高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.3 幂函数教课内容课件ppt

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1.幂函数的概念一般地,函数　y=xα　叫做幂函数,其中　x　是自变量,　α　是常数. 微思考怎样判断一个函数是不是幂函数?提示:判断一个函数是不是幂函数,就是看函数的表达式是不是y=xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1.
(3)幂函数性质的延伸①当α>0时,幂函数的图象过　(0,0)　,　(1,1)　两点;当α<0时,幂函数的图象过　(1,1)　点. ②当α>0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)内单调递　增　;特别地,当α>1时,幂函数的图象在区间(0,+∞)内下凸;当0<α<1时,幂函数的图象在区间(0,+∞)内上凸. 当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)内单调递　减　. 
规律总结判断幂函数的依据 形如y=xα的函数叫幂函数,它具有三个特点 (1)xα的系数为1. (2)指数为常数(也可以为0). (3)底数为自变量.
学以致用1.已知点 在幂函数f(x)=(t-2)xa的图象上,则t+a等于(　　)A.-1B.0C.1D.2答案:B
二 幂函数的图象及应用
∴f(x)=x-2.f(x)的图象如图所示.f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调递减区间为(0,+∞),单调递增区间为(-∞,0).
规律总结1.幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第二或第三象限内出现要看幂函数的奇偶性.
2.幂函数y=xα的图象分布与幂指数α的关系具有如下规律:在直线x=1的右侧,按“逆时针”方向,图象所对应的幂指数依次增大(如图). 3.根据图象研究函数解析式时,应结合函数在第一象限的单调性确定y=xα中α的符号.
学以致用2.(1)若幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一平面直角坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>bD.a>b>d>c
答案:(1)B　(2)B
解析:(1)在第一象限内,直线x=1的右侧部分的图象,图象由下至上,对应幂函数的幂指数依次增大,所以a>b>c>d.故选B.
三 幂函数性质的综合应用
解:(1)∵函数y=x3是增函数,且0.21<0.23,∴0.213<0.233.
命题角度2　解不等式
解:∵函数在区间(0,+∞)内单调递减,∴3m-9<0,解得m<3.又m∈N*,∴m=1,2.又函数图象关于y轴对称,∴3m-9为偶数,故m=1.
规律总结1.比较幂值大小的方法 (1)若指数相同,底数不同,则考虑利用幂函数的单调性比较大小. (2)若指数不同,底数相同,则考虑借助图象求解. (3)若指数与底数都不同,则考虑插入中间数,使这个数介于所比较的两数之间,进而比较大小.
2.利用幂函数的性质解不等式的步骤 (1)确定可以利用的幂函数. (2)借助相应的幂函数的单调性,将不等式的大小关系,转化为自变量的大小关系. (3)解不等式求参数范围,注意分类讨论思想的应用.
学以致用3.比较下列各组数的大小:(1)3-1与3.1-1;(2)4.12,3.8-2,(-1.9)3.解:(1)因为函数y=x-1在区间(0,+∞)内单调递减,又3<3.1,所以3-1>3.1-1.(2)4.12>12=1,0<3.8-2<1-2=1,而(-1.9)3<0,所以4.12>3.8-2>(-1.9)3.
4.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm+1(m∈R)为偶函数.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(2a+1)>16,求实数a的取值范围.
解:(1)幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm+1(m∈R)为偶函数,所以m2-5m+7=1,解得m=2或m=3.当m=2时,m+1=3不符合题意,舍去;当m=3时,m+1=4符合题意,所以f(x)=x4.(2)由(1)知,不等式f(2a+1)>16化为(2a+1)4>16,解得2a+1<-2或2a+1>2,
2.若幂函数f(x)的图象经过点(-2,4),则f(x)在定义域内(　　)A.为增函数 B.为减函数C.有最小值D.有最大值
解析:设f(x)=xα.由f(-2)=4,得α=2,即f(x)=x2,则f(x)在定义域内有最小值.