压轴题06向量、复数压轴题16题型汇总-2024年高考数学压轴题专项训练（新高考通用）（原卷版）

这是一份压轴题06向量、复数压轴题16题型汇总-2024年高考数学压轴题专项训练（新高考通用）（原卷版），共20页。


01向量新考点问题
1.（2024·上海嘉定·二模）已知OA=x1,y1，OB=x2,y2，且OA、OB不共线，则△OAB的面积为（ ）
A．12x1x2-y1y2B．12x1y2-x2y1
C．12x1x2+y1y2D．12x1y2+x2y1
2. （多选）（2023·广东深圳·模拟预测）已知Px1,y1，Qx2,y2是椭圆x24+9y24=1上两个不同点，且满足x1x2+9y1y2=-2，则下列说法正确的是（ ）
A．2x1+3y1-3+2x2+3y2-3的最大值为6+25
B．2x1+3y1-3+2x2+3y2-3的最小值为3-5
C．x1-3y1+5+x2-3y2+5的最大值为25+2105
D．x1-3y1+5+x2-3y2+5的最小值为10-22
3. （2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知A1,A2,A3,A4,A5五个点，满足：AnAn+1⋅An+1An+2=0n=1,2,3，AnAn+1An+1An+2=nn=1,2,3，则A1A5的最小值为 ．
4. （2024·浙江·二模）设正n边形的边长为1，顶点依次为A1,A2,⋯,An，若存在点P满足PA1⋅PA2=0，且k=1nPAk=1，则n的最大值为 .（参考数据：tan36°≈0.73）
5. （2022·浙江·三模）已知平面向量x1,x2,x3,x4,x5满足2k≤xk≤2k+1,k=1,2,⋯,5，且x1+x2+x3+x4+x5=0．则x1+x2+x3+x4+x5的最小值是 ，最大值是 ．
02投影向量问题
6.（2022·上海金山·一模）已知向量a与b的夹角为120°，且a⋅b=-2，向量c满足c=λa+1-λb0<λ<1，且a⋅c=b⋅c，记向量c在向量a与b方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若λ=13，则a=2b；②x2+y2+xy的最大值为34.则正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
7. （2023·广东·二模）已知O是坐标原点，点N2,1，且点M是圆C：x2+y2-2x-2y+1=0上的一点，则向量ON在向量OM上的投影向量的模的取值范围是 .
8. （2023·天津·二模）在△ABC中，AB=32，角A为锐角，且向量AB在向量AC上的投影向量的模是3，则A= ；若AC=6，则函数fx=xAB-13AC+xAB-12ACx∈R的最小值为 .
9. （2024·全国·模拟预测）已知非零向量a与b的夹角为锐角，c为b在a方向上的投影向量，且|c|=|a|=2，则a+b+c与b的夹角的最大值是 ．
10. （2022·浙江·模拟预测）已知平面向量a,b的夹角为π3，满足a+b=1．平面向量c在a,b上的投影之和为2，则c-12a-13b的最小值是 ．
03向量最值取值范围问题
11.（多选）（2024·浙江宁波·二模）若平面向量a,b,c满足a=1,b=1,c=3且a⋅c=b⋅c，则（ ）
A．a+b+c的最小值为2
B．a+b+c的最大值为5
C．a-b+c的最小值为2
D．a-b+c的最大值为13
12. （23-24高三下·上海浦东新·期中）正三棱锥S-ABC中，底面边长AB=2，侧棱AS=3，向量a，b满足a⋅a+AC=a⋅AB，b⋅b+AC=b⋅AS，则a-b的最大值为 .
