2023-2024学年四川省绵阳市涪城区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省绵阳市涪城区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了定义新运算等内容，欢迎下载使用。
1．在一元二次方程﹣x2﹣4x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．﹣1，4B．﹣1，﹣4C．1，4D．1，﹣4
2．用配方法解方程x2+2x﹣5＝0时，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝5B．（x+1）2＝6C．（x+1）2＝7D．（x﹣1）2＝6
3．下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线
C．科克曲线D．斐波那契螺旋线
4．巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管最大喷水高度为3米，此时喷水水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列关于x的一元二次方程中有两个相等的实数根的是（ ）
A．（x﹣3）2＝4B．x2＝xC．x2+2x+1＝0D．x2﹣16＝0
6．某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数解析式为（ ）
A．y＝5000（1+2x）B．y＝5000（1+x）2
C．y＝5000+2xD．y＝5000x2
7．若将一个二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得函数解析式是y＝x2，那么这个函数解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2﹣2B．y＝（x+3）2+2
C．y＝（x﹣3）2﹣2D．y＝（x﹣3）2+2
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，D、E分别在AB、AC上，CE＝﹣1，且△BED是等腰直角三角形，其中∠BED＝90°，则AD的值是（ ）
A．1B．C．D．
9．已知关于x的一元二次方程x2+2m＝4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥2B．m＜2C．m≥0D．m＜0
10．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{﹣1，﹣3}＝﹣1；按照这个规定，若max{x，﹣x}＝，则x的值是（ ）
A．﹣1B．﹣1或2+C．2+D．1或2﹣
11．如图，将Rt△ABC绕着直角顶点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′，则∠CC′A的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
12．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），则a的取值范围是（ ）
A．B．或
C．﹣1≤a≤1D．﹣1≤a＜0或0＜a≤1
二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．若是关于自变量x的二次函数，则n＝ ．
14．已知点A（3a﹣9，2﹣a）关于原点对称的点为A′，点A′关于x轴对称的点为A″，点A″在第四象限，那么a的取值范围是 ．
15．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB'C'，点C′恰好落在边AB上，连接BB'，则∠C′B'B的度数是 ．
16．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为 ．
17．如图，点P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝，PB＝，PC＝2，则∠APB的度数为 ．
18．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），有以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③a﹣b≤m（am+b）（m为任意实数）；④若方程a（x+3）（1﹣x）＝﹣1的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣3＜x1＜x2＜1，其中说法正确的有 ．
三．解答题（共6小题，满分46分）
19．在下面的网格（每个小正方形的边长为1）中按要求画出图形并解答：
（1）先将△ABC向下平移5格得△A1B1C1，再将△ABC以点O为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°得△A2B2C2；
（2）请在图中以点O为坐标原点，建立适当直角坐标系，写出此时点A2、B2、C2的坐标．
20．如图，已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的对称轴为x＝1，请你解答下列问题：
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求出抛物线与x轴的交点；
（Ⅲ）当y随x的增大而减小时x的取值范围是 ．
（Ⅳ）当y＜0时，x的取值范围是 ．
21．某公司的商品进价每件60元，售价每件130元，为了支持“抗新冠肺炎”，每销售一件捐款4元．且未来30天，该商品将开展每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，市场调查发现，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件，y与x满足一次函数关系，其对应数据如表：
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）在这30天内，哪一天去掉捐款后的利润是6235元？
（3）设第x天去掉捐款后的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少元？
