2024届宁夏固原市第五中学高三上学期第一次月考数学（文）试题含解析

这是一份2024届宁夏固原市第五中学高三上学期第一次月考数学（文）试题含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．是空集
B．是无限集
C．是有理数
D．方程的根是自然数
【答案】D
【分析】对各选项逐一判断真假即可.
【详解】对于A，有元素，所以不是空集，故A不是真命题，A错误；
对于B，，即，即，为有限集，故B错误；
对于C，是无理数，故C错误；
对于D，方程的根0和5是自然数，故D正确.
故选：D
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
3．在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
4．已知 ，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用特殊值及指数函数的单调性逐项判断即可.
【详解】取，则满足题意，
此时，所以A选项错误；
取，则满足题意，
此时，所以B选项错误.
取，则满足题意，
此时，所以C选项错误.
由于在上递减，而，
所以，
所以D选项正确.
故选：D
5．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分必要条件的概念，判断“”与“”是否相互推出即可.
【详解】由 “”可以推出“”，
但由 “”不能推出“”，如：当时，，但.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6．下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数运算、分数指数幂与根式的化简、对数运算法则即可知A、B、C错误.
【详解】根据指数运算法则可知，，即A错误；
再根据分数指数幂与根式化简可得，即B错误；
由对数运算法则可知，，而，
故C错误，D正确.
故选：D
7．已知点在幂函数的图象上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意结合幂函数的定义列式求解.
【详解】由题意可得：，解得，
所以.
故选：B.
8．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域和奇偶性排除选项和，再利用特殊值即可排除选项，进而求解.
【详解】由题意可知：函数的定义域为，
又因为，
所以函数为上的奇函数，故排除选项和；
又因为当时，函数，故排除选项，
故选：.
9．函数满足，则（ ）
A．B．0C．2D．
【答案】D
【分析】根据题意令，即可得结果.
【详解】因为，令，可得.
故选：D.
10．若函数在区间上为不单调函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用二次函数的图像与性质即可得到结果.
【详解】因为二次函数的对称轴为，
又函数在区间上为不单调函数，所以，
故选：C.
11．函数是定义在上周期为2的奇函数，若则（ ）.
A．B．1C．0D．0.5
【答案】A
【分析】根据条件，易得，从而求出结果.
【详解】因为函数是定义在上周期为2的奇函数，
所以，又，即，
故，
故选：A.
12．定义域为R的函数满足条件：①，恒有；②；③，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知，利用函数的单调性、奇偶性，分类讨论解不等式.
【详解】因为，恒有，
所以在上恒成立，即在上单调递增，
因为，所以，即是定义在R上的偶函数，
所以函数在上单调递减，又，所以，
对于不等式，
当时，，可得；
当时，，可得；
综上，不等式的解集是.
故选：A
二、填空题
13．命题“，”的否定是 .
【答案】，
【分析】利用全称量词命题的否定求解即得.
【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“，”的否定是：，.
故答案为：，
14．已知，则 .
【答案】1
【分析】根据函数解析式，由内而外，逐步计算，即可得出结果.
【详解】因为，
所以，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关已知函数解析式求函数值的问题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，注意从内向外求解.
15．若，满足约束条件，则的最大值是 .
【答案】6
【分析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置来求得的最大值.
【详解】画出不等式组表示的平面区域（阴影部分），如图所示．
要求的最大值，即求直线在轴上的截距的最小值．
由数形结合可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，即取得最大值．
由，得到，即点，
代入，得到，即的最大值为．

故答案为：.
16．函数的单调递减区间为 .
【答案】
【分析】作出的图像，根据图像即可求出结果.
【详解】由，得到或，
函数的图像如图所示，
由图知，函数的单调递减区间为，
故答案为：.

三、解答题
17．若不等式的解集为A，的解集为B．
(1)求集合A和B（用区间表示）；
(2)求，．
【答案】(1)，
(2)，.
【分析】（1）直接解不等式求出其解集，即可得到两集合，
（2）利用交集和并集的定义直接求解即可
【详解】（1）由，得，解得，
所以集合，
由，得，得，
所以，解得，
所以集合，
（2）因为，，
所以，.
18．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，求最大值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）将变形为，再利用基本不等式即可求出结果；
（2）根据条件，直接利用基本不等式即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以，
又，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
（2）因为，所以，
又，当且仅当，即时取等号，
所以最大值为.
19．函数是定义在R上的奇函数，当时，.
(1)求；
(2)当时，求的解析式.
【答案】(1)51；
(2).
【分析】（1）由题可得，结合已知解析式即可得出答案；
（2）根据奇函数的定义结合条件即得.
【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数，当时，,
所以；
（2）当时，，
由于是定义在R上的奇函数，
所以,
即.
20．设命题：不等式成立；命题：关于的方程有两个不相等的负根.
(1)若是真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题“或”为真命题、“且”为假命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法进行求解即可；
（2）根据且命题的性质，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可.
【详解】（1）由为真命题，即，
解得或.
实数的取值范围是；
（2）若为真，则，解得.
命题“或”为真命题、且”为假命题，则与一真一假.
若真假，则，得；
若假真，则，得.
实数的取值范围是
21．已知，
(1)用分段函数表示的解析式，并作出其图象；
(2)指出函数的定义域与值域；
(3)解不等式.
【答案】(1)，作图见解析
(2)函数的定义域为，值域为
(3)
【分析】（1）将函数的解析式表示为分段函数的形式，然后作出函数的图象；
（2）根据（1）中的图象可得出函数的定义域和值域；
（3）分、、三种情况解不等式，综合可得出不等式的解集.
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
当时，，
所以，，作出函数的图象如下图所示：
（2）解：由（1）中的图可知，函数的定义域为，值域为.
（3）解：当时，由可得，此时，，
当时，由可得，此时，，
当时，由可得，此时，.
综上所述，不等式的解集为.
22．已知函数.
(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义给出证明；
(2)若，求函数的最大值和最小值.
【答案】(1)在区间上递增，证明见解析
(2)最大值为，最小值为.
【分析】（1）设，且，然后作差变形，再判断符号可得结论；
（2）由（1）可知在上递增，从而可求出其最值.
【详解】（1），函数在区间上递增，证明如下：
任取，且，
则
因为，且，所以，，
所以，所以，即，
所以在区间上递增，
（2）由（1）可知在上递增，
所以的最大值为，最小值为.