13. （2023·河南郑州·模拟预测）已知△ABC中，AB=AC=22，AB+λBCmin=2λ∈R，AM=12MB，AP=sin2α⋅AB+cs2α⋅AC，α∈π6,π3，则MP的取值范围为（ ）
A．423,453B．43,453
C．173,413D．43,413
14. （2022·浙江台州·二模）已知平面向量e1,e2,e3,|e1|=|e2|=|e3|=1,〈e1,e2〉=60°.若对区间[12,1]内的三个任意的实数λ1,λ2,λ3,都有|λ1e1+λ2e2+λ3e3|⩾12|e1+e2+e3|,则向量e1与e3夹角的最大值的余弦值为（ ）
A．-3+66B．-3+56C．-3-66D．-3-56
15. （2024·上海徐汇·二模）如图所示，已知△ABC满足BC=8,AC=3AB，P为△ABC所在平面内一点.定义点集D=PAP=3λAB+1-λ3AC,λ∈R.若存在点P0∈D，使得对任意P∈D，满足|AP|≥|AP0|恒成立，则|AP0|的最大值为 .
04向量与不等式结合
16.（2024·安徽芜湖·二模）若实数x，y满足x2+y2=25，则50+8x+6y+50+8x-6y的最大值为
17. （2022·浙江湖州·模拟预测）已知平面向量a,b,c满足|b|⋅|c|=1，若|3a-(b+c)|=|a⋅b|⋅|c|，则-a2+2b2+c2的最小值是 ．
18. （2024高三·全国·专题练习）已知a=b=2，c=1，a-c⋅b-c=0，则a-b的取值范围是（ ）
A．6-1,6+1B．7-12,7+12
C．7-1,7+1D．6-12,6+12
19. （2024·天津·二模）在△ABC中，AM=2MB，P是MC的中点，延长AP交BC于点D．设AB=a，AC=b，则AP可用a，b表示为 ，若AD=6，cs∠BAC=35,则△ABC面积的最大值为 ．
20. （2024·上海长宁·二模）已知平面向量a,b,c满足：a=b=10,c=2，若c-a⋅c-b=0，则a-b的最小值为 ．
05向量新定义问题
21. （2023·福建泉州·模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设Ax1,y1，Bx2,y2，则曼哈顿距离dA,B=x1-x2+y1-y1，余弦距离eA,B=1-csA,B，其中csA,B=csOA,OB（O为坐标原点）．已知M2,1，dM,N=1，则eM,N的最大值近似等于（ ）
（参考数据：2≈1.41，5≈2.24．）
A．0.052B．0.104C．0.896D．0.948
22. （多选）（2022·山东潍坊·三模）定义平面向量的一种运算“Θ”如下：对任意的两个向量a=x1,y1，b=x2,y2，令aΘb=x1y2-x2y1,x1x2+y1y2，下面说法一定正确的是（ ）
A．对任意的λ∈R，有λaΘb=λaΘb
B．存在唯一确定的向量e使得对于任意向量a，都有aΘe=eΘa=a成立
C．若a与b垂直，则aΘbΘc与aΘbΘc共线
D．若a与b共线，则aΘbΘc与aΘbΘc的模相等
23. （多选）（2022·广东·模拟预测）已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意a,b∈E，t∈0,1，均有ta+1-tb∈E，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（ ）．
A．x,yy≥exB．x,yy≥lnx
C．x,yx+2y-1≥0D．x,yx2+y2≤1
24. （2024·全国·模拟预测）设有n维向量a=a1a2⋅⋅⋅an，b=b1b2⋅⋅⋅bn，称a,b=a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+anbn为向量a和b的内积，当a,b=0，称向量a和b正交．设Sn为全体由-1和1构成的n元数组对应的向量的集合．
(1)若a=1234，写出一个向量b，使得a,b=0．
(2)令B=x,yx,y∈Sn．若m∈B，证明：m+n为偶数．
(3)若n=4，f4是从S4中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足a,b=0，猜测f4的值，并给出一个实例．
25. （2022·浙江绍兴·模拟预测）定义两个向量组X=(x1,x2,x3),Y=(y1,y2,y3)的运算X⋅Y=x1⋅y1+x2⋅y2+x3⋅y3，设e1,e2,e3为单位向量，向量组X=(x1,x2,x3),Y=(y1,y2,y3)分别为e1,e2,e3的一个排列，则X⋅Y的最小值为 ．
06复数性质相关问题
26.（多选）（2024·河南信阳·模拟预测）设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（ ）
A．若(1+i)z=-i，则z=1
B．对任意复数z1，z2，有z1z2=z1⋅z2
C．对任意复数z1，z2，有z1⋅z2=z1⋅z2
D．在复平面内，若M={z|z-2≤2}，则集合M所构成区域的面积为6π
27. (多选)（23-24高三上·辽宁·开学考试）设复数z1,z2,z3，且z1z2≠0,其中z1为确定的复数，下列说法正确的是（ ）.
