2024届陕西省菁师联盟高三上学期10月质量监测考试数学（文）试题含答案

这是一份2024届陕西省菁师联盟高三上学期10月质量监测考试数学（文）试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．复数是纯虚数，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【分析】根据纯虚数的定义列式求解即可.
【详解】因为是纯虚数，
则，解得.
故选：B.
2．向量，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量坐标表示可得，再由即可计算出.
【详解】由题意可得，
又，所以，解得；
故选：C
3．全集，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由补集和交集定义直接求解即可.
【详解】，.
故选：A.
4．已知，则大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由指数函数单调性、对数函数单调性即可求解.
【详解】因为在上单调递增，且在上单调递增，
所以有，
所以大小关系是.
故选：C.
5．等边边长为，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.
【详解】如图所示，由是边长为的等边三角形，且，可得，
所以.
故选：D.
6．已知，终边上有点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角函数定义得到，进而得到，，并判断出在第四象限，结合的范围得到答案.
【详解】由题意得，
故，，又，故在第四象限，
又，所以，
从而，解得，
又，所以，
故.
故选：D
7．函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由导数的几何意义求解即可.
【详解】设切点横坐标为，所作切线斜率为，则，
当时，，故不存在；
当时，满足：.
所以：.
故选：C.
8．，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据同角关系可求解进而根据和差角公式即可求解.
【详解】，故
故
.
故选：D
9．已知，则以下不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用不等式的性质，结合均值不等式、作差法比较大小判断ABD；举例说明判断C.
【详解】对于B，由，得，即，解得，B正确；
对于A，由，得，A正确；
对于C，取显然满足条件，C错误；
对于D，，由，得，
由，得，即，因此，D正确.
故选：C
10．条件是上的增函数；条件；则正确的是（ ）
A．p是q的必要不充分条件B．p是q的充分不必要条件
C．p是q的充要条件D．p是q的既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据对数函数的单调性、分式不等式的解法以及充分、必要条件的知识确定正确答案.
【详解】对于，是上的增函数，所以；
对于，.
因为是的真子集，所以p是q的必要不充分条件.
故选：A
11．已知，，的两个零点是，则以下结论：①有两个零点；②，对，；③；④也是的零点.其中正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根的个数的判断方法可确定①②正误；由韦达定理可知③正确；利用，，代回验证可知④正确.
【详解】对于①，令，则，
，，，，
方程有两个不等实根，即有两个零点，①正确；
对于②，，，
，，，，
不恒成立，即，使得，②错误；
对于③，，，③正确；
对于④，是的两个零点，，，
，，
即是方程的两根，也是的零点，④正确.
故选：C.
12．已知满足，则最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】画出可行域，由几何意义得到最小值为到直线的距离的平方，由点到直线距离公式求出答案.
【详解】可行域如图中阴影部分，

的几何意义是：可行域中的点与点的距离，
故的最小值为到直线的距离，
即，
故最小值为，经检验成立.
故选：D
二、填空题
13．不等式的解集 .
【答案】
【分析】根据对数不等式的解法求得正确答案.
【详解】，
故原不等式化为，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
14．已知，则 .
【答案】2
【分析】应用换底公式结合对数运算律，最后应用指对数转化解方程即可.
【详解】
.
故答案为：2.
15．函数是定义在上的奇函数，且图象关于对称，在区间上，，则 .
【答案】/0.25
【分析】根据对称性和奇函数分析可得，进而结合指对数运算求解.
【详解】由题意可得：，则，
可得，
又因为，即，
则，
所以.
故答案为：.
16．考察函数，有，故在区间上单调递减，故对有，由上结论比较从小到大依次是 .
【答案】
【分析】利用题设结论与对数运算公式即可求解.
【详解】由结论得：，
又，所以
故答案为：.
三、解答题
17．.
(1)求的最小周期及最大值；
(2)求在上所有零点的和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的性质求解即可.
（2）由求出相位的范围，再求出所有零点即可.
【详解】（1）依题意，
，
当，即时，，
所以的最小正周期，最大值为.
（2）由，得，当时，，
因此，解得，则，
所以在上所有零点的和为.
18．过点，且在上，最小值为.
(1)求；
(2)时，求上的动点到直线距离的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的图象过点，得到，又由的最小值可得，解出方程组即可；
（2）求出与直线平行且与曲线相切的直线与相切切点坐标，即可求解.
【详解】（1）将代入解析式得：①，
又②，
①②两式联立解得：或，
由得：.
（2）由得则
平移直线与函数图象相切于，
则，.
到的距离即为动点到距离的最小值：.
19．的内角的对边分别为的面积为.
(1)求；
(2)设点为外心，且满足，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由数量积的定义得，再结合三角形面积公式可得，从而得角；
（2）由圆性质得，然后由数量积定义求得，再由正弦定理求得．
【详解】（1），
两式相除得：，
又，∴.
（2）为外心，故.
由正弦定理可知：.
20．的内角的对边分别为为平分线，.
(1)求；
(2)上有点，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形面积公式及二倍角的正弦公式化简即可.（2）设分别在，中，用正弦定理把表示出来，联立方程即可求解.
【详解】（1）
设，
，
，，
，
（2）由（1）知：，
中，，
，故得：，
设中，
，
，
中，，，
，
两式相除得：，
，
，，
，
为锐角，故.
21．已知函数.
(1)已知，求最小值；
(2)讨论函数单调性.
【答案】(1)0
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导数，判断函数的单调性，利用单调性求出最值即可；
（2）求出函数的导数，分类讨论，根据导函数的正负，判断函数的单调性即可.
【详解】（1）当时，，
所以.
时，，
时，，时，，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故最小值为.
（2），
时，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增.
当时，当或时，在和上单调递增；
当时， 在上为减函数.
当时，上，在上为增函数.
当时，当或时，在和为增函数；
当时，在上为减函数.
综上，时，在上单调递减，在上单调递增；
时，在和上单调递增，在上为减函数；
时，在上为增函数；
时，在和为增函数，在上为减函数.
22．已知：.
(1)当时，求的单调性；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)函数的减区间为，增区间为；
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，并设，并利用判断的单调性，结合函数的零点，即可求解函数的单调性；
（2）首先判断时，不合题意，再分时，利用导数判断函数存在最小值，转化为，利用导数求得的取值范围，再求的取值.
【详解】（1），，
则，设，
则，故为增函数，且，
所以在区间上，为减函数；
在区间上，为增函数，
所以函数的减区间为，增区间为；
（2）时，时，不合题意；
时，，设，，
故为增函数，而时，；时，，
故，使，，
且上，，在上，，
故最小值为，
即，
令，则，即在上单调递减，
故的解集为.
对有，即为增函数，
故.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数判断函数的单调性，零点，不等式恒成立的综合应用，本题第二问的关键首先证明要使不等式成立，则，以及，这样根据的取值，即可求的取值范围.