数学必修 第一册第三章 函数概念与性质3.3 幂函数优秀教学设计

第三章函数的概念与性质

3．3　幂函数

[目标] 1.记住幂函数的定义，熟悉α＝1,2,3，，－1时幂函数的图象及性质；2.记住幂函数的性质，并会用性质解决有关问题．

[重点] 幂函数的定义、图象和性质．

[难点] 利用幂函数的性质解决有关问题．

知识点一幂函数的概念

[填一填]

一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

[答一答]

1．下列函数：①y＝2x3；②y＝x2＋1；③y＝(x＋1)3是幂函数吗？

提示：它们都不满足幂函数的定义，所以都不是幂函数．

知识点二幂函数的图象

[填一填]

五种常见幂函数的图象

幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝的图象如下图．

[答一答]

2．幂函数y＝xα的图象在第一象限内有何特征？

提示：(1)α>1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如y＝x2.

(2)0<α<1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y＝.

(3)α<0，图象过点(1,1)，以两坐标轴为渐近线，如.

3．为什么幂函数在第四象限内不存在图象？

提示：当x>0时，y＝xα>0，不可能出现y<0的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象．

知识点三幂函数的性质

[填一填]

五类幂函数的性质

[答一答]

4．对于幂函数y＝xα(α是常数，x是自变量)其在第一象限内的单调性是怎样的？

提示：α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上是增函数；

α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上是减函数．

类型一幂函数的概念

[例1]　下列函数：①y＝x3；②y＝x2＋2x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x.其中幂函数的个数为(　B　)

A．1 B．2

C．3 D．4

[解析]　②为二次函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.

幂函数解析式的结构特征：1解析式是单项式；2幂指数为常数，底数为自变量，系数为1.

[变式训练1]　(1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　C　)

A. B．1

C. D．2

(2)已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，则m＝－3或1，n＝－3或1.

解析：(1)由幂函数定义知k＝1，把代入y＝xα得α＝，∴k＋α＝.选C.

(2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，由幂函数的定义得

解得m＝－3或1，n＝.

类型二幂函数的图象

[例2]　下图是幂函数y＝xm、y＝xn与y＝x－1在第一象限内的图象，则(B )

A．－1<n<0<m<1

B．n<－1,0<m<1

C．－1<n<0，m>1

D．n<－1，m>1

[解析]　由y＝xm的图象是横卧抛物线形，知0<m<1；由y＝xn的图象是双曲线，知n<0.作直线x＝x0(0<x0<1)，与y＝xn、y＝x－1的图象分别交于点A、B，由“点低指数大”知n<－1.故选B.

在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．

[变式训练2]幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个区域，分别标记为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝的图象经过的区域对应的序号有(　D　)

A．④⑦　　　B．④⑧　　　C．③⑧　　　D．①⑤

解析：∵x－＝(－1)，当0<x<1时，x－<0，即x<<1，

∴幂函数的图象经过区域①；当x>1时，x－>0，即x>>1，∴幂函数的图象经过区域⑤.

类型三幂函数的性质应用

[例3]　比较下列各组中三个数的大小．

[分析]　本题考查幂函数．

比较幂值大小的方法

[变式训练3]　比较下列各组中两个值的大小：

1.下列所给出的函数中，是幂函数的是(　B　)

A．y＝－x3 B．y＝x－3

C．y＝2x3 D．y＝x3－1

2.如果幂函数f(x)的图象过点，那么f的值为(　D　)

A. B．2

C．1 D．4

解析：设f(x)＝xα.∵f(x)的图象过点，∴＝4α，解得α＝－.∴f(x)＝＝4.

3.函数的图象是(　B　)

解析：∵函数是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A，D.当x>1,0<α<1时，y＝xα在直线y＝x下方，排除C，选B.

4.幂函数在[－4，－2]上的最小值为__－__.

.解析：∵在(－∞，0)上单调递减，∴在[－4，－2]上递减，∴在[－4，－2]上的最小值是－.

5．比较下列各题中两个幂的值的大小：

——本课须掌握的三大问题

1.幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数．

2.幂函数在第一象限内指数变化规律

在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．

3.简单幂函数的性质

(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.

(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．

(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．

幂函数 课时作业

(15分钟　30分)

1.下列结论正确的是 (　　)

A.幂函数图象一定过原点

B.当α<0时，幂函数y=xα是减函数

C.当α>1时，幂函数y=xα是增函数

D.函数y=x2既是二次函数，也是幂函数

【解析】选D.函数y=x-1的图象不过原点，故A不正确；y=x-1在(-∞，0)及(0，+∞)上是减函数，故B不正确；函数y=x2在(-∞，0)上是减函数，在(0，+∞)上是增函数，故C不正确.

2.已知幂函数f(x)=kxα的图象过点，则k+α等于 (　　)

A.   B.1  C.   D.2

【解析】选A.因为幂函数f(x)=kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，所以k=1，f==，

即α=-，所以k+α=.

3.在下列四个图形中，y=的图象大致是 (　　)

【解析】选D.函数y=的定义域为(0，+∞)，是减函数.