A．若z1z2=z12，则z1+z2是实数
B．若z1z2=z12，则存在唯一实数对a,b使得z3=az1+bz2
C．若 z1z3+z3z1=0 ，则 z3在复平面内对应的点的轨迹是射线
D．若z2+z3<1，则z2-z31-z2z3<1
28. （多选）（2024·河北沧州·一模）在复数城内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上方的复数为正，在x轴下方的复数为负，在x轴上的复数即为实数大小．“大小”用符号+“长度”表示，我们用[z]来表示复数的“大小”，例如：[1+2i]=5，[1-2i]=-5，[1]=1，[-3]=-3，[-1-2i]=-5，则下列说法正确的是（ ）
A．[z]=1在复平面内表示一个圆
B．若z∈C，则方程[z]2=-1无解
C．若z1,z2为虚数，且z1=z2，则z1+z2=0
D．复平面内，复数z对应的点在直线y=-x+4上，则|[z]|最小值为22
29.（多选）（2024·辽宁·二模）已知复数z,w均不为0，则（ ）
A．z2z=zB．z+w=z+w
C．zw=zwD．若1z∈R，则z∈R
30.（多选）（2024·广东韶关·二模）已知复数z1,z2，则下列命题正确的是（ ）
A．若z1=z2，则z1=±z2B．若z1=z2，则z1z2=z12
C．若z1是非零复数，且z12=z1z2，则z1=z2D．若z1是非零复数，则z1+1z1≠0
07复数最值问题
31.（23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）若复数z满足z-1=z+i，则z-1的最小值为（ ）
A．12B．22C．1D．2
32. （2024·贵州贵阳·模拟预测）如果复数z=x+yix∈R,y∈R，z1=-2，z2=-12，z3=i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，复数z满足z-z1=2z-z2，且Z1Z⃗=λZ1Z2⃗+μZ1Z3⃗λ∈R,μ∈R，则3λ+2μ的最大值为 .
33. （2022·江苏镇江·模拟预测）若i为虚数单位，复数z满足1≤z+1+i≤2，则z-1-i的最大值为 .
34. （2022·福建·模拟预测）对任意三个模长小于1的复数z1，z2，z3，均有z1z2+z2z3+z3z12+z1z2z32<λ恒成立，则实数λ的最小可能值是 ．
35. （2023·河北·模拟预测）若复数a+bii=6+8i，且a+b=26，则Rea+bmax= .
08复数的三角形式
36.（2023·湖北·二模）复数21-3i与下列复数相等的是（ ）
A．cs-π3+isin-π3B．cs-π3+isin-4π3
C．32+12iD．-1-3i
37. （2016·安徽淮北·一模）现定义eiθ=csθ+isinθ，其中i为虚数单位，e为自然对数的底数，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对eiθ都适用，若a=C50cs5θ-C52cs3θsin2θ+C54csθsin4θ，b=C51cs4θsinθ-C53cs2θsin3θ+C55sin5θ，那么复数a+bi等于
A．cs5θ+isin5θB．cs5θ-isin5θ
C．sin5θ+ics5θD．sin5θ-ics5θ
38. （2022·上海奉贤·一模）复数cs2θ+isin3θ⋅csθ+isinθ的模为1，其中i为虚数单位，θ∈0,2π，则这样的θ一共有（ ）个.
