专题5.4 三角函数的图象与性质-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21934" 【题型1 正、余弦函数图象的应用】 PAGEREF _Tc21934 \h 4
\l "_Tc30968" 【题型2 三角函数的定义域、值域与最值】 PAGEREF _Tc30968 \h 5
\l "_Tc13881" 【题型3 由三角函数的值域（最值）求参数】 PAGEREF _Tc13881 \h 6
\l "_Tc13003" 【题型4 三角函数的单调性问题】 PAGEREF _Tc13003 \h 6
\l "_Tc25353" 【题型5 三角函数的奇偶性与对称性问题】 PAGEREF _Tc25353 \h 7
\l "_Tc22434" 【题型6 三角函数的周期性问题】 PAGEREF _Tc22434 \h 8
\l "_Tc17483" 【题型7 三角函数的图象与性质的综合应用】 PAGEREF _Tc17483 \h 8
【知识点1 三角函数的图象与性质】
1．正弦函数与余弦函数的图象
(1)正弦函数的图象
①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示.

②五点法
观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),( π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形
状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.
(2)余弦函数的图象
①图象变换法作余弦函数的图象
由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函
数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.

②五点法作余弦函数的图象
类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2]
上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.
(3)正弦曲线、余弦曲线
正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”
的连续光滑曲线.
2．正弦函数与余弦函数的性质
(1)周期函数
①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，
且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)
的最小正周期.
(2)正弦函数与余弦函数的性质
正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：
3．正弦型函数及余弦型函数的性质
函数和的性质
4．正切函数的性质与图象
(1)正切函数的图象及性质
(2)三点两线法作正切曲线的简图
类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点
(-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图.
【题型1 正、余弦函数图象的应用】
【例1】（2023·江西南昌·南昌市校考三模）函数fx=e−x−excsx的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2023秋·安徽合肥·高一校联考期末）函数fx=sinx，gx=csx的图象在区间−2π,π的交点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式1-2】（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”所以研究函数时往往要作图，那么函数fx=sinx+cs2x的部分图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数f(x)=xcsx2+sin|x|的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 三角函数的定义域、值域与最值】
【例2】（2023秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）函数fx=sin2x+π3在0,π2上的值域为（ ）
A．−32,1B．−32,32C．32,1D．0,1
【变式2-1】（2023秋·陕西汉中·高二校考开学考试）函数y=tan2x−π3的定义域是（ ）
A．xx≠5π12+kπ2,k∈ZB．xx≠5π12+kπ,k∈Z
C．xx≠π3+kπ2,k∈ZD．xx≠π3+kπ,k∈Z
【变式2-2】（2023·全国·高一专题练习）函数y=csx+π3,x∈−π2,0的值域是（ ）
A．12,1B．32,1
C．12,32D．−32,1
【变式2-3】（2023秋·山东济南·高一校考期末）函数fx=2sinx的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．−2
【题型3 由三角函数的值域（最值）求参数】
【例3】（2023秋·重庆·高二统考开学考试）已知函数y=1+cs2ωx2(ω>0)在−π4,π6上的最小值为14，则ω的值为（ ）
A．1B．23C．43D．2
【变式3-1】（2023春·四川眉山·高一校联考期中）已知函数fx=sinωx−π3(ω>0,x∈[0,π])的值域为[−32,1]，则ω的取值范围是（ ）
A．[13,53]B．[56,1]C．[56,53]D．1，53
【变式3-2】（2023秋·高一校考课时练习）函数fx=a−3tan2x在x∈−π6,b的最大值为7，最小值为3，则ab为（ ）
A．5π12B．π3C．π6D．π12
【变式3-3】（2023秋·广东广州·高三校考阶段练习）已知函数fx=sinωx+π6(ω>0)在区间0,π2内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是（ ）
A．23,83B．16,56C．23,56D．16,83
【题型4 三角函数的单调性问题】
【例4】（2023秋·高一课时练习）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π2,π上为减函数的是（ ）
A．y=csxB．y=2sinx
C．y=csx2D．y=tanx
【变式4-1】（2023·全国·高一假期作业）已知函数y=−2tanπ6x+π3，则（ ）
A．增区间为6k−5,6k+1，k∈Z
B．增区间为6k−1,6k+5，k∈Z
C．减区间为6k−5,6k+1，k∈Z
D．减区间为6k−1,6k+5，k∈Z
【变式4-2】（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知mina,b=a,a≤bb,a>b，记fx=minsinωx,csωx（ω>0）．若函数fx在π2,π上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A．3B．0,32C．12,1D．12,32
【变式4-3】（2023秋·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知函数fx=sinωx+π3(ω>0)的周期为T，且满足T>2π，若函数fx在区间π6,π4不单调，则ω的取值范围是（ ）
A．34,1B．12,1
C．23,1D．45,1
【题型5 三角函数的奇偶性与对称性问题】
【例5】（2023春·北京·高一校考阶段练习）下列函数中，偶函数是（ ）
A．fx=sinπ+xB．fx=csπ2−x
C．fx=tanπ−xD．fx=sinπ2+x
【变式5-1】（2023春·北京昌平·高一统考期末）下列函数中，是偶函数且其图象关于点(π4,0)对称的是（ ）
A．fx=sinxB．fx=csx
C．fx=sin4xD．fx=cs2x
【变式5-2】（2023秋·山东济南·高三校考阶段练习）若存在实数φ∈0,π2，使得函数y=sinωx+π3ω>0的图象关于直线x=φ对称，则ω的取值范围为（ ）
A．13,+∞B．16,+∞C．13,+∞D．0,16
【变式5-3】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)−π2<φ<π2在3π8,7π8内单调递减，x=3π8是函数f(x)的一条对称轴，且函数y=fx+π8为奇函数，则f7π24=（ ）
A．−32B．−1C．12D．32
【题型6 三角函数的周期性问题】
【例6】（2023秋·北京怀柔·高二校考开学考试）下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（ ）
A．y=sin(x+π2)B．y=tanxC．y=cs2xD．y=sin2x
【变式6-1】（2023·全国·高一专题练习）设函数fx=csωx+φ（是常数，ω>0，0<φ<π2），若fx在区间−π24,5π24上具有单调性，且f−π24=−f5π24=−f11π24，则函数是fx的最小正周期是（ ）
A．π2B．πC．32πD．2π
【变式6-2】（2023秋·河北保定·高三校考阶段练习）函数fx=Asinωx+φ+bφ<π2的图象如图，则fx的解析式和S=f0+f1+f2+⋯+f2020+f2021+f2022+f2023的值分别为（ ）
A．fx=12sin2πx+1，S=2023
B．fx=12sin2πx+1，S=202312
C．fx=12sinπx2+1，S=202412
D．fx=12sinπx2+1，S=2024
【变式6-3】（2023·四川雅安·统考一模）已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)（ω>0且−π2<φ<π2），设T为函数f(x)的最小正周期，fT4=−1，若f(x)在区间[0,1]有且只有三个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．17π6,23π6B．17π6,236πC．7π3,10π3D．7π3,10π3
【题型7 三角函数的图象与性质的综合应用】
【例7】（2023秋·辽宁丹东·高三校考阶段练习）已知函数f(x)=cs(ωx+φ)在区间−π6,π3上单调，其中ω>0，0<φ<π，且f−π6=−fπ3．
(1)求y=f(x)的图象的一个对称中心的坐标；
(2)若点P−π12,32在函数f(x)的图象上，求函数f(x)的表达式．
【变式7-1】（2023秋·江苏泰州·高三校联考阶段练习）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示.