22．如图，长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的底端滑动1m，求梯子顶端下滑的区间．（精确到0.1米）
23．某学校活动小组探究了如下问题，请你帮助他们完成解答过程：
（1）操作发现：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为边BC上的一点，连接AD，作∠FAD＝90°，并截取FA＝AD，连接DF．求证：BD2+CD2＝DF2；
（2）灵活运用：如图2，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．
24．如图，在顶点为P的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的对称轴l上取点A（h，k+），过A作BC⊥l交抛物线于B、C两点（B在C的左侧），点A′和点A关于点P对称；过A′作直线m⊥l，又分别过点B、C作BE⊥m和CD⊥m，垂足为E、D．在这里我们把点A叫此抛物线的焦点，BC叫此抛物线的直径，矩形BCDE叫此抛物线的焦点矩形．
（1）直接写出抛物线y＝x2的焦点坐标以及直径的长．
（2）求抛物线y＝（x﹣3）2+2的焦点坐标以及直径的长．
（3）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的直径为，求a的值．
（4）①已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的焦点矩形的面积为2，求a的值．
②直接写出抛物线y＝（x﹣3）2+2的焦点矩形与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1有两个公共点时m的取值范围．
参考答案
一.选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．在一元二次方程﹣x2﹣4x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．﹣1，4B．﹣1，﹣4C．1，4D．1，﹣4
【分析】分别根据一元二次方程的一般形式中二次项系数和一次项系数的定义解答即可．
解：一元二次方程﹣x2﹣4x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是﹣1，﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．用配方法解方程x2+2x﹣5＝0时，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝5B．（x+1）2＝6C．（x+1）2＝7D．（x﹣1）2＝6
【分析】此题实际上是把左边配成完全平方式，右边化为常数．
解：移项，得
x2+2x＝5，
配方，得
x2+2x+1＝5+1，
即（x+1）2＝6，
故选：B．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．
3．下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线
C．科克曲线D．斐波那契螺旋线
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管最大喷水高度为3米，此时喷水水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数的图象性质进行解答即可．
解：根据图象知：
抛物线开口向下，顶点（，3），
∴答案B、D不符合．
把点（0，1）代入答案A、C检验，该点满足C．
故选：C．
【点评】在明确抛物线顶点的情况下，设抛物线顶点式，用抛物线经过的另外一点检验或者求a值．
5．下列关于x的一元二次方程中有两个相等的实数根的是（ ）
A．（x﹣3）2＝4B．x2＝xC．x2+2x+1＝0D．x2﹣16＝0
【分析】通过解方程求得方程的解或根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号判断即可．
解：A、∵（x﹣3）2＝4，
∴x﹣3＝±2，
∴x1＝1，x2＝5，
故本选项不符合题意；
B、∵x2＝x，
∴x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故本选项不符合题意；
C、Δ＝22﹣4×1×1＝0，该方程有两个相等实数根．故本选项符合题意；
D、Δ＝02﹣4×1×（﹣16）＝64＞0，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
6．某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数解析式为（ ）
A．y＝5000（1+2x）B．y＝5000（1+x）2
C．y＝5000+2xD．y＝5000x2
【分析】首先表示出第二年的销售量为5000（1+x），然后表示出第三年的销售量为5000（1+x）2，从而确定答案．
解：设每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，
根据题意得：y＝5000（1+x）2，
故选：B．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是分别表示出第二年和第三年的销售量，难度中等．
7．若将一个二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得函数解析式是y＝x2，那么这个函数解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2﹣2B．y＝（x+3）2+2
C．y＝（x﹣3）2﹣2D．y＝（x﹣3）2+2
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．
解：y＝（x﹣3）2+2向下平移2个单位，再向左平移3个单位得y＝x2．
故选：D．
【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，D、E分别在AB、AC上，CE＝﹣1，且△BED是等腰直角三角形，其中∠BED＝90°，则AD的值是（ ）