A．9B．10C．11D．无数
39. （2022·江苏苏州·模拟预测）任何一个复数z=a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位）都可以表示成：z=r(csθ+isinθ)的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：zn=[r(csθ+isinθ)]n=rn(csnθ+isinnθ)n∈N*，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若r=1，θ=π4时，则z2022= ；对于∀n∈N*,n≥2，k=2n[cs(k-1)πn+sin(k-1)πn]= ．
40. （2019·上海杨浦·一模）已知复数z1=csx+2f(x)i，z2=(3sinx+csx)+i（x∈R，i为虚数单位），在复平面上，设复数z1、z2对应的点分别为Z1、Z2，若∠Z1OZ2=90°，其中O是坐标原点，则函数f(x)的最小正周期为 .
09复数方程的根相关问题
41.（多选）（2024·浙江杭州·二模）已知关于x的方程x2+tx+1=0(-2A．z1=z2B．z1⋅z2=1
C．z1=z2D．z1z2=z1z2
42. （2020·上海闵行·二模）关于x的实系数方程x2-4x+5=0和x2+2mx+m=0有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（ ）
A．5B．-1C．0,1D．0,1∪-1
43. （多选）（2022·福建莆田·模拟预测）意大利数学家卡尔达诺（Cardan.Girlam，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：
第一步，把方程x3+a2x2+a1x+a0=0中的x用x-a23来替换，得到方程x3+px+q=0；
第二步，利用公式x3+y3+z3-3xyz=x+y+zx+ωy+ω2zx+ω2y+ωz将x3+px+q因式分解；
第三步，求得y，z的一组值，得到方程x3+px+q=0的三个根：-y-z，-ωy-ω2z，-ω2y-ωz（其中ω=-1+3i2，i为虚数单位）；
第四步，写出方程x3+a2x2+a1x+a0=0的根：x1=-a23-y-z，x2=-a23-ωy-ω2z，x3=-a23-ω2y-ωz.
某同学利用上述方法解方程8x3-12x2-42x+55=0时，得到y的一个值：-1+i，则下列说法正确的是（ ）
A．a2=-32B．yz=2C．x2=-12+3D．x3=-1-3
44. （2001·全国·高考真题）对任意一个非零复数z，定义集合Mz=ωω=z2n-1,n∈N*．
(1)设a是方程x+1x=2的一个根，试用列举法表示集合Ma．若在Ma中任取两个数，求其和为零的概率P；
(2)设复数ω∈Mz，求证：Mω⊆Mz．
45. （2024·全国·模拟预测）设a,b为实数，且ab≠0，虚数z为方程ax2+bx+a=0的一个根，则z的值为 .
