2023-2024学年河北省石家庄第十五中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省石家庄第十五中学高二上学期期中数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在棱柱中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的加法运算法则直接计算.
【详解】，
故选：B.
2．已知点在直线上，则直线的倾斜角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用倾斜角和斜率之间的关系计算即可求得倾斜角的大小为.
【详解】直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以.
故选：C.
3．一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为，目标未受损的概率为，则使目标受损但未击毁的概率是（ ）
A．0.8B．0.56C．0.5D．0.06
【答案】C
【分析】利用互斥事件与对立事件的概率公式计算即可.
【详解】依题意，目标受损但未击毁的概率是.
故选：C
4．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，为的中点，若，，，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为为与的交点，
所以，
故.
故选：B.
5．已知是空间的一个基底，，，若，则（ ）
A．B．0C．5D．6．
【答案】D
【分析】利用空间向量基底的概念及共线定理计算即可.
【详解】易知，
因为，所以存在实数，使得，
所以，
所以，所以．
故选：D．
6．已知圆经过点，且圆心在直线上，若为圆上的动点，则线段为坐标原点）长度的最大值为（ ）
A．B．C．10D．
【答案】A
【分析】求出圆心和半径，根据即可得答案.
【详解】解：线段中点的坐标为，
所以线段的中垂线的斜率为，
所以线段的中垂线的方程为，
又圆心在直线上，
由，解得，
所以圆心为．

所以.
故选：A．
7．已知木盒中有围棋棋子15枚（形状大小完全相同，其中黑色10枚，白色5枚），小明有放回地从盒中取两次，每次取出1枚棋子，则这两枚棋子恰好不同色的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.
【详解】从盒中随机取出1枚棋子，“是黑棋子”记为事件，“是白棋子”记为事件，则，，
两枚棋子恰好不同色包含：
第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子，这两个事件是互斥事件．
第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子相互独立，概率为；
第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子也相互独立，概率为．
所以这两枚棋子恰好不同色的概率是．
故选：A．
8．点到直线（为任意实数）的距离的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意可知直线恒过点，由此可知到直线的最远距离为，最短距离为0，即可得答案.
【详解】解：将直线方程变形为，
由，解得，
由此可得直线恒过点，
所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于
到直线的最短距离为0，此时直线经过点．
又，
所以到直线的距离的取值范围是．
故选：B．
二、多选题
9．已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（ ）
A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得
B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C．若，，则
D．若所在直线两两共面，则共面
【答案】ACD
【分析】根据空间向量基本定理分别判断.
【详解】由空间向量基本定理.可知只有当不共面时. 才能作为基底，
才能得到，故A错误：
若是空间的一个基底，则不共面. 也不共面，
所以也是空间的一个基底，故B正确；
若，，则不一定平行，故C错误；
若所在直线两两共面，则不一定共面，故D错误.
故选：ACD.
10．从1，2，3，…9中任取两个数，其中：①恰有一个偶数和两个都是奇数；②至少有一个偶数和两个都是偶数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是互斥事件的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】AC
【分析】根据题意，由互斥事件的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】根据题意，从1，2，3，…，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”三种情况．依次分析所给的4个事件可得，①恰有一个偶数和两个都是奇数,不能同时发生，是互斥事件；
②至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个都是偶数不是互斥事件；
③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”不能同时发生，是互斥事件；
④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是互斥事件．
故选:AC．
11．已知直线过点，若与，轴的正半轴围成的三角形的面积为，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】利用直线的截距式，结合基本不等式可得解.
【详解】由题意知直线在，轴上的截距存在且大于，
可设的方程为（，），
由直线过点，得，
所以，当且仅当，即，时，等号成立，
即，所以，
故选：CD.
12．如图，在正四棱锥中，，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ）

A．B．直线和所成角的余弦值是
C．点到直线的距离是D．点到平面的距离是2
【答案】ABC
【分析】连接，利用中位线、正四棱锥的性质判断A；过作，交延长线于，若为中点，连接，先证为平行四边形，由异面直线定义确定直线和所成角的平面角，再求其余弦值判断B；中求各边长，余弦定理求，进而求点到直线的距离判断C；证面，等体积法有求点面距离判断D.
【详解】A：连接，分别为，的中点，即为中位线，则，
由为正四棱锥，故为正方形，则，所以，对；
B：过作，交延长线于，若为中点，连接，
又，即，则为平行四边形，故，，
而且，故且，即为平行四边形，
所以且，故直线和所成角，即为或其补角，
及正四棱锥的性质知：侧面为等边三角形，底面为正方形，且棱长均为，
所以，，
，故直线和所成角的余弦值是，对；
C：中，又，则，
所以，则，
所以，故，
所以点到直线的距离是，对；
D：由上分析知：，若为底面中心，则为中点，，
连接，交为，则，则，
又，，面，
所以面，即面，易知：，
令到平面的距离为，则，
由，则中上的高为，故，
由，，则，
所以，错.
故选：ABC
三、填空题
13．若直线与直线垂直，则实数 .
【答案】/
【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可.
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，解得，
故答案为：.
14．在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了20组随机数：
由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为 ．
【答案】/
【分析】根据题意，由古典概型的概率计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】在20组数中，6830，7840，7834，5346，0952，5734，4725，5924，6051，9138满足要求，共10个，由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为．
故答案为：
15．在四棱柱中，四边形是正方形，，，，则的长为 .
【答案】
【分析】由题意先将分解成的线性组合，结合已知条件以及模长公式即可求解.
【详解】如图所示：

