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2024届北京中关村中学知春分校高三上学期10月月考数学试题含解析
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这是一份2024届北京中关村中学知春分校高三上学期10月月考数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义、共轭复数的概念以及模长公式运算求解.
【详解】由题意可知：，则，
所以.
故选：B.
2．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】根据补集的运算，计算即可得出答案.
【详解】由已知，，
所以，或.
故选：D.
3．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定为特称命题求解即可.
【详解】的否定为：.
故选：D
4．已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由数轴知 ，不妨取检验选项得解.
【详解】由数轴知 ，不妨取，
对于A， ， 不成立.
对于B，， 不成立.
对于C， ， 不成立.
对于D， ，因此成立.
故选：D．
【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
5．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据偶函数的定义和单调性的定义逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为，所以此函数为偶函数，而在上是减函数，所以A错误，
对于B，因为，所以，，所以此函数为非奇非偶函数，所以B错误，
对于C，函数的定义域为，因为，所以此函数为偶函数，当时，为增函数，所以C正确，
对于D，因为，所以此函数为奇函数，所以D错误，
故选：C
6．已知数列满足，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用与前项和的关系，可得，即数列的每一项都为0，即可得出结论.
【详解】解：由题可知，，则，
设，
当时，，则，
又时，，所以数列的每一项都为0，故.
故选：D．
7．已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
【答案】A
【分析】以的交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据向量的线性坐标公式及数量积的坐标公式求解即可.
【详解】以的交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，所以，
所以.
故选：A.
8．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．
【答案】A
【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
9．若函数的值域为，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】当时， ，故函数在 上单调递减，在 上单调递增，且过原点，最小值为；当时，若a<0，则原函数开口向下，值域小到负无穷，故一定有a>0,此时图像是开口向上的二次函数图像，最小值在对称轴处取得，故最小值为
故答案为D．
点睛：这是分段函数的值域问题，先确定没有未知量的一支的图像和单调性，从而得到函数的值域，再解决含参数的一支的值域问题．分段函数的值域一般是两段的值域的并集；二次函数的值域问题和函数的对称轴有密切关系，研究轴处的函数值，就是函数的最值．
10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果.
【详解】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为 ，
所以，单位圆的内接正边形的周长为，
单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，
，
则.
故选：A.
【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
二、填空题
11．已知等差数列满足，则公差 .
【答案】2
【分析】利用等差数列的通项公式列式求解即可.
【详解】因为是等差数列，，
所以，解得.
故答案为：2 ．
12．已知向量，，若与平行，则的值为 .
【答案】
【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】解：因为，，所以，
又与平行，所以，解得；
故答案为：.
三、双空题
13．设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ．
【答案】 -1; .
【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.
【详解】若函数为奇函数,则，
对任意的恒成立.
若函数是上的增函数,则恒成立,.
即实数的取值范围是
【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.
四、填空题
14．若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ．
【答案】（满足即可）
【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解.
【详解】与关于轴对称，
即关于轴对称，
，
则，
当时，可取的一个值为.
故答案为：（满足即可）.
五、双空题
15．如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在秒时相对于平衡位置的高度（厘米）由如下关系式确定：，则小球在开始振动（即）时的值为 ，小球振动过程中最大的高度差为 厘米.
【答案】
【分析】将原式化为的形式，令，即可求得，再根据振幅，即可得到最大高度差.
【详解】因为
令可得
由振幅为2，可得小球振动时最高时离平衡位置为2，最低离平衡位置向下为2，
故最大的高度差为4
故答案为:；4
六、解答题
16．已知函数.
(1)求的值；
(2)求函数的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)，.
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，代入求值即可；
（2）利用二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的单调性质，计算可得．
【详解】（1）解：
（2）解：因为
.
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
17．已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比中项以及等差数列基本量的计算可求解公差，进而可求通项.
（2）根据分组求和以及等差等比数列的求和公式即可求解.
【详解】（1），，成等比数列，故，化简得：因为，所以，因此
（2），因此
18．已知函数，.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在上的最大值；
(3)求证：存在唯一的，使得.
【答案】（1）；（2）6；（3）见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，写出切线方程；
（2）写出函数在区间上导数的变化情况，列表求最值即可；
（3）构造函数=，只需证明函数有唯一零点即可.
【详解】（1）由，得，所以，又
所以曲线在点处的切线方程为：，
即：.
（2）令，得.
与在区间的情况如下：
因为所以函数在区间上的最大值为6.
（3）证明：设=，
则，
令，得.
与随x的变化情况如下：
则的增区间为，，减区间为.
又，，所以函数在没有零点，又，
所以函数在上有唯一零点.
综上，在上存在唯一的，使得.
19．如图，为正三角形， ，，.
(1)求的值；
(2)求，的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得到)，进而得到 ，代入已知角的三角函数值即可；
（2）由三角形中正弦定理得到，进而得到，再根据余弦定理得到的长为．
【详解】（1）因为为正三角形，，所以在中，，所以.
所以
因为在中，，
所以.