A．1B．C．D．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得：∠ABC＝∠C＝75°，BC＝BE，作辅助线，构建三角形全等，证明△BHE≌△EGD（AAS），得EG＝BH，EH＝DG，根据直角三角形30度的角性质得AD＝2DG，可得出答案．
解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠C＝75°，
∵△DBE是等腰直角三角形，
∴∠DBE＝45°，
∴∠CBE＝30°，
∴∠BEC＝75°＝∠C，
∴BC＝BE，
过D作DG⊥AC于G，过B作BH⊥AC于H，
∵∠BED＝90°，
∴∠BEH+∠DEG＝∠BEH+∠EBH＝90°，
∴∠DEG＝∠EBH，
∵BE＝DE，∠BHE＝∠EGD＝90°，
∴△BHE≌△EGD（AAS），
∴EG＝BH，EH＝DG，
Rt△ADG中，∠A＝30°，
∴AD＝2DG，
∵BC＝BE，BH⊥CE，
∴CE＝2EH＝2DG＝AD＝﹣1，
故选：C．
【点评】此题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解本题的关键是证明△BHE≌△EGD．
9．已知关于x的一元二次方程x2+2m＝4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥2B．m＜2C．m≥0D．m＜0
【分析】先将方程化为一般形式，再根据根的情况得出Δ＝（﹣4）2﹣4×1×2m＞0，解之可得答案．
解：∵x2+2m＝4x，
∴x2﹣4x+2m＝0，
根据题意，得：Δ＝（﹣4）2﹣4×1×2m＞0，
解得m＜2，
故选：B．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
10．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{﹣1，﹣3}＝﹣1；按照这个规定，若max{x，﹣x}＝，则x的值是（ ）
A．﹣1B．﹣1或2+C．2+D．1或2﹣
【分析】根据新定义分x＞0和x＜0列出方程，再分别求解可得．
解：若x＞﹣x，即x＞0，则x＝，解得x＝2+（负值舍去）；
若x＜﹣x，即x＜0，则﹣x＝，解得x＝﹣1（正值舍去）；
故选：B．
【点评】本题主要考查了新定义和解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
11．如图，将Rt△ABC绕着直角顶点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′，则∠CC′A的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】根据旋转的性质可得到AC＝AC′，从而不难求得∠CC′A的度数．
解：由题意可得，AC＝AC'，∠CAB＝90°，则∠CC′A＝45°，故选B．
【点评】此题主要考查等腰直角三角形的性质和旋转的性质，得出AC＝AC'是关键．
【链接】旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．
12．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），则a的取值范围是（ ）
A．B．或
C．﹣1≤a≤1D．﹣1≤a＜0或0＜a≤1
【分析】把A、B的坐标代入函数解析式，即可求出a+c＝0，b＝﹣1，代入得出抛物线表达式为y＝ax2﹣x﹣a（a≠0），得出对称轴为x＝，再进行判断即可．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），
∴a+b+c＝﹣1 ①a﹣b+c＝1 ②
①+②得：a+c＝0 即a与c互为相反数，
①﹣②得：b＝﹣1；
所以抛物线表达式为y＝ax2﹣x﹣a（a≠0），
∴对称轴为x＝，
当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝＜0，
∵抛物线y＝ax2﹣x﹣a（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），
画图可知，当≤﹣1时符合题意，此时﹣≤a＜0，
当﹣1＜＜0时，图象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去
同理，当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝＞0，
画图可知，当≥1时符合题意，此时0＜a≤，
当0＜＜1时，图象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去，
综上所述：a的取值范围是﹣≤a＜0或0＜a≤，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质和二次函数图象上点的坐标特征，能灵活运用性质和已知函数的新定义求解是解此题的关键．
二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．若是关于自变量x的二次函数，则n＝ 2 ．
【分析】根据二次函数的定义可得n2﹣2＝2且n+2≠0，求解即可．
解：∵是关于自变量x的二次函数，
∴n2﹣2＝2且n+2≠0，
解得n＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的解析式是解题的关键．
14．已知点A（3a﹣9，2﹣a）关于原点对称的点为A′，点A′关于x轴对称的点为A″，点A″在第四象限，那么a的取值范围是 2＜a＜3 ．
【分析】先根据对称性得出A″（9﹣3a，2﹣a），然后根据第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0，列出不等式组，解不等式组即可．
解：∵点A（3a﹣9，2﹣a）关于原点对称的点为A′，
∴A′（9﹣3a，a﹣2），
∵点A′关于x轴对称的点为A″，
∴A″（9﹣3a，2﹣a），
∵点A″在第四象限，
∴，
解得：2＜a＜3．
故答案为：2＜a＜3．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，关于x轴对称的点的特点，关于原点对称点的特点，解题的关键是列出关于a的不等式组．
