甘肃省武威市凉州区金山乡中学2023-2024学年上学期九年级数学期中试卷

这是一份甘肃省武威市凉州区金山乡中学2023-2024学年上学期九年级数学期中试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解方程，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．（x2+3）2＝9B．ax2+bx+c＝0
C．x2+3＝0D．x2+ 1x2 ＝4
3．一元二次方程y2+y- 34 =0配方后可化为（ ）
A．(y+ 12 )2=1B．(y- 12 )2=1
C．(y+ 12 )2= 12D．(y- 12 )2= 34
4．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞－1B．k＞－1且k≠0
C．k＜－1D．k＜－1或k＝0
5．关于 x 的方程 x2+mx−3=0 的一个根是 x1=−1 ，则它的另一个根 x2 和 m 的值分别是（ ）
A．x2=−1,m=−2B．x2=−3,m=−2
C．x2=1,m=−4D．x2=3,m=−2
6．如果一元二次方程x2+12x+27=0的两个根是x1 ,x2 .那么x1+x2的值为（ ）
A．－6B．12C．－12D．27
7．某种药品原价为49元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．49（1﹣x）2=49﹣25B．49（1﹣2x）=25
C．49（1﹣x）2=25D．49（1﹣x2）=25
8．二次函数y＝3(x－1)2＋2图象的顶点坐标是（ ）
A．(2，1)B．(－2，－1)C．(－1，2)D．(1，2)
9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解为（ ）
A．1，3B．-2，3C．-1，3D．3，4
10．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y=- 12 x2+26x（2≤x＜52）B．y=- 12 x2+50x（2≤x＜52）
C．y=-x2+52x（2≤x＜52）D．y=- 12 x2+27x-52（2≤x＜52）
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+（m+2）=0有实数根，则m取值范围是 ．
12．将方程 x2+6x−3=0 化为 (x+ℎ)2=k 的形式是 .
13．已知方程 5x2+mx−6=0 的两根为 a 和 b ，且 a+b=−1 ，则 m= ．
14．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是 ．
15．已知二次函数 y=x2+2x+k 的图象的顶点在x轴上方，则实数k的取值范围是 ．
16．在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别为 (−1，0) ， (1，0) ，抛物线 y=−x2+2mx−m2−m+1 与线段AB始终有交点，则m的取值范围为 ．
17．抛物线 y=2(x−2)2−4 的对称轴是 ．
18．如图，公园里喷水池中的水柱的形状可以看成是抛物线，小明想知道水柱的最大高度，于是画出示意图，并测出了一些数据:水柱上的点C，D到地面的距离都是1.6米，即BC = OD = 1.6米，AB = 1米，AO = 5米，则水柱的最大高 米.
三、解方程(共1题；共8分)
19．（1）(x−3)(x−1)=3 ． （2）3x2−2x−2=0 ．
四、解答题(共58分)
20．（6分）若关于x的一元二次方程(m−2)x2−6x+m2−3m+2=0的常数项为0，求m的值．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程 x2+(k−5)x+4−k=0 的一个根是 x=2 ，求方程的另一个根及k的值．
22．（6分）等腰△ABC中，BC＝8，AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，求m的值.
23．（6分）求二次函数 y=x2−2x−3 图象的顶点坐标和对称轴．
24．（8分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+bx+c的对称轴为x=1，且它经过点A(3，0)，求该二次函数的解析式和顶点坐标．
25．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（0，1）和点B（﹣1，2），求这个二次函数的解析式．
26．（8分）为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．
27．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(4，3)，与y轴相交于点B(0，-5)，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点．
（1）（3分）求抛物线的表达式；
（2）（3分）请求出点M的坐标及直线AB的表达式；
（3）（4分）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．
答案
1．D
2．C
3．A
4．B
5．D
6．C
7．C
8．D
9．C
10．A
11．m≤2且m≠1
12．(x+3)2=12
13．5
14．25或36
15．k>1
16．−3≤m≤1
17．直线
18．2.88
19．（1）解： (x−3)(x−1)=3
x2−4x+3=3 ，
x2−4x=0 ，
x(x−4)=0 ，
∴x1=0，x2=4 ；
（2）解： 3x2−2x−2=0 ，
△=(−2)2−4×3×(−2)=27>0 ，
x=2±(−2)2−4×3×(−2)2×3=1±73 ，
∴x1=1+73，x2=1−73 ．
20．解：由题意得m2−3m+2=0，
解得：m1=1，m2=2．
∵m−2≠0，即m≠2，
∴m=1．
21．解： ∵x=2 是一元二次方程 x2+(k−5)x+4−k=0 的一个根，
∴22+(k−5)×2+4−k=0 ，
解得 k=2 ，
则原方程为 x2−3x+2=0 ，
解得 x1=2，x2=1
则方程的另一个根为 x=1 ．
22．解：在方程x2﹣10x+m＝0中，x1+x2＝﹣ ba ＝10，
当这两边是等腰三角形的腰时，有x1＝x2＝5，
∴x1x2＝25＝m，
当有两边的长都为8时，有8+x2＝10，
∴x2＝2，
m＝x1x2＝2×8＝16，
∴m＝25或16
23．解：∵y=x2−2x−3 ，
把二次函数化为顶点式为： y=x2−2x+1−4=(x−1)2−4 ；
∴顶点坐标为：（1，-4），
∴对称轴为x=1.
24．解：∵二次函数y=x2+bx+c的对称轴为x=1，且它经过点A(3，0)，
∴−b2=19+3b+c=0，
解得b=−2c=−3，
∴二次函数的解析式为y=x2−2x−3，
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴抛物线顶点坐标为（1，-4）
25．解： ∵ 二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（0，1）和点B（﹣1，2），
∴1=c2=−1−b+c
解得 b=−2c=1
∴ 这个二次函数的解析式为 y=−x2−2x+1 ．
26．解：设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元．
根据题意，得（x﹣3）（500﹣10× ）=800，
解得x1=7，x2=5．
∵售价不能超过进价的200%，
∴x≤3×200%．即x≤6．
∴x=5．
答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元
27．（1）解：设函数表达式为：y=a(x−4)2+3，
将点B坐标代入上式并解得：a=−12，
故抛物线的表达式为：y=−12x2+4x−5.
（2）解：
设中点M的坐标为(x，y)，
∵A(4，3)，(0，−5)，
∴x−0=4−x，即x=4+02=2，
同理，可得y=−5+32=−1，
则中点M(2，−1)，
设直线AB的表达式为：y=kx−5，
将点A坐标代入上式得：3=4k−5，解得：k=2，
故直线AB的表达式为：y=2x−5．
（3）解：设点Q(4，s)、点P(m，−12m2+4m−5)，
①当AM是平行四边形的一条边时，
当点Q在A的下方时，
点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M，
同样点P(m，−12m2+4m−5)向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q(4，s)
即：m−2=4，−12m2+4m−5−4=s
解得：m=6，s=−3，
故点当点Q在点A上方时，AQ=MP=2，
同理可得点Q的坐标为(4，5)，
②当AM是平行四边形的对角线时，
由中点定理得：4+2=m+4，3−1=−12m2+4m−5+s
解得：m=2，s=1
故点P，Q的坐标分别为(2，1)，(4，1)
综上，P，Q的坐标分别为(6，1)，(4，−3)或(2，1)，(4，5)或(2，1)，(4，1)．