2024届陕西省宝鸡市金台区高三上学期10月教学质量检测数学（理）试题含答案

这是一份2024届陕西省宝鸡市金台区高三上学期10月教学质量检测数学（理）试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知是虚数单位，若复数满足：，则（ ）
A．0B．2C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，即可求解.
【详解】由复数，可得，则，
所以.
故选：A.
2．设全集，，，则图中阴影部分表示的区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由图可知求集合的补集，根据并集、补集运算求解即可.
【详解】集合，，
，
，
故选：B
3．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】D
【分析】根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解.
【详解】如图,该几何体为正方体去掉三棱锥,
所以该几何体的体积为：,
故选：D
【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法，考查了空间想象力，属于中档题.
4．某学校为了解学生参加体育活动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取80名学生，已知该校初中部和高中部分别有250名和150名学生，则不同的抽样结果共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】A
【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案．
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取 人，高中部共抽取人，
根据组合公式和分布计数原理则不同的抽样结果共有种
故选：A．
5．记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
【答案】C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C.
6．设O为平面坐标系的坐标原点，P为区域内的点，则直线OP的倾斜角不大于的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型即可求解．
【详解】由区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环，
则直线OP的倾斜角不大于的范围在第一象限对应的圆心角为，
结合对称性可得所求概率为．
故选：B．
7．已知是奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用奇函数定义可知需满足，再根据指数运算性质化简可求得.
【详解】易知函数的定义域为，
因为是奇函数，
则，
可得，即，
则，即，解得.
故选：D
8．已知函数，若，，且在区间上单调，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据已知可得函数的对称性，结合在区间上单调性从而得到，求出，再由求出可得的解析式，再计算即可．
【详解】因为，所以函数图象关于点成中心对称，
又，所以的图象关于直线对称，
且在区间上单调，所以，即，．
又，，，所以，
所以，所以．
故选：B.
9．如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知组合体的体积是一个圆锥体积的二倍，内切球的球心为，半径为点到的距离，从而可求出球的半径，进而可求出球的体积，则可得答案
【详解】由题意可得，
因为上下两个圆锥大小相同，所以组合体内切球的球心为，半径等于点到的距离，设半径为，则
，
所以，
所以，
故选：D
10．如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，若三棱锥的体积等于时，异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先通过等边三角形和等腰直角三角形结合体积求得两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线所成角的余弦值.
【详解】取的中点，连接，因为是边长为2的等边三角形，
所以且，又，所以，
由得，所以，
设到平面的距离为h，则三棱锥的体积等于，
解得，而，
即为三棱锥的高，故平面，所以两两垂直，如图：

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，所以，，
设异面直线与所成角为，则，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C
11．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，.这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形.若，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：设椭圆和双曲线的半焦距为，，由于是以为底边的等腰三角形，若，即有，由椭圆的定义可得，由双曲线定义可得，即由，再由三角形的两边之和大于第三边，可得，可得，既有，由离心率公式可得，由于，则由，则的取值范围是，故选C.
【解析】圆锥曲线的几何性质.
【方法点晴】本题主要考查了圆锥曲线的几何性质，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质、双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，椭圆与双曲线的离心率等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中借助三角形的三边之间的关系，列出关于表达式是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.
12．如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用转化法，将转化为或，进而求得的最小值.
【详解】解法一：
连接，则
，
当时，最小，即，
结合，得的最小值为．
解法二（极化恒等式法）：
依题意，为线段的中点，
则
,
由于，，所以的最小值为．
故选:D