(1)求函数fx的解析式及单调递减区间；
(2)当x∈−π6,π3时，求函数fx的最小值及此时x的值.
【变式7-2】（2023秋·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数fx=2csωx+φω>0,0<φ<π的图象经过点Aπ3,−2，且fx图象相邻的两条对称轴之间的距离是π2.
(1)求fx的单调递增区间；
(2)若对任意的x∈0,π2，不等式fx−m≤2恒成立，求m的取值范围.
【变式7-3】（2023春·江西吉安·高一校联考期中）fx=12sin2x+φ−34π2<φ<π，且fπ6=−1.
(1)方程fx=2k+1在x∈0,π2有且仅有一个解，求k的取值范围．
(2)设gx=2sin2x+4tsinx，对∀x1∈0,π2，总∃x2∈π3,π2，使fx1≥gx2成立，求t的范围．
(3)若ℎx与fx的图象关于x=−π12对称，求不等式ℎsinx≥ℎ32的解集．函数
y=sinx
y=csx
图象
定义域
R
R
值域
[-1,1]
[-1,1]
周期性
最小正周期：2π
最小正周期：2π
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
增区间
减区间
最值
图象对称性
对称中心：
对称轴方程：
对称中心：
对称轴方程：
函数
定义域
R
R
值域
[-|A|,|A|]
[-|A|,|A|]
单调性
当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cs x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化.
奇偶性
当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数，
当时为偶函数.
当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数，
当时为奇函数.
周期性
图象
对称性
将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=csx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解.
定义域
周期性
由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π.
奇偶性
由诱导公式可知，正切函数是奇函数.
图象
单调性
正切函数在每一个区间上都单调递增
值域
正切函数的值域是实数集R
对称中心