10向量与解析几何结合
46. （2024·全国·模拟预测）抛物线E:y2=x的焦点为F，P为其准线上任意一点，过点P作E的两条切线，切点为A，B（点A与P在抛物线同侧），则PA·PF+PA·PB的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．14
47. （2024·山东日照·一模）过双曲线x24-y212=1的右支上一点P，分别向⊙C1:(x+4)2+y2=3和⊙C2:(x-4)2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则PM+PN⋅NM的最小值为（ ）
A．28B．29C．30D．32
48. （23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知a=3，b=1，a⋅b=0，c+a+c-a=4，d2-4b⋅d+3=0，则c-d的最大值为（ ）
A．2213+1B．4C．4213+2D．313
49. （2023·四川攀枝花·一模）在平面四边形OACB中，OA⊥OB，OA=3，∠OBA=∠ACB=π3，OC=λOA+μOB，则λ+μ的最大值为（ ）
A．3B．2C．3D．23
50. （2023·新疆·二模）已知平面向量a，b，c，满足a=2，a-b=23，若对于任意实数x，都有b-xa≥b-a成立，且c-a≤1，则b⋅c的最大值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
11向量与实际模型
51. （2023·全国·模拟预测）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知ABCHIJ与CDEFGH为全等的正六边形，且AB=2，点P为该图形边界（包括顶点）上的一点，则AP⋅BP的取值范围为（ ）
A．0,42B．-1,42C．0,36D．-1,36
52. （2023·河南安阳·二模）如图，2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”．在平面直角坐标系中，圆M:x2+y+m2=n2和N:x2+y-12=1外切也形成一个8字形状，若P0,-2，A1,-1为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则PA⋅PB的最大值为（ ）．
A．32+22B．22+1C．3+2D．32+2
53. （2023·全国·模拟预测）中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，它身上所显示的情致与智慧正是中华民族古老文明中的一个侧面.已知某个中国结的主体部分可近似地视为一个大正方形（内部是16个全等的边长为1的小正方形）和凸出的16个半圆所组成，如图，点A是大正方形的一条边的四等分点，点C是大正方形的一个顶点，点B是凸出的16个半圆上的任意一点，则AC⋅AB的最大值为（ ）
A．33+3172B．33+2172C．33+172D．9172
54. （多选）（2023·吉林·一模）中华人民共和国国旗是五星红旗，国旗上每个五角星之所以看上去比较美观，是因其图形中隐藏着黄金分割数．连接正五边形的所有对角线能够形成一个标准的正五角星，正五角星中每个等腰三角形都是黄金三角形．黄金三角形分两种：一种是顶角为36°的等腰三角形，其底边与一腰的长度之比为黄金比5-12；一种是顶角为108°的等腰三角形，其一腰与底边的长度之比为黄金比5-12．如图，正五角星ABCDE中，AG=2，记=θ，则（ ）

A．AG=FIB．AG⋅AF=5+1
C．AG在AF上的投影向量为5+12AFD．cs2θ+cs4θ+cs6θ+⋯+cs2024θ=-12
55. （多选）（2022·重庆·模拟预测）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中∠COD=2π3,OC=3OA=3，动点P在CD上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧AB于点Q，且OQ=xOC+yOD，则下列说法正确的是（ ）
图1 图2
A．若y=x，则x+y=23B．若y=2x，则OA⋅OP=0
C．AB⋅PQ≥-2D．PA⋅PB≥112
12向量与四心
56. （2023·全国·模拟预测）已知△ABC中，AO=λAB+(1-λ)AC，且O为△ABC的外心．若BA在BC上的投影向量为μBC，且cs∠AOC∈13,23，则μ的取值范围为（ ）
A．23,56B．15,310C．43,53D．15,35
57. （2021·四川成都·三模）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左，右焦点分别是F1，F2，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线x=a上，且满足PH=λPF1PF1+PF2PF2，λ∈R.若5HP+4HF2+3HF1=0，则双曲线C的离心率为（ ）
A．3B．4C．5D．6
58. （2022·河南·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1,F2,P为C上不与左､右顶点重合的一点，I为△PF1F2的内心，且3IF1+2IF2=2PI，则C的离心率为（ ）
A．13B．25C．33D．65
59. （多选）（2023·湖北黄冈·模拟预测）点O，H分别是△ABC的外心､垂心，则下列选项正确的是（ ）
A．若BD=λBA|BA|+BC|BC|且BD=μBA+(1-μ)BC，则AD=DC
B．若2BO=BA+BC，且AB=2，则AC⋅AB=4
C．若∠B=π3，OB=mOA+nOC，则m+n的取值范围为-2,1
D．若2HA+3HB+4HC=0，则cs∠BHC=-105
60. （2023·广东惠州·一模）已知点D在线段AB上，CD是△ABC的角平分线，E为CD上一点，且满足BE=BA+λADAD+ACACλ>0,CA-CB=6,BA=14，设BA=a,则BE在a上的投影向量为 ．（结果用a表示）．
13向量与数列结合
61.（2023·四川达州·一模）已知O为平面四边形ABCD内一点，数列an满足a1=4，当n≥2时，恒有OD=an-2nOA-an+an-1-4n+1OB+an-1-2n+2OC，AC，BD相交于点E，且2AE=EC，设数列an的前n项和为Sn，则S5= .
