2024届北京市通州区潞河中学高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届北京市通州区潞河中学高三上学期12月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出集合，利用交集运算即可求解.
【详解】因为
所以，
故选：A.
2．若复数满足 (其中为虚数单位)，则复数为
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：由可得.故选D.
【解析】复数的运算.
3．下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：因为函数是奇函数，所以选项A不正确；因为函为函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项B不正确；函数的图象抛物线开口向下，对称轴是轴，所以此函数是偶函数，且在区间上单调递减，所以，选项C正确；函数虽然是偶函数，但是此函数在区间上是增函数，所以选项D不正确；故选C．
【解析】1、函数的单调性与奇偶性；2、指数函数与对数函数； 3函数的图象．
4．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分不必要条件
【答案】A
【详解】试题分析：α⊥β， b⊥m又直线a在平面α内，所以a⊥b，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.
【解析】充分条件、必要条件.
5．已知数列是等差数列，是它的前项和，若，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据等差数列的前项和公式化简，将代入求出公差的值，然后由首项和公差，利用等差数列的前项和公式求出即可．
【详解】由得
解得
所以
故选B.
【点睛】本题考查等差数列的前项和公式，属于基础题．
6．已知双曲线C：的一条渐近线的斜率为，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的焦距可得双曲线C：的焦距，根据双曲线C：的一条渐近线的斜率为，可得，结合求得，即可得出答案.
【详解】解：因为双曲线C：的一条渐近线的斜率为，
所以，即，
椭圆的焦距为，
所以双曲线C：的焦距，即，
又因，解得，所以，
所以C的方程为.
故选：B.
7．直线：与圆：的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【解析】由直线方程可得直线过定点，又点在圆内，得到答案.
【详解】直线：过定点，
因为，则点在圆的内部，
∴直线与圆相交，
故选：A.
8．已知，则的值域为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化为利用二次函数求值域即可
【详解】因为，所以，由，得 ，所以.
故选B
【点睛】本题考查二倍角公式，二次型函数求值域，熟记公式，准确计算是关键，是基础题
9．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时10分钟.那么经过5分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（假定沙堆的底面是水平的）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，把高度比转化为体积比.
【详解】
由于时间刚好是5分钟，是总时间的一半，而沙子漏下来的速度是恒定的，
所以漏下来的沙子是全部沙子的一半，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，所以可以单独研究下方圆锥，下方圆锥被沙子的上表面分成体积相等的两部分，
所以，所以，所以.
故选D
【点睛】本题考查几何体的体积问题的应用，考察空间想象能力和运算求解能力.
10．在一个正方体中， 为正方形四边上的动点， 为底面正方形的中心， 分别为中点，点 为平面内一点，线段 与互相平分，则满足 的实数的值有
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【详解】因为线段D1Q与OP互相平分，
所以四点O，Q，P，D1共面，
且四边形OQPD1为平行四边形．若P在线段C1D1上时，
Q一定在线段ON上运动，只有当P为C1D1的中点时，
Q与点M重合，此时λ＝1，符合题意．
若P在线段C1B1与线段B1A1上时，在平面ABCD找不到符合条件Q；
在P在线段D1A1上时，点Q在直线OM上运动，
只有当P为线段D1A1的中点时，点Q与点M重合，
此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个
故选C.
二、填空题
11．若，，，则，，按从大到小的顺序排列依次为 ．
【答案】
【分析】可看出，从而比较出a，b，c的大小．
【详解】解：，，；
．
故答案为．
【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，根据单调性比较数的大小的方法．
12．若，则 .
【答案】
【分析】根据诱导公式整理等式，结合同角三角函数的商式关系，利用正切函数的二倍角公式，可得答案.
【详解】由题意可得：，可得，
.
故答案为：.
13．抛物线的准线方程是，则其标准方程是 ．
【答案】
【详解】抛物线的准线方程是，即，且焦点在轴负半轴上，所以标准方程为.
故答案为
14．在平面直角坐标系xOy中，已知，，若，，则实数的值为 .
【答案】2
【分析】设，根据向量的坐标运算表示和数量积的坐标表示列方程求的值.
【详解】∵，，∴，
设，则①.
又，，
∴且②.
由①②可得，，.
故答案为：2.
15．已知函数
（1）若，，则的值域是 ；
（2）若恰有三个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】（1）因为时，，时，时，所以，，则的值域是；（2）当时，没有零点；当时有一个零点，当时，有一个或有两个零点，当时只有一个零点，当时，有三个零点，所以恰有三个零点，则实数的取值范围是，故答案为，.
【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式和性质、函数的零点与方程、分类讨论思想及方程的根与系数的关系.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.
三、解答题
16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求角的大小；
(2)若，，的面积为，求a，c的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）直接利用正弦定理结合三角恒等变换得到，得到答案.
（2）利用面积公式得到，根据余弦定理得到，解得答案.
【详解】（1），故，
即，整理得到，
，，
故，，
故.
（2），故，
，
故，
又，解得，.
17．已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
条件①：的最小值为；
条件②：图象的一个对称中心为；
条件③：的图象经过点.
(1)确定的解析式；
(2)若函数在区间上的最小值为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合不同的条件组合，利用三角函数的性质，求函数的解析式；（2）根据（1）的结果求的范围，再根据三角函数的图象和性质，列出关于端点的不等式，即可求解.
【详解】（1）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期，
故，此时，
选条件①②：
因为的最小值为，所以.
因为图象的一个对称中心为，
所以,
所以，
因为，所以，
所以
选条件①③：
因为的最小值为，所以.
因为函数的图象过点，
即，即，
因为，所以，
所以
则，所以.
选条件②③：
因为函数的一个对称中心为，
所以
所以，
因为，所以，此时.
所以
因为函数的图象过点
所以，即，
即
所以，所以
（2）因为，所以，
函数在区间上的最小值为，
则，即，
所以的取值范围为.
18．如图1，在矩形中，，，为的中点，为中点．将沿折起到，使得平面平面（如图2）．