二、填空题
13．若满足约束条件，则的最小值为 ．
【答案】.
【解析】画出约束条件表示的平面区域，结合图象求出最优解，再计算目标函数的最小值．
【详解】解：画出，满足约束条件，表示的平面区域，如图所示；
结合图象知目标函数过时，取得最小值，
由，解得，
所以的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合解题方法，是基础题．
14．在各项均为正数的等比数列中，若，则的值为 ．
【答案】2
【分析】由等比数列的性质，化简a4a6a8a10==16，解得a7=2，再由===a7，即可求解．
【详解】由题意，在各项均为正数的等比数列{an}中，a4a6a8a10=16，
结合等比数列的性质，可得a4a6a8a10==16，解得a7=2，
又由===a7=2．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的性质的应用，其中解答中熟练应用的等比数列的性质，结合数列的等比数列的通项公式进行运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
15．椭圆的左、右焦点分别为，，A为上顶点，若的面积为，则的周长为 ．
【答案】6
【分析】根据三角形的面积计算得到，再确定，计算周长即可.
【详解】，则，解得，所以，则，
故的周长为
故答案为：.
16．已知，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则的取值范围是
【答案】
【分析】设,由题意得，令，则，所以函数是增函数，原问题转化为恒成立，然后利用参变分离法，有恒成立，运用配方法求出函数在上的最大值即可．
【详解】若对任意两个不相等的正实数 都有恒成立,
不妨设，所以，即，
令，则，
所以函数在单调递增，
则恒成立，所以恒成立，
又函数，当时，等号成立，
所以， 所以实数的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用，本题采用参变分离法，将其转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
三、解答题
17．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.
（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.
【详解】（1），
，
，
.
（2）依题意，，，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
18．已知三角形中，三个内角的对应边分别为，且.
（1）若，求；
（2）设点是边的中点，若，求三角形的面积.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）用余弦定理后解方程可求得；
（2）由余弦定理求得中线与边长的关系，从而求得三角形的第三边长，再由余弦定理求出一个角的余弦，转化为正弦后可得三角形面积．
【详解】（1）由余弦定理可得.
（2）由题意可得，，
又，，
∴，即，∴，
∴，由，
∴.
【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查三角形面积，本题中涉及三角形路线问题，根据余弦定理有结论成立（其中是中点）．
四、证明题
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求二面角的平面角的大小．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）由勾股定理的逆定理证得后可得线面垂直
（2）证明与平面垂直，可得面面垂直，而要证线面垂直，可证与垂直；
（3）证明与平面垂直，可得所求二面角的平面角是，计算即得．
【详解】（1），．
．
同理可证．
平面．
（2）由（1）知平面，平面，．
∵四边形是正方形，．
又，平面．
又平面，∴平面平面．
（3）由（1）知平面，平面，．
又，平面．
平面，．
为二面角的平面角．
在中，．
∴二面角的平面角的大小为45°．
五、解答题
20．设直线的方程为，该直线交抛物线于两个不同的点.
(1)若点为线段的中点，求直线的方程；
(2)证明：以线段为直径的圆恒过点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程，消去得到，从而中点坐标可以用表示，从而求出并得到直线的方程.
（2）分直线l过不过B点进行讨论，结合（1）可得，利用韦达定理可以得到，从而以线段为直径的圆恒过点.
【详解】（1）联立方程组，消去得.
设，则.
因为为线段的中点，所以，解得，此时，
所以直线的方程为.
（2）因为在抛物线上，
当直线过时，，解得，满足，
此时有一点与重合，易得此时以线段为直径的圆过点；
当直线不过时，
由（1）可得，
则，，
所以
，
所以，
因此，此时以线段为直径的圆恒过点，
综上所述，以线段为直径的圆恒过点
21．已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，将代入，求导得，即可判断其单调性；
（2）根据题意，求导得，然后构造函数，求导得到最小值，即可证明.
【详解】（1）当，，定义域为，所以，
令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上： 在上单调递减，在上单调递增.
（2）因为，定义域为，所以，
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：
当时，在上单调递减，在上单调递增.
所以，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并分别指出是何种曲线；
(2)曲线是否有两个不同的公共点？若有，求出两公共点间的距离；若没有，请说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)有，
【分析】（1）根据题意，先将曲线的参数方程化为普通方程，然后再说明曲线类型即可；利用公式将极坐标方程化为直角坐标方程，然后说明曲线类型；
（2）用圆心到直线的距离判断直线与圆有两个公共点，然后结合勾股定理求解弦长即可.
【详解】（1）由消去得，.
曲线的普通方程为，
曲线是一个以为圆心，为半径的圆.
，
曲线的直角坐标方程为，曲线是一条直线.
（2）设圆心到直线的距离是，
则.
曲线与曲线相交于两个不同的点，
由垂径定理及勾股定理得.
两公共点间的距离为.
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)求直线与函数的图象围成的封闭图形的面积．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)分类讨论去绝对值求解即可；
(2)作出f(x)图像，数形结合即可求解.
【详解】（1）
不等式等价于或或
解得或，即不等式的解集为．
（2）由的图象可知直线与的图象围成的封闭图形是四边形，
且，，，，
则的面积．
延长交直线于点，则，
从而的面积．
故四边形的面积为．
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5