由题意知，
所以
，
所以，即的长为.
故答案为：.
16．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ．
【答案】
【分析】结合两点间线段最短，只需求其中一个点关于直线的对称点，再求对称点与另一点的距离即可.
【详解】
由题可知在的同侧，
设点关于直线的对称点为，
则，解得即．
将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又，
所以直线的方程为，
设将军在河边饮马的地点为，
则即为与的交点，
，解得，
所以．
故答案为：
四、问答题
17．已知三条直线，和.
(1)若，求实数的值；
(2)若三条直线相交于一点，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两条直线平行的条件求解即可；
（2）先由两条确定的直线求出交点坐标，然后带入含参直线求解即可.
【详解】（1）因为，且.
所以.解得.经检验，时，.
（2）由，解得 即与的交点为，
因为三条直线相交于一点，所以点在上，
所以.解得.
18．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，为做好本次亚运会的服务工作，从某高校选拔志愿者，现对该校踊跃报名的100名学生进行综合素质考核，根据学生考核成绩分为四个等级，最终的考核情况如下表：
(1)将频率视为概率，从报名的100名学生中随机抽取1名，求其成绩等级为或的概率；
(2)已知等级视为成绩合格，从成绩合格的学生中，根据考核情况利用比例分配的分层随机抽样法抽取5名学生，再从这5名学生中选取2人进行座谈会，求这2人中有等级的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等可能事件概率计算公式求解即可；（2）取的5名学生中成绩为等级的人数分别为1，4，从这5名学生中选取2人，列举出所有结果，根据古典概型概率计算公式计算即可.
【详解】（1）由题知，任意抽取1人，抽到的学生成绩等级为或的概率为．
（2）由题知，抽取的5名学生中成绩为等级的人数分别为1，4，
记这5人分别为，从中抽取2人的样本空间为，
共10个样本点，其中有等级的样本点有，共4个，
所以这2人中有等级的概率为．
19．已知.
(1)求点到直线的距离；
(2)求的外接圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直线的两点式求得直线的方程为，由点到直线距离公式即可求出结果；
（2）设的外接圆的方程为，代入坐标联立解方程组即可求得结果.
【详解】（1）直线的方程为，
化简可得，
所以点到直线的距离.
（2）设的外接圆的方程为，
将的坐标代入，得
，即
解得；
故所求圆的方程为.
五、证明题
20．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，的中点.

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点G，连接，，利用线线平行证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角正弦值.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，
因为F，G分别为，的中点，
所以，，
又E为的中点，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）
解：在直三棱柱中，平面，
又平面，平面，
所以，，又，
故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，
所以，， ，
设平面的法向量为，
则令得，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为.
六、问答题
21．一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为．
(1)求的值；
(2)求小红不能正确解答本题的概率；
(3)求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式计算得解.
（2）利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算得解.
（3）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解.
【详解】（1）记小红使用解法一、二、三、四答对分别为事件，则，
因为各种解法能否答对互不影响，且全部答对的概率为，
于是，解得，
所以.
（2）若小红不能正确解答本题，则说明小红任何方法都不会，
所以小红不能正确解答本题的概率是．
（3）记事件为小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对，
则
，
所以小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率为．
七、证明题
22．图，在三棱台中，是等边三角形，，侧棱平面，点D是棱的中点，点E是棱上的动点（不含端点B）.

(1)证明:平面
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先分别证明、，由此即可证明平面，从而由面面垂直的判定定理即可得证.
（2）建立适当的空间直角坐标系，设，分别求出求平面与平面的法向量（含有参数），由公式即可表示出（它可以看成是关于的函数），从而将问题转换为了求函数的最小值，从而即可求解.
【详解】（1）因为是等边三角形，点是棱的中点，
所以，
又平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）在平面中，过点作,
由（1）可知，，
所以，，
又平面，平面，所以，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示：

因为是等边三角形，，
所以，，，
因为 ，所以
设所以，
所以
设平面的法向量为，
又
所以，即 ，
令，得所以平面的一个法向量为
设平面的法向量为 ，
又
所以 ，即 ，
令，得
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
所以，
设，因为，
所以，所以，
所以，
设，则由复合函数单调性可知
在时单调递增，
所以当 时，即时，取到最小值.
【点睛】关键点点睛：本题第一问比较常规，其关键是转换为线面垂直，且要通过分析找出那条直线与另外一个平面垂直，而第二问的关键首先要想到有动点就有参数，设法将两平面夹角的余弦值转换为关于参数的函数，从而求函数最小值即可.
6830
3215
7056
6431
7840
4523
7834
2604
5346
0952
6837
9816
5734
4725
6578
5924
9768
6051
9138
6754
等级
人数
10
40
40
10