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【分析】（1）先证明平面．再证明.(2) 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系（如图）,利用向量法求直线与平面所成角的正弦值.(3) 假设在线段上存在点，使得平面.设，且，根据平面求得，所以当时，平面．
【详解】（1）由已知，
因为为中点，所以．
因为平面平面，且平面平面，
平面，所以平面．
又因为平面，所以．
（2）设为线段上靠近点的四等分点，为中点．
由已知易得．
由（1）可知，平面，
所以，.
以为原点，所在直线分别为轴
建立空间直角坐标系（如图）．

因为，，
所以．
设平面的一个法向量为，
因为，
所以 即
取，得．
而 .
所以直线与平面所成角的正弦值
（3）在线段上存在点，使得平面.
设，且，则，．
因为，所以，
所以，
所以，．
若平面，则.即.
由（2）可知，平面的一个法向量，
即，解得，
所以当时，平面．

【点睛】（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的求法和直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.(2) 直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角.
19．已知椭圆C：的离心率为，短轴长为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l的斜率为时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据椭圆离心率与短轴长的定义，建立方程，可得答案；
（2）设出直线方程，联立方程写出韦达定理，结合题意，画图建立方程，化简即可.
【详解】（1）设椭圆C的半焦距为，
由题意可得，解得，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由（1）可得：，
根据题意可设直线，
联立方程，消去y得，
则恒成立，
设则，①
设，由题意可知x轴为直线PA与直线PB的对称轴，
则，即，
因为，可得，
整理得，②
将①代入②得：，解得，
所以存在点P，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等，此时.
20．已知.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)设，求的单调递增区间；
(3)证明：当时，，.
【答案】(1)；
(2)时，没有单调递增区间；时，单调递增区间为;
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案;
（2）求出函数的导数，讨论k的取值范围，确定导数的正负，即可求得的单调递增区间；
（3）由于不等式可变为，所以可构造函数，利用（2）的结论可证明故该函数为上的增函数，利用函数的单调性，即可证明结论.
【详解】（1）当时，，
故在处的切线斜率为，而，
所以在处的切线方程为，即.
（2）由题意得，则，
当时，为常数函数，没有单调递增区间；
当时，令，即，
当时，令，即，
故时，没有单调递增区间；时，单调递增区间为.
（3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，而，
即在上恒成立，故在上单调递增，
设，则，
因为，则，故，
所以在上单调递增，而，
则，即，而，
故，即.
【点睛】关键点点睛：证明不等式时，关键是构造函数，利用函数的单调性进行证明；因为可变形为，由此可构造函数，从而利用（2）的结论证明该函数为递增函数，从而利用函数的单调性证明不等式.
21．已知数列A：的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．
（1）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出的值；
（2）若A是递增数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”；
（3）若，数列A由这个数组成，且这个数在数列A中每个至少出现一次，求的取值个数．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）利用列举法写出符合题意的所有的的取值可能，得出的值；
（2）先假设数列为递增的等差数列，公差为，则可知，当时，，则可知的最大值为，最小值为，成立；反之若，因为A是递增数列，所以，可推出，那么，又，且互不相等，则可知，所以，可得数列A是等差数列;
(3)当数列A由这个数组成，则任意两个不同的数作差，差值只可能为和，共个值，又因为这个数在数列A中共出现次，所以数列A中存在，所以，则可得出，再说明可以取得之间的所有整数，得到的值为.
【详解】解：（1）因为，，，，则的可能情况有：
，，，，，，
所以，．
（2）充分性：若A是等差数列，设公差为d．
因为数列A是递增数列，所以．
则当时，，
所以，．
必要性：若．
因为A是递增数列，所以，
所以，且互不相等，
所以．
又，
所以，且互不相等．
所以，
所以，
所以A为等差数列．
（3）因为数列A由这个数组成，任意两个不同的数作差，差值只可能为和．
共个不同的值；且对任意的，
m和这两个数中至少有一个在集合T中．
又因为这个数在数列A中共出现次，所以数列A中存在，所以．
综上，，且．
设数列：，此时．
现对数列分别作如下变换：
把一个1移动到2，3之间，得到数列：，
此时，．
把一个1移动到3，4之间，得到数列：，
此时，．
把一个1移动到，n之间得到数列：，
此时，．
把一个1移动到n，之间，得到数列：，
此时，．
再对数列依次作如下变换：
把一个1移为的后一项，得到数列：，
此时，；
再把一个2移为的后一项：得到数列：，
此时，；
依此类推
最后把一个n移为的后一项：得到数列：，
此时，．
综上所述，可以取到从到的所有个整数值，所以的取值个数为．
【点睛】本题考查新定义数列问题，难度较大，解答的关键在于根据数列中项的大小及数字特征分析清楚任意两项的所有可能取值，从而得出的值，注意在解答的过程中，项的顺序不同，的值不同.