所以 .
（2）在中，，由正弦定理得：，
所以
又在中，， ，
所以在中，，
由余弦定理得：
所以的长为.
20．已知函数．
Ⅰ求证：1是函数的极值点；
Ⅱ设是函数的导函数，求证：．
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【详解】试题分析：（1）根据极值点的定义知道，要研究函数值左右两侧的函数值都比小即可；（2），转化为求证这个函数的最小值大于-1即可，对这个函数再求导，研究导函数的正负，最终得到，对这个式子求最小值即可．
（1）的定义域为 ，
当时，，即；
当时，，即；
根据极值的定义， 1是的极值点.
（2）由题意可知，
，
令，
，故在上单调递增.
又，又在上连续，
使得，即，
.（*）
随x的变化情况如下：
.
由（*）式得，代入上式得
.
令，
，故在上单调递减.
，又，.
即 .
点睛：本题是考查了函数的极值点的问题．一种方法是直接研究导函数的变号零点，还有就是直接按照极值点的概念，在极值点附近，函数值都比极值点处的函数值大或者小．还考查了函数的最值问题，直接构造函数，使得函数的最小值大于零即可．
21．若数列：，，，（）中（）且对任意的，恒成立，则称数列为“数列”.
（1）若数列1，，，7为“数列”，写出所有可能的、；
（2）若“数列” ：，，，中，，，求的最大值；
（3）设为给定的偶数，对所有可能的“数列”：，，，，记，其中表示，，，这s个数中最大的数，求的最小值.
【答案】（1），或 ；（2）的最大值为；(3)．
【分析】（1）利用“数列”，能求出数列1，，，7为“数列”，所有可能的，．
（2）由，推导出对任意的恒成立，从而，进而；取，则对任意的，，故数列为“数列”，得到符合题意，由此能求出的最大值为65．
（3）当时，，．从而；当，，，，，，，时，，由此能求出的最小值为．
【详解】解：（1）数列，，，中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”．
数列1，，，7为“数列”，
所有可能的，为，或．
（2）的最大值为65，理由如下
一方面，注意到：
对任意的，令，则且，故对任意的恒成立．★
当，时，注意到，得
此时
即，解得：，故
另一方面，取，则对任意的，，故数列为“数列”，
此时，即符合题意．
综上，的最大值为65．
（3）的最小值为，
证明如下： 当时，
一方面：由★式，，．
此时有：
故
另一方面，当，，，，，，，时，
取，则，，，
且
此时．
综上，的最小值为．
-
0
+
极小值
1
0
0
极大值
极小值
↘
极小值
↗
一、单选题
1．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义、共轭复数的概念以及模长公式运算求解.
【详解】由题意可知：，则，
所以.
故选：B.
2．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】根据补集的运算，计算即可得出答案.
【详解】由已知，，
所以，或.
故选：D.
3．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定为特称命题求解即可.
【详解】的否定为：.
故选：D
4．已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由数轴知 ，不妨取检验选项得解.
【详解】由数轴知 ，不妨取，
对于A， ， 不成立.
对于B，， 不成立.
对于C， ， 不成立.
对于D， ，因此成立.
故选：D．
【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
5．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据偶函数的定义和单调性的定义逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为，所以此函数为偶函数，而在上是减函数，所以A错误，
对于B，因为，所以，，所以此函数为非奇非偶函数，所以B错误，
对于C，函数的定义域为，因为，所以此函数为偶函数，当时，为增函数，所以C正确，
对于D，因为，所以此函数为奇函数，所以D错误，
故选：C
6．已知数列满足，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用与前项和的关系，可得，即数列的每一项都为0，即可得出结论.
【详解】解：由题可知，，则，
设，
当时，，则，
又时，，所以数列的每一项都为0，故.
故选：D．
7．已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
【答案】A
【分析】以的交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据向量的线性坐标公式及数量积的坐标公式求解即可.
【详解】以的交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，所以，
所以.
故选：A.
8．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．
【答案】A
【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
9．若函数的值域为，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】当时， ，故函数在 上单调递减，在 上单调递增，且过原点，最小值为；当时，若a<0，则原函数开口向下，值域小到负无穷，故一定有a>0,此时图像是开口向上的二次函数图像，最小值在对称轴处取得，故最小值为
故答案为D．
点睛：这是分段函数的值域问题，先确定没有未知量的一支的图像和单调性，从而得到函数的值域，再解决含参数的一支的值域问题．分段函数的值域一般是两段的值域的并集；二次函数的值域问题和函数的对称轴有密切关系，研究轴处的函数值，就是函数的最值．
10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果.
【详解】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为 ，
所以，单位圆的内接正边形的周长为，
单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，
，
则.
故选：A.
【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
二、填空题
11．已知等差数列满足，则公差 .
【答案】2
【分析】利用等差数列的通项公式列式求解即可.
【详解】因为是等差数列，，
所以，解得.
故答案为：2 ．
12．已知向量，，若与平行，则的值为 .