62. （2023·广东广州·三模）我们称nn∈N*元有序实数组x1,x2,⋯,xn为n维向量，x1+x2+⋯+xn为该向量的范数.已知n维向量a=x1,x2,⋯,xn，其中xi∈-1,0,1，i=1,2,⋯n，记范数为奇数的a的个数为An，则An= .（用含n的式子表示，n∈N*）
63． （2023·北京海淀·二模）在数列xn中，x1=1，x2=2．设向量an=xn,xn+1，已知an⋅an+1-an=0 (n=1,2,⋯)，给出下列四个结论：①x3=3；②∀n∈N*，xn>0；③∀n∈N*，xn+2>xn；④∀n∈N*，xn+1≠xn．其中所有正确结论的序号是 ．
64. （2022·全国·模拟预测）如图，在△ABC中，D是AC边上一点，且AD=12DC，Enn∈N*为直线AB上一点列，满足：EnB=4an+1-1EnD+11-2anEnC，且a1=6，则数列1an-1的前n项和Sn= ．
65. （2022·山西太原·三模）如图，已知点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，点Gn(n∈N*)在线段BD上，且满足GnD=an+1⋅GnA-2(2an+3)⋅GnE，其中数列{an}是首项为1的数列，则数列{an}的通项公式为
14向量与三角换元
66.（2022·天津和平·三模）在平面内，定点A,B,C,O，满足OA=OB=OC=2，且OA+OB+OC=0，则AB= ；平面内的动点P,M满足AP=1，PM=MC，则|BM|2的最大值是 ．
67. （2022·浙江·模拟预测）已知平面向量a、b、c、e，满足a⊥b，a=2b，c=a+b，e=1，若a2-6a⋅e+8=0，则c⋅e-13c2的最大值是 .
68. （2022·天津河西·模拟预测）如图，已知B，D是直角C两边上的动点，AD⊥BD，AD=3，∠BAD=π6，CM=12CA+CB，CN=12CD+CA，则CM⋅CN的最大值为 .
69. （2024·广东·模拟预测）已知O为△ABC的外接圆圆心，且AO⋅BC=1,BC=1．设实数λ,μ满足AO=λAB +μAC，则2λ2μ-1的取值范围为 ．
70. （2024·甘肃陇南·一模）已知M 是椭圆x210+y2=1上一点，线段 AB是圆C:x2+y-62=4的一条动弦,且AB=22,则MA⋅MB的最大值为 .
15复数新定义问题
71. （23-24高三下·浙江丽水·开学考试）数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数．四元数在计算机图形学中有广泛应用，主要用于描述空间中的旋转．集合H=d+ai+bj+ck∣a,b,c,d∈R中的元素α=d+ai+bj+ck称为四元数，其中i,j,k都是虚数单位，d称为α的实部，ai+bj+ck称为α的虚部．两个四元数之间的加法定义为d1+a1i+b1j+c1k+d2+a2i+b2j+c2k =d1+d2+a1+a2i+b1+b2j+c1+c2k．
两个四元数的乘法定义为：ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j,i2=j2=k2=-1,四元数的乘法具有结合律，且乘法对加法有分配律．对于四元数α，若存在四元数β使得αβ=βα=1，称β是α的逆，记为β=α-1．实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为W．
(1)设a,b,c,d∈R,四元数α=d+ai+bj+ck．记α*=d-ai-bj-ck表示α的共轭四元数．
（i）计算αα*；
（ii）若α≠0，求α-1；
（iii）若α≠0,β∈W，证明：αβα-1∈W；
(2)在空间直角坐标系中，把空间向量α=(a,b,c)与纯四元数α=ai+bj+ck看作同一个数学对象．设α,β∈W,γ=12(αβ-βα)．
（i）证明：γ∈W;
（ii）若α,β是平面X内的两个不共线向量，证明：γ是X的一个法向量．