15．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB'C'，点C′恰好落在边AB上，连接BB'，则∠C′B'B的度数是 20° ．
【分析】先根据旋转的性质，求得AB＝AB'，∠BAB'＝40°，进而得到△ABB'中，∠ABB'＝70°，再根据∠C＝90°，在Rt△BC'B'中，求得∠C′B′B即可．
解：∵把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，
∴AB＝AB'，∠BAB'＝40°，
∴∠AB'B＝∠ABB'，
∴∠ABB'＝（180°﹣40°）＝70°，
又∵∠AC'B'＝∠C＝90°，
∴Rt△BC'B'中，∠C′B′B＝90°﹣70°＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，解决问题的关键是掌握：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
16．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为 y＝2x2﹣4x+4 ．
【分析】由AAS证明△AHE≌△BEF，得出AE＝BF＝x，AH＝BE＝2﹣x，再根据勾股定理，求出EH2，即可得到y与x之间的函数关系式．
解：如图所示：
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，AB＝2．
∴∠1+∠2＝90°，
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠HEF＝90°，EH＝EF．
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠2＝∠3，
在△AHE与△BEF中，
∵，
∴△AHE≌△BEF（AAS），
∴AE＝BF＝x，AH＝BE＝2﹣x，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：
EH2＝AE2+AH2＝x2+（2﹣x）2＝2x2﹣4x+4；
即y＝2x2﹣4x+4（0＜x＜2），
故答案为：y＝2x2﹣4x+4．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题难度适中，求出y与x之间的函数关系式是解题的关键．
17．如图，点P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝，PB＝，PC＝2，则∠APB的度数为 150° ．
【分析】由旋转的性质可得PB＝EB，∠EBP＝∠ABC＝60°，可得△PBE为等边三角形，由勾股定理的逆定理可得∠APE＝90°，即可求解．
解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得到的△BEA．
∴△PBC≌△EBA，
∴PB＝EB，∠EBP＝∠ABC＝60°，
∴△PBE为等边三角形，
∴PE＝PB＝，∠EPB＝60°，
∵AE＝PC＝2，PA＝，
∴PE2+AP2＝AE2，
∴△APE为直角三角形，
∴∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°；
故答案为：150°
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定，勾股定理的逆定理的应用，证得△BPE为等边三角形和△APE为直角三角形是解题的关键．
18．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），有以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③a﹣b≤m（am+b）（m为任意实数）；④若方程a（x+3）（1﹣x）＝﹣1的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣3＜x1＜x2＜1，其中说法正确的有 ②③ ．
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点可对①进行判断；根据抛物线的对称性可知x＝2时，y＞0，可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；根据函数与方程的关系可对④进行判断．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），
∴抛物线过点（1，0），
∴x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y有最小值，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c（m为任意实数），
∴m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数），所以③正确；
∵方程a（x+3）（1﹣x）＝﹣1的两根为x1，x2，且x1＜x2，
∴抛物线与直线y＝1有两个交点（x1，1），（x2，1），
由图象可知x1＜﹣3，x2＞1，所以④错误．
故答案为：②③．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三．解答题（共6小题，满分46分）
19．在下面的网格（每个小正方形的边长为1）中按要求画出图形并解答：
（1）先将△ABC向下平移5格得△A1B1C1，再将△ABC以点O为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°得△A2B2C2；
（2）请在图中以点O为坐标原点，建立适当直角坐标系，写出此时点A2、B2、C2的坐标．
【分析】本题考查的是平移变换与旋转变换作图．
作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：
①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；
②确定图形中的关键点；
③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；