【答案】
【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】解：因为，，所以，
又与平行，所以，解得；
故答案为：.
三、双空题
13．设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ．
【答案】 -1; .
【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.
【详解】若函数为奇函数,则，
对任意的恒成立.
若函数是上的增函数,则恒成立,.
即实数的取值范围是
【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.
四、填空题
14．若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ．
【答案】（满足即可）
【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解.
【详解】与关于轴对称，
即关于轴对称，
，
则，
当时，可取的一个值为.
故答案为：（满足即可）.
五、双空题
15．如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在秒时相对于平衡位置的高度（厘米）由如下关系式确定：，则小球在开始振动（即）时的值为 ，小球振动过程中最大的高度差为 厘米.
【答案】
【分析】将原式化为的形式，令，即可求得，再根据振幅，即可得到最大高度差.
【详解】因为
令可得
由振幅为2，可得小球振动时最高时离平衡位置为2，最低离平衡位置向下为2，
故最大的高度差为4
故答案为:；4
六、解答题
16．已知函数.
(1)求的值；
(2)求函数的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)，.
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，代入求值即可；
（2）利用二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的单调性质，计算可得．
【详解】（1）解：
（2）解：因为
.
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
17．已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比中项以及等差数列基本量的计算可求解公差，进而可求通项.
（2）根据分组求和以及等差等比数列的求和公式即可求解.
【详解】（1），，成等比数列，故，化简得：因为，所以，因此
（2），因此
18．已知函数，.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在上的最大值；
(3)求证：存在唯一的，使得.
【答案】（1）；（2）6；（3）见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，写出切线方程；
（2）写出函数在区间上导数的变化情况，列表求最值即可；
（3）构造函数=，只需证明函数有唯一零点即可.
【详解】（1）由，得，所以，又
所以曲线在点处的切线方程为：，
即：.
（2）令，得.
与在区间的情况如下：
因为所以函数在区间上的最大值为6.
（3）证明：设=，
则，
令，得.
与随x的变化情况如下：
则的增区间为，，减区间为.
又，，所以函数在没有零点，又，
所以函数在上有唯一零点.
综上，在上存在唯一的，使得.
19．如图，为正三角形， ，，.
(1)求的值；
(2)求，的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得到)，进而得到 ，代入已知角的三角函数值即可；
（2）由三角形中正弦定理得到，进而得到，再根据余弦定理得到的长为．
【详解】（1）因为为正三角形，，所以在中，，所以.
所以
因为在中，，
所以.
所以 .
（2）在中，，由正弦定理得：，
所以
又在中，， ，
所以在中，，
由余弦定理得：
所以的长为.
20．已知函数．
Ⅰ求证：1是函数的极值点；
Ⅱ设是函数的导函数，求证：．
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【详解】试题分析：（1）根据极值点的定义知道，要研究函数值左右两侧的函数值都比小即可；（2），转化为求证这个函数的最小值大于-1即可，对这个函数再求导，研究导函数的正负，最终得到，对这个式子求最小值即可．
（1）的定义域为 ，
当时，，即；
当时，，即；
根据极值的定义， 1是的极值点.
（2）由题意可知，
，
令，
，故在上单调递增.
又，又在上连续，
使得，即，
.（*）
随x的变化情况如下：
.
由（*）式得，代入上式得
.
令，
，故在上单调递减.
，又，.
即 .
点睛：本题是考查了函数的极值点的问题．一种方法是直接研究导函数的变号零点，还有就是直接按照极值点的概念，在极值点附近，函数值都比极值点处的函数值大或者小．还考查了函数的最值问题，直接构造函数，使得函数的最小值大于零即可．
21．若数列：，，，（）中（）且对任意的，恒成立，则称数列为“数列”.
（1）若数列1，，，7为“数列”，写出所有可能的、；
（2）若“数列” ：，，，中，，，求的最大值；
（3）设为给定的偶数，对所有可能的“数列”：，，，，记，其中表示，，，这s个数中最大的数，求的最小值.
【答案】（1），或 ；（2）的最大值为；(3)．
【分析】（1）利用“数列”，能求出数列1，，，7为“数列”，所有可能的，．
（2）由，推导出对任意的恒成立，从而，进而；取，则对任意的，，故数列为“数列”，得到符合题意，由此能求出的最大值为65．
（3）当时，，．从而；当，，，，，，，时，，由此能求出的最小值为．
【详解】解：（1）数列，，，中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”．
数列1，，，7为“数列”，
所有可能的，为，或．
（2）的最大值为65，理由如下
一方面，注意到：
对任意的，令，则且，故对任意的恒成立．★
当，时，注意到，得
此时
即，解得：，故
另一方面，取，则对任意的，，故数列为“数列”，
此时，即符合题意．
综上，的最大值为65．
（3）的最小值为，
证明如下： 当时，
一方面：由★式，，．
此时有：
故
另一方面，当，，，，，，，时，
取，则，，，
且
此时．
综上，的最小值为．
-
0
+
极小值
1
0
0
极大值
极小值
↘
极小值
↗
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