72. （2024·安徽蚌埠·模拟预测）对于无穷数列a0,a1,a2,⋯,an,⋯，我们称f(x)=n=0∞ann!xn=a0+a1x+a22!x2+⋯+ann!xn+⋯（规定0!=1）为无穷数列an的指数型母函数．无穷数列1，1，…，1，…的指数型母函数记为e(x)=n=0∞1n!xn=1+x+x22!+⋯+xnn!+⋯，它具有性质e(x)e(y)=e(x+y)．
(1)证明：e(-x)=1e(x)；
(2)记c(x)=k=0∞(-1)k(2k)!x2k=1-x22!+x44!+⋯+(-1)kx2k(2k)!+⋯．证明：c(x)=e(ix)+e(-ix)2（其中i为虚数单位）；
(3)以函数xe(x)-1为指数型母函数生成数列Bn，xe(x)-1=n=0∞Bnn!xn=B0+B1x+B22!x2+⋯+Bnn!xn+⋯．其中Bn称为伯努利数．证明：B1=-12．且B2k+1=0(k=1,2,3,⋯)．
73. （2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在高等数学中，我们将y=fx在x=x0处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：fx=fx0+f'x0x-x0+f″x02!x-x02+⋅⋅⋅+fnx0n!x-x0n+⋅⋅⋅（其中fnx表示fx的n次导数），以上公式我们称为函数fx在x=x0处的泰勒展开式.
(1)分别求ex，sinx，csx在x=0处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：eiπ+1=0.（其中i为虚数单位）；
(3)若∀x∈0,32，easinx>x+1恒成立，求a的范围.（参考数据ln52≈0.9）
74. （2024·全国·模拟预测）对于非空集合G，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结构称为“群”G,×，简记为G×．而判断G×是否为一个群，需验证以下三点：
1.（封闭性）对于规定的“×”运算，对任意a,b∈G，都须满足a×b∈G；
2.（结合律）对于规定的“×”运算，对任意a,b,c∈G，都须满足a×b×c=a×b×c；
3.（恒等元）存在e∈G，使得对任意a∈G，e×a=a；
4.（逆的存在性）对任意a∈G，都存在b∈G，使得a×b=b×a=e．
记群G×所含的元素个数为n，则群G×也称作“n阶群”．若群G×的“×”运算满足交换律，即对任意a，b∈G，a×b=b×a，我们称G×为一个阿贝尔群（或交换群）．
(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群R+；
(2)记C为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得C在该运算下构成一个群C×，并说明理由；
(3)所有阶数小于等于四的群G×是否都是阿贝尔群？请说明理由．
75. （2024高三上·全国·竞赛）设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且∁MA中的数对应的点都在圆外，则称A是一个M的“可分离子集”．
(1)判断{1,2,3}是否是{i,1,2,3}的“可分离子集”，并说明理由；
(2)设复数z满足016复数与数列问题
76. （21-22高三上·浙江宁波·开学考试）已知数列an满足a1=i，an+1=i+ian，若ak=58+1310i，则正整数k的值是（ ）
A．8B．12C．16D．20
77. （21-22高三下·重庆·开学考试）刘徽是我国杰出的数学家，他在263年撰写的《九章算术注》以及后来的《海岛算经》，都是我国宝贵的数学遗产，奠定了他在中国数学史上的不朽地位．其中《九章算术注》一书记载了刘徽利用圆的内接正多边形来近似计算圆周率的方法，后人称之为“刘徽割圆术”．已知单位圆O的内接正n边形A1A2A3⋯An的边长、周长和面积分别为an，Ln，Sn，P为正n边形A1A2A3⋯An边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．LnL2n=csπ2nB．SnS2n=12
C．an2+2-a2n22=4D．PA1+PA2+⋯+PAn≤n