④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．
作旋转后的图形的依据是旋转的性质，基本作法是：
①先确定图形的关键点；
②利用旋转性质作出关键点的对应点；
③按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意旋转中心，旋转方向和角度．
解：
A2（5，2），B2（1，4），C2（3，1）．
【点评】在平移时要注意平移的方向和平移的距离，旋转时借助于格点图形的特征构造直角．要注意旋转中心，旋转方向和角度．
20．如图，已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的对称轴为x＝1，请你解答下列问题：
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求出抛物线与x轴的交点；
（Ⅲ）当y随x的增大而减小时x的取值范围是 x＞1 ．
（Ⅳ）当y＜0时，x的取值范围是 x＜﹣1或x＞3 ．
【分析】（Ⅰ）利用抛物线的对称轴方程得到﹣＝1，解方程得到m的值；
（Ⅱ）令y＝0，然后解方程﹣x2+2x+3＝0得抛物线与x轴的交点
（Ⅲ）根据二次函数的性质求解；
（Ⅳ）结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
解：（Ⅰ）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴m＝3；
（Ⅱ）∵m＝3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）；
（Ⅲ）∵a＝﹣1＜0，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y的值随x的增大而减小，
故答案为x＞1；
（Ⅳ）当x＜﹣1或x＞3时，y＜0，
故答案为x＜﹣1或x＞3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
21．某公司的商品进价每件60元，售价每件130元，为了支持“抗新冠肺炎”，每销售一件捐款4元．且未来30天，该商品将开展每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，市场调查发现，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件，y与x满足一次函数关系，其对应数据如表：
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）在这30天内，哪一天去掉捐款后的利润是6235元？
（3）设第x天去掉捐款后的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）设y与x满足的一次函数数关系式为y＝kx+b（k≠0），用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得关于x的一元二次方程：（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）＝6235，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可；
（3）由题意得W关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
解：（1）设y与x满足的一次函数数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（1.35），（3，45）分别代入得：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为y＝5x+30；
（2）根据题意得：（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）＝6235，
整理得：x2﹣60x+851＝0，
解得：x＝23或x＝37（舍），
∴在这30天内，第23天去掉捐款后的利润是6235元；
（3）由题意得：
W＝（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30
＝﹣5x2+300x+1980
＝﹣5（x﹣30）2+6480，
∵a＝﹣5＜0，
∴当x＝30时，W有最大值，最大值为6480元．
∴W与x之间的函数关系式是W＝﹣5（x﹣30）2+6480，第30天的利润最大，最大利润是6480元．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用、待定系数法求一次函数的解析式及二次函数与一元二次方程的关系等知识点，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．如图，长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的底端滑动1m，求梯子顶端下滑的区间．（精确到0.1米）
【分析】设梯子顶端下滑了xm，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
解：设梯子顶端下滑了xm，
依题意得：（8﹣x）2+（+1）2＝102，
解得：x1＝8﹣≈0.9，x2＝8+≈15.1（不合题意，舍去）．
答：梯子顶端下滑了约0.9m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．某学校活动小组探究了如下问题，请你帮助他们完成解答过程：
（1）操作发现：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为边BC上的一点，连接AD，作∠FAD＝90°，并截取FA＝AD，连接DF．求证：BD2+CD2＝DF2；
（2）灵活运用：如图2，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．
【分析】（1）利用手拉手模型﹣旋转性全等证明△ABD≌△ACF，从而得BD＝CF，∠B＝∠ACF，进而可得∠DCF＝90°，然后根据勾股定理进行计算即可解答；
