精包装需要投入年固定成本3万元，每加工万斤苹果，需要流动成本万元.当苹果年加工量不足10万斤时，；当苹果年加工量不低于10万斤时，.通过市场分析，加工后的苹果每斤售价7元，当年加工的苹果能全部售完.
(1)求年利润关于年加工量的解析式；（年利润=年销售收入流动成本年固定成本）
(2)当年加工量为多少万斤时，该苹果农户获得年利润最大，最大年利润是多少？（参考数据：）
【答案】(1)
(2)当年加工量为12万斤时，该苹果农户获得最大年利润为45万元
【分析】（1）分和时，根据年利润=年销售收入流动成本年固定成本求解；
（2）根据（1）的结果，分和，分别利用导数法和基本不等式法求解.
【详解】（1）解：当时，；
当时，，
所以；
（2）当时，，
当时，；当时，，
所以在内单调递增，在内单调递减，
此时.
当时，，
当且仅当，即时取得等号.
因为，所以当年加工量为12万斤时，该苹果农户获得最大年利润为45万元.
19．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数的几何性质求解即可.
（2）首先求导得到，再分类讨论，，，情况的单调性即可.
【详解】（1）由已知，则，
当时，，，
则曲线在处的切线方程为，即
（2）由（1）知，，
①当时，，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减；
②当时，由，得，
（ⅰ）当时，，
当时，，在，单调递增；
当时，，在单调递减；
（ⅱ）当时，，，在单调递增；
（ⅲ）当时，，
当时，，在，单调递增；
当时，，在单调递减；
综上可得：①当时，在单调递增，在单调递减；
②当时，在，单调递增，在单调递减；
③当时，在单调递增；
④当时，在，单调递增，在单调递减.
20．在底面为平行四边形的直棱柱中，.

(1)证明：；
(2)若，直棱柱的体积为，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明平面得到，再证明平面，得到平行四边形为菱形，得到答案.
（2）根据向量垂直得到，，建立空间直角坐标系，计算各点坐标，再确定两个平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）如图所示：连接，易知为平行四边形，故，

，故，
又，，平面，
故平面，平面，故，
有平面，平面，故，
，平面，故平面，
平面，故，故平行四边形为菱形，故.
（2）设，，，故，
，
，故，
解得，或（舍），，
作于，以为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，
设平面的法向量为，则，
取，得到；
设平面的法向量为，则，
取，得到；
二面角的余弦值为.
21．某批发市场供应的排球中，来自甲厂的占，来自乙厂的占，来自丙厂的占，甲厂生产的排球的合格率为，乙厂生产的排球的合格率为，丙厂生产的排球的合格率为．
(1)若小张到该市场购买1个排球，求购得的排球为合格品的概率．
(2)若小李到该市场批发2个排球回去销售，购买的1个球来自甲厂，1个球来自丙厂，已知来自己甲厂的每个排球售出后可获得纯利润10元，没有售出则每个球将损失5元，且每个球被售出的概率等于排球的合格率；来自丙厂的每个排球售出后可获得纯利润8元，没有售出则每个球将损失6元，且每个球被售出的概率等于排球的合格率．求小李到该市场批发2个排球进行销售获得的纯利润的数学期望．
【答案】(1)
(2)16.69元
【分析】（1）利用全概率公式可求得所求事件的概率；
（2）设小李到该市场批发2个排球进行销售获得的纯利润为X元，依题意可得X的可能取值为18，4，3，，求出对应的概率，利用数学期望公式求出答案.
【详解】（1）设A，B，C分别表示购买的排球来自甲厂、乙厂、丙厂，D表示购买的排球是合格品，
则，，
，，，
所以
．
（2）设小李到该市场批发2个排球进行销售获得的纯利润为X元，
依题意可得X的可能取值为，，，，即18，4，3，，
，
，
，
，
所以，
故小李到该市场批发2个排球进行销售获得的纯利润的数学期望为16.69元．
22．已知函数的图象在定义域(0，+∞)上连续不断，若存在常数T>0，使得对于任意的x>0，恒成立，称函数满足性质P(T).
(1)若满足性质P(2)，且，求的值；
(2)若，试说明至少存在两个不等的正数T1、T2，同时使得函数满足性质P(T1)和P(T2)；
(3)若函数满足性质P(T)，求证：函数存在零点.
【答案】(1)0；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由满足性质可得恒成立，取可求，取可求，由此可求的值；
(2）设满足，利用零点存在定理证明关于的方程至少有两个解，证明至少存在两个不等的正数，
同时使得函数满足性质和；
（3）分别讨论，，时函数的零点的存在性，由此完成证明.
【详解】（1）因为满足性质，
所以对于任意的x，恒成立.
又因为，
所以，，
由可得，
所以，；
（2）若正数满足，等价于，
记，
显然，，
因为，所以，，即.
因为的图像连续不断，
所以存在，使得，
因此，至少存在两个不等的正数，使得函数同时满足性质和.
（3）若，则1即为零点；
因为，若，则，矛盾，故，
若，则，，，
可得.
取即可使得，又因为的图像连续不断，
所以，当时，函数在上存在零点，
当时，函数在上存在零点，
若，则由，可得，
由，可得，
由，可得.
取即可使得，又因为的图像连续不断，
所以，当时，函数在上存在零点，
当时，函数在上存在零点，
综上，函数存在零点.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.