78. （2016·上海嘉定·一模）设复数zn=xn+i⋅yn，其中xn,yn∈R，n∈N*,i为虚数单位，zn+1=(1+i)⋅zn，z1=3+4i，复数zn在复平面上对应的点为Zn．
（1）求复数z2,z3,z4的值；
（2）证明：当n=4k+1(k∈N*)时，OZn//OZ1；
（3）求数列{xn⋅yn}的前100项之和．
79. （2022高三·全国·专题练习）称一个复数数列zn为“有趣的”，若z1=1，且对任意正整数n，均有4zn+12+2znzn+1+zn2=0．求最大的常数C，使得对一切有趣的数列zn及任意正整数m，均有z1+z2+⋯+zm≥C．
80. （2021高三·全国·竞赛）设an、xn是无穷复数数列，满足对任意正整数n，关于x的方程x2-anx+an+1=0的两个复根恰为xn、xn+1（当两根相等时xn=xn+1）．若数列xn恒为常数，证明：
（1）xn≤2；
（2）数列an恒为常数．
81. （2024·全国·二模）如图，在△ABC中，BC=2AB=4,D,E分别为BC,AC的中点，F为AD上一点，且满足AF=BF，则AF⋅BE=（ ）
A．12B．1C．32D．23
82. （22-23高三下·湖北·阶段练习）如图，F1，F2为双曲线的左右焦点，过F2的直线交双曲线于B，D两点，OD=3，E为线段的DF1中点，若对于线段DF1上的任意点P，都有PF1⋅PB≥EF1⋅EB成立，且△BF1F2内切圆的圆心在直线x=2上.则双曲线的离心率是（ ）
A．43B．3C．2D．32
83. （2022·湖南长沙·二模）P､Q､R是等腰直角三角形ABC（∠A=π2）内的点，且满足∠APB=∠BPC=∠CPA，∠ACQ=∠CBQ=∠BAQ，sinARA+sinBRB+sinCRC=0，则下列说法正确的是（ ）
A．PA⋅PB>QA⋅QB>RA⋅RB
B．QA⋅QB>PA⋅PB>RA⋅RB
C．RA⋅RB>PA⋅PB>QA⋅QB
D．RA⋅RB>QA⋅QB>PA⋅PB
84. （23-24高三下·全国·自主招生）z=cs2πn+isin2πn,n>2,n∈N*，求1-z+1-z2+1-z3+⋯+1-zn-1
85. （2023·山东济宁·二模）已知向量a、b不共线，夹角为θ，且a=2，b=1，a+λb+a-λb=42，若433≤λ<22，则|csθ|的最小值为 ．
命题预测
本专题考查类型主要涉及点为向量与复数，包含了向量的最值，新定义等，包含了复数的相关性质与新定义等。
预计2024年后命题会继续在上述几个方面进行。
高频考法
题型01向量新考点问题
题型02投影向量问题
题型03向量最值取值范围问题
题型04向量与不等式结合
题型05向量新定义问题
题型06复数性质相关问题
题型07复数最值问题
题型08复数的三角形式
题型09复数方程的根相关问题
题型10向量与解析几何结合
题型11向量与实际模型
题型12向量与四心
题型13向量与数列结合
题型14向量与三角换元
题型15复数新定义问题
题型16复数与数列问题
向量投影的理解是很重要的，在出题中往往会画出图形来进行思考问题，利用几何法来解决问题。
处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有：
（1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得；
（2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得；
（3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直.
新定义问题，理解定义内容、会运用新定义运算，是解决问题的关键
平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
三角形重心、内心和外心的向量形式的常用结论：
设△ABC的角A，B，C所对边分别为a，b，c，则
（1）△ABC的重心G满足GA+GB+GC=0；
（2）△ABC的内心P满足aPA+bPB+cPC=0；
（3）△ABC的外心M满足MA=MB=MC.
新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．