4.幂函数的图象过点(3，)，则它的单调递增区间是 (　　)

A.[-1，+∞)    B.[0，+∞)

C.(-∞，+∞)   D.(-∞，0)

【解析】选B.设幂函数为f(x)=xα，因为幂函数的图象过点(3，)，所以f(3)=3α==，解得α=，所以f(x)=，所以幂函数的单调递增区间为

[0，+∞).

5.(2020·北京高一检测)如果幂函数f(x)=xa的图象经过点(2，4)，则f(x)在定义域内 (　　)

A.为增函数    B.为减函数

C.有最小值    D.有最大值

【解析】选C.因为幂函数f(x)=xa的图象经过点(2，4)，

所以f(2)=2a=4，解得a=2，所以f(x)=x2，

所以f(x)在定义域先递减再递增，有最小值.

【补偿训练】

已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是_______. 

【解析】因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，

所以y=xα在(0，+∞)上为减函数，故α<0.

答案：(-∞，0)

6.已知幂函数f(x)=(-2<m<2，m∈Z)满足：

①在区间(0，+∞)上单调递增；

②对任意的x∈R，都有f(-x)-f(x)=0.

求幂函数f(x)的解析式，并求当x∈时，f(x)的值域.

【解析】因为函数在上单调递增，

所以-m2-2m+3>0，解得：-3<m<1.

因为-2<m<2，m∈Z，所以m=-1或m=0.

又因为f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，所以-m2-2m+3为偶数.

当m=-1时，-m2-2m+3=4满足题意，

当m=0时，-m2-2m+3=3不满足题意，

所以f(x)=x4，所以f(x)在上递增，

所以f(x)min=f(0)=0，f(x)max=f(4)=256，

所以值域是.

(20分钟　40分)

一、单选题(每小题5分，共15分)

1.(2020·琼海高一检测)若函数f(x)=(m2-6m+9)是幂函数且为奇函

数，则m的值为 (　　)

A.2  B.3  C.4  D.2或4

【解析】选D.因为函数f(x)=(m2-6m+9)为幂函数，所以m2-6m+9=1，所以m=2或m=4，当m=4时，f(x)=x5是奇函数，满足题意，当m=2时，f(x)=x-1是奇函数，满足题意；所以m=2或4.

2.下列命题中，不正确的是 (　　)

A.幂函数y=x-1是奇函数

B.幂函数y=x2是偶函数

C.幂函数y=x既是奇函数又是偶函数

D.y=既不是奇函数，又不是偶函数

【解析】选C.因为x-1=，=-，

所以A正确；

(-x)2=x2，所以B正确；-x=x不恒成立，所以C不正确；y=定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D正确.

3.给出幂函数：①f(x)=x；②f(x)=x2；③f(x)=x3；④f(x)=；⑤f(x)=.其中满足条件

f()>(x1>x2>0)的函数的个数是 (　　)

A.1个   B.2个   C.3个   D.4个

【解题指南】解决该题的关键是正确理解

f>(x1>x2>0)的含义.

【解析】选A.①函数f(x)=x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，

f=；

②函数f(x)=x2的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f<；

③在第一象限，函数f(x)=x3的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，

f<；

④函数f(x)=的图象是凸形曲线，故当x1>x2>0时，f>；

⑤在第一象限，函数f(x)=的图象是一条凹形曲线，故当x1>x2>0时，

f<.

故仅有函数f(x)=满足当x1>x2>0时，

f>.

二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

4.下列函数中，其定义域和值域相同的函数是 (　　)

A.y=  B.y=  C.y=  D.y=

【解析】选A、B、C.A中y==，定义域、值域都为R；B中y==定义域与值域都为(0，+∞)；C中y=的定义域、值域也为R；D中y==定义域为R，而值域为[0，+∞).

三、填空题(每小题5分，共10分)

5.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数，且在(0，+∞)上单调递减，则实数m=_______. 

【解析】在幂函数f(x)=(m2-m-1)中，

令m2-m-1=1，得m2-m-2=0，

解得m=2或m=-1；

当m=2时，m2-2m-2=-2，函数f(x)=x-2，

在(0，+∞)上单调递减，满足题意；

当m=-1时，m2-2m-2=1，函数f(x)=x，

在(0，+∞)上单调递增，不满足题意；所以实数m=2.

答案：2

6.已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则f(2)的值为_______. 

【解析】因为幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则指数是偶数且大于0，因为-m2-2m+3=-(m+1)2+4≤4，

因此指数等于2或4，当指数等于2时，求得m非整数，所以m=-1，即f(x)=x4.

所以f(2)=24=16.

答案：16

四、解答题

7.(10分)已知幂函数f(x)=(m∈N*)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.

【解析】因为幂函数f(x)经过点(2，)，

所以=，即=.所以m2+m=2.

解得m=1或m=-2.又因为m∈N*，所以m=1.

所以f(x)=，则函数的定义域为[0，+∞)，并且在定义域上为增函数.由f(2-a)>f(a-1)，

得解得1≤a<.

所以a的取值范围为.