2024届陕西省咸阳市礼泉县第二中学高三上学期第一次月考数学（理）试题含解析

这是一份2024届陕西省咸阳市礼泉县第二中学高三上学期第一次月考数学（理）试题含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定为：命题“”.
故选：C.
2．已知函数，则的解析式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用配凑法求出解析式即可.
【详解】依题意，函数，
所以的解析式是.
故选：B
3．已知全集，集合满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据补集的定义求出集合，再判断即可.
【详解】因为，且，
所以，
所以，，，.
故选：D
4．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由Venn图确定集合的表示，然后计算可得．
【详解】，
由题意图中阴影部分表示为，
故选：B．
5．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据导数的四则运算法则，求导即可得出答案.
【详解】对于A项，因为，故A项错误；
对于B项，因为，故B项错误；
对于C项，因为，故C项错误；
对于D项，因为，故D项正确.
故选：D.
6．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出，根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切点坐标，代入直线的点斜式方程，整理即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
所以，.
根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线的斜率为
.
又，
代入点斜式方程可得，，
整理可得.
故选：B.
7．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据奇偶性，可排除BC，由，可排除D，从而可选出答案.
【详解】函数的定义域为，且，故函数为上的偶函数，其图象关于轴对称，可排除BC；
，因为，所以，可排除D，只有A选项符合题意.
故选：A.
【点睛】本题考查函数图象的识别，注意利用函数的奇偶性、特殊值，考查学生的推理能力，属于基础题.
8．幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是减函数
C．是奇函数D．是偶函数
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义及单调性可判断AB，再由奇函数的定义判断CD.
【详解】函数为幂函数，则，解得或.
当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A；
当时，在区间上单调递减，满足题意.
函数在和上单调递减，但不是减函数，排除B；
因为函数定义域关于原点对称，且，
所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.
故选：C.
9．已知函数的定义域为，且的图象关于直线对称．当时，，则（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】A
【分析】首先得到为偶函数，再根据偶函数的性质及所给函数解析式计算可得.
【详解】函数的定义域为，且的图象关于直线对称,
所以的图象关于直线对称，即为偶函数，
又当时，，所以.
故选：A
10．若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由对数型复合函数的定义域和单调性，结合二次函数性质，列不等式组即可得解.
【详解】设，
由题意得：在上恒成立，
且由复合函数单调性“同增异减”原则可知：
函数在上单调递减，
则有，解得：.
故选：A
11．已知定义在R上的奇函数满足，则以下说法错误的是（ ）
A．B．的一个周期为2
C．D．
【答案】C
【分析】由奇函数性质得，然后由周期性的定义判断其它选项．
【详解】是R上的奇函数，因此，A正确；
，所以2是它的一个周期，B正确；
，但的值不确定，C错；
，，因此，D正确．
故选：C．
12．已知函数的定义域为,满足,且时,.若,都有,则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的性质推得其解析式,作出其大致图象,数形结合,求解不等式,即可确定的取值范围.
【详解】当时,,
因为,且时,,
所以;
当时,,
所以;
因为,
当时,,
所以;
所以,得,
由此做出函数图像得:

当时,,解得或,
结合图像得的解为:或,
因为,都有,
所以.
故选:B.
二、填空题
13．已知集合，则集合A的所有非空真子集的个数是 ．
【答案】6
【分析】用列举法表示出，进而写出满足条件的集合，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
所以，集合A的所有非空真子集为，共6个.
故答案为：6.
14．设函数在处的导数为2，则 ．
【答案】
【分析】根据题意结合导数的定义分析求解.
【详解】因为函数在处的导数为2，即，
所以.
故答案为：.
15．一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中s（单位：厘米）是小球相对于平衡点的位移，t（单位：秒）为运动时间，则小球在时的瞬时速度为 cm/s.
【答案】0
【分析】先对函数求导，然后将代入导函数中可求得结果
【详解】由，得，
所以小球在时的瞬时速度为.
故答案为：0
16．设命题函数在上为增函数；命题函数为奇函数．则下列命题中真命题的个数是 ．
①；②；③；④．
【答案】
【分析】判断命题、的真假，再结合复合命题的真假可判断①②③④中命题的真假.
【详解】对于命题，函数在上为增函数，命题为真命题，
对于命题，函数的定义域为，，
故函数不是奇函数，命题为假命题，
故命题为假命题，为假命题，为假命题，为真命题.
故答案为：.
三、解答题
17．已知函数
（1）求的值；
（2）若，求．
【答案】（1）；（2）．
【分析】(1)根据给定函数，先求，再求即可；
(2)根据给定条件按和分段讨论计算作答.
【详解】(1)依题意，，，
所以的值是2；
(2)因，依题意有，解得，或者，无解，于是得，
所以.
18．已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入可得出，解不等式可得，然后根据交集的运算，即可得出答案；
（2）根据已知条件，列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】（1）当时，有.
解可得，或，
所以或，
所以．
（2）由（1）知，或，
又，，
所以有，解得，，
所以满足的实数的取值范围是．
19．已知函数的导函数是，且．
（1）求的解析式；
（2）求经过点且与曲线相切的直线方程．
【答案】（1）；（2），．
【分析】（1）根据题意可得，解方程组即可求出，进而求出结果；
（2）该切线的切点坐标为，结合导数的几何意义求出切线方程，将点代入切线方程即可求出切点横坐标，进而求出结果.
【详解】解：因为，
所以，
则，
解得，
所以．
设该切线的切点坐标为，
因为
所以该切线方程为，
将代入方程整理得，
解得，
当时，切线方程为；
当时，切线方程为，
所以经过点且与曲线相切的直线方程为或.
20．已知命题：实数满足，命题：实数满足（其中）．
(1)若，且为真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由为真命题，得，由并集运算可得；
（2）由是的必要不充分条件，则，由集合间的包含关系建立不等关系求解即可.
【详解】（1）设集合满足条件，集合满足条件，
已知命题：实数满足，
由，解得，故，
当时，命题：实数满足.
由，解得，故，
∵为真命题，则实数，
又或，
∴实数的取值范围为．
（2）∵，，
由，得，
解得，即，又，
∵是的必要不充分条件，
，且，即，
∴且等号不同时取到，
解得.
∴实数的取值范围为．
21．已知二次函数．
(1)若，求在上的最值；
(2)求函数在上的最小值．
【答案】(1)最小值为，最大值为
(2)
【分析】（1）代入，根据二次函数的性质，得出单调区间，进而结合端点处的函数值，即可得出最值；
（2）求出函数的对称轴，分类讨论对称轴与区间的关系，得出函数的单调性，进而得出函数的最小值.
【详解】（1）当时，.
∵的对称轴为，
∴在上单调递减，在上单调递增.
又，，，
所以，当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为．
（2）二次函数的对称轴为.
当，即时，在上单调递增，
∴；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
∴；
当，即时，在上单调递减，
∴．
综上，.
22．已知函数（且）．
(1)判断的单调性并用定义法证明；
(2)若，求在上的值域．
【答案】(1)当时，单调递增，当时，单调递减，证明见解析.
(2)
【分析】（1）任取且，作差判断符号即可判断单调性；
（2）由可得，根据将转化成一元二次函数形式，利用一元二次函数的图像和性质求解即可.
【详解】（1）当时，单调递增；当时，单调递减，证明如下：
任取且，
，
因为，
所以当时，，则，即，单调递增；
当时，，则，即，单调递减.
（2）因为即解得或（舍去），
所以，，
所以，
由（1）得当时单调递减，所以当时，，
令，则，一元二次函数对称轴为，
所以在上单调递减，且，，
所以在上的值域为.