（2）以CD为边在CD的右侧作等边三角形CDE，连接AE，利用手拉手模型﹣旋转性全等证明△BCD≌△ACE，从而可得BD＝AE＝5，然后再求出∠ADE＝90°，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出DE，即可解答．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠ACD＝90°
∵∠FAD＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAF﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵AB＝AC，DA＝FA，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD＝CF，∠B＝∠ACF，
∴∠ACF+∠ACD＝90°，
∴∠DCF＝90°，
∴DC2+CF2＝DF2，
∴BD2+CD2＝DF2；
（2）以CD为边在CD的右侧作等边三角形CDE，连接AE，
∴CD＝CE＝DE，∠DCE＝∠CDE＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE＝5，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，
∴DE＝＝＝4，
∴DE＝DC＝4，
∴CD的长为4．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理，熟练掌握手拉手模型﹣旋转性全等，并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．如图，在顶点为P的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的对称轴l上取点A（h，k+），过A作BC⊥l交抛物线于B、C两点（B在C的左侧），点A′和点A关于点P对称；过A′作直线m⊥l，又分别过点B、C作BE⊥m和CD⊥m，垂足为E、D．在这里我们把点A叫此抛物线的焦点，BC叫此抛物线的直径，矩形BCDE叫此抛物线的焦点矩形．
（1）直接写出抛物线y＝x2的焦点坐标以及直径的长．
（2）求抛物线y＝（x﹣3）2+2的焦点坐标以及直径的长．
（3）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的直径为，求a的值．
（4）①已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的焦点矩形的面积为2，求a的值．
②直接写出抛物线y＝（x﹣3）2+2的焦点矩形与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1有两个公共点时m的取值范围．
【分析】（1）根据题意可求得抛物线y＝x2的焦点坐标以及直径的长；
（2）根据题意可求抛物线y＝（x﹣3）2+2的焦点坐标以及直径的长；
（3）根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的直径为，即可求a的值；
（4）①根据矩形的性质和抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的焦点矩形的面积为2，即可求a的值；
②根据（2）的结果和图形可得抛物线y＝（x﹣3）2+2的焦点矩形与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1有两个公共点时m的取值范围．
解：（1）∵抛物线y＝x2，
∴此抛物线焦点的横坐标是0，纵坐标是：0+＝1，
∴抛物线y＝x2的焦点坐标为（0，1），
将y＝1代入y＝x2，得x1＝﹣2，x2＝2，
∴此抛物线的直径是：2﹣（﹣2）＝4；
（2）∵y＝（x﹣3）2+2，
∴此抛物线的焦点的横坐标是：3，纵坐标是：2+＝3，
∴焦点坐标为（3，3），
将y＝3代入y＝（x﹣3）2+2，得，
3＝（x﹣3）2+2，
解得，x1＝5，x2＝1，
∴此抛物线的直径时5﹣1＝4；
（3）∵焦点A（h，k+），
∴k+＝a（x﹣h）2+k，
解得x1＝h+，x2＝h﹣，
∴直径为：h+﹣（h﹣）＝＝，
解得，a＝±，
即a的值是±；
（4）①由（3）得，BC＝，
又CD＝A'A＝，
所以，S＝BC•CD＝×＝＝2，
解得，a＝±；
②当1﹣＜m≤1或5≤m＜5+时，2个公共点，
理由：由（2）知抛物线y＝（x﹣3）2+2的焦点矩形顶点坐标分别为：
B（1，3），C（5，3），E（1，1），D（5，1），
当y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1过B（1，3）时，m＝1﹣或m＝1+（舍去），
过C（5，3）时，m＝5﹣（舍去）或，m＝5+，
∴当m＝1﹣或m＝5+，时，1个公共点；
当1﹣＜m≤1或5≤m＜5+时，2个公共点．
由图可知，公共点个数随m的变化关系为：
当m＜1﹣时，无公共点；
当m＝1﹣时，1个公共点；
当1﹣＜m≤1时，2个公共点；
当1＜m＜5时，3个公共点；
当5≤m＜5+时，2个公共点；
当m＝5+时，1个公共点；
当m＞5+时，无公共点；
由上可得，当1﹣＜m≤1或5≤m＜5+时，2个公共点．
【点评】本题是一道二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，二次函数图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，中心对称，坐标与图形的变化﹣旋转，解答本题的关键是明确题意，知道什么是抛物线的焦点、直径、焦点四边形，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和二次函数的性质、矩形的性质解答．
x（天）
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1
3
5
7
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y（件）
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55
